賴滿豐，金玲玉

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州510642）

分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Schr?dinger方程弱解的存在性

賴滿豐，金玲玉*

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州510642）

考慮滿足一定條件的分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Schr?dinger方程的初值問(wèn)題，并采用先驗(yàn)估計(jì)及Galerkin方法得到問(wèn)題解的存在性。

分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Schr?dinger方程；弱解；先驗(yàn)估計(jì)；Galerkin方法

本文考慮如下一類全空間上R3×R+的分?jǐn)?shù)階方程

其中，ψ是復(fù)函數(shù)，φ，θ是實(shí)函數(shù)，v，γ，δ均是正常數(shù)，f和g是關(guān)于空間x的動(dòng)力項(xiàng)函數(shù)。

不失一般性，空間和范數(shù)的記號(hào)與通常意義相同。Hs為標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間［1］，記H=L2（R3），且用‖·‖和（·，·）表示L2（R3）上的范數(shù)和內(nèi)積。對(duì)于1≤p≤∞，記‖·‖p為L(zhǎng)2（R3）范數(shù)（‖·‖2=‖·‖）。

本文的主要結(jié)果是：

1 先驗(yàn)估計(jì)

引理1 若f∈H，則問(wèn)題（1）～（4）的解ψ滿足

其中，常數(shù)C1依賴于v和‖f‖；t1依賴于v、‖f‖和R（這里‖ψ0‖≤R）。

證明 將方程（1）與ψ在空間H上做內(nèi)積，并取其虛部，得

引理2若f∈H，g∈H，則存在常數(shù)δ1，使得當(dāng)δ≤δ1時(shí)，問(wèn)題（1）～（4）的解（ψ，φ，θ）滿足

其中M依賴于（v，γ，δ，‖f‖，‖g‖），t2依賴于（v，γ，δ，‖f‖，‖g‖）和R（ψ0∈Hα≤R，φ0∈Hα≤R，θ0∈H≤R）。

證明 在空間H上，將方程（1）與-ψt做內(nèi)積，得

對(duì)空間Hα×Hα×H中的解進(jìn)行估計(jì)，可轉(zhuǎn)化為對(duì)方程（14）的每一項(xiàng)進(jìn)行討論。

首先令正常數(shù)δ1，使得當(dāng)δ≤δ1時(shí)，有

根據(jù)方程（13）～（17）可得

這里的t1滿足引理1。則由Gronwall引理易證得引理2成立。

2 解的存在性

下面給出方程（1）～（4）弱解的存在性證明。

證明 下面分三步來(lái)完成定理1的證明。

第1步：利用Faedo-Galerkin方法構(gòu)建逼近解。

固定一個(gè)正整數(shù)s，記

此時(shí)方程（19）～（24）是一組常微分方程組。利用標(biāo)準(zhǔn)常微分方程理論可知，當(dāng)t＞0時(shí)，方程（19）～（24）存在唯一的解。

第2步：先驗(yàn)估計(jì)。

由引理1和引理2可知

對(duì)任意的φ∈Hα（Rn），有

從而，由等式（26）和不等式（27）可知

故知ψ（0）=ψ0。同理可得φ（0）=φ0。

綜上所述，定理1得證。

3 結(jié)論

在本文中，主要討論了分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon-Schr?dinger方程，對(duì)整數(shù)階的方程進(jìn)行了拓展，在參數(shù)滿足的假設(shè)條件下，得到了其弱解的存在性。文章主要采用能量方法、利用插值不等式得到先驗(yàn)估計(jì)，采用Galerkin方法得到解的存在性。下一步筆者將對(duì)該方程解的性質(zhì)進(jìn)行研究。

［1］LU K,WANG B.Global Attractors for the Klein Gordon Schr?dinger Equation in Unbounded Domains［J］.Journal of Differential Equations,2001,170（2）:281-316.

［2］PARK J Y,KIM J A.Maximal Attractors for the Klein-Gordon-Schr?dinger Equation in Unbounded Domain［J］.Acta Applicandae Mathematicae,2009,108（2）:197-213.

［3］T’EMAMR.Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics Springer Verlag［J］.Applied Mathematical Sciences,1997,18（5）:2135-2143.

［4］BALL J M.Global attractors for damped semilinear wave equations［J］.Discrete&Continuous Dynamical Systems,2003,10（1-2）:31-52.

［5］LANGE H,WANGB.Regularityofthe Global Attractor for the Klein-Gordon-Schrodinger Equation［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences,1999,22（17）:1535-1554.

［6］GUO B,DU X.Existence of the Periodic Solution for the Weakly Damped Schrodinger-Boussinesq Equation［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applications,2001,262（2）:453-472.

［7］郭柏靈,蒲學(xué)科,黃鳳輝.分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解［M］.北京:科技出版社,2011:99-120.

［8］郭柏靈.非線性邊值問(wèn)題的一些解法［M］.汪禮礽,譯,廣州:中山大學(xué)出版社,1989:335-340.

［9］郭柏靈,苗長(zhǎng)興.Klein-Gordon-Schr?dinger方程解的整體存在性及其漸近性［J］.中國(guó)科學(xué):數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、技術(shù)科學(xué),1995,38（7）:705-714.

【責(zé)任編輯：王桂珍 foshanwgzh@163.com】

The existence of weak solution of fractional order Klein-Gordon-Schr?dinger equation

LAI Man-feng,JIN Ling-yu
（Department of Mathematics,South China Agricultural University,Guangzhou 516042,China）

In this paper,we analyses the fractional order of Klein-Gordon-Schr?dinger equation for the initial boundaryvalue problems.We use prior estimation and the Galerkin method toget the existence ofthe solution.

the fractional order of Klein-Gordon-Schr ?dinger equation;weak solution;prior estimate; Galerkin method

O175.2

A

1008-0171（2017）03-0013-06

2016-10-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11101160）；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2016A030313390）

賴滿豐（1991-），女，廣東河源人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)碩士研究生。通信作者：金玲玉（1979-），女，湖北荊州人，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)副教授。