■廣東省廣州市海珠外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 姜云異

“球”與計(jì)數(shù)問題結(jié)奇緣

■廣東省廣州市海珠外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 姜云異

題目 5個(gè)相同的球,放入8個(gè)不同的盒子中,每盒至多放1個(gè)球,共有多少種放法?

解析:由于球都相同,盒子不同,每盒至多放1個(gè)球,所以只要選出5個(gè)不同的盒子,就可以解決問題,這是一個(gè)組合問題。因此, 5個(gè)相同的球,放入8個(gè)不同的盒子中,每盒至多放1個(gè)球,共有C58=56(種)放法。

點(diǎn)評(píng):組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān),而組合問題與取出元素的順序無關(guān)。

變式1 5個(gè)不同的球,放入8個(gè)不同的盒子中,每盒至多放1個(gè)球,共有____種放法。

解析:由于球與盒子均不同,每盒至多放1個(gè)球,所以這是一個(gè)排列問題?？芍苯訌?個(gè)不同的盒子中取出5個(gè)盒子進(jìn)行排列(即放球),所以,共有A58=6720(種)放法。

點(diǎn)評(píng):本題與原題比對(duì)僅一字之差,答案卻相差萬里,因?yàn)橐粋€(gè)“不”字,組合問題演變成了排列問題,可見審題是何等重要。

圖1

變式2 編號(hào)為A, B,C,D,E的5個(gè)小球放在如圖1所示的5個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子只能放1個(gè)小球,且A球不能放在1,2號(hào)盒子,B球必須放在與A球相鄰的盒子中,不同的放法有多少種?

解析:根據(jù)A球所在位置分三類:

(1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi),則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi),余下的3個(gè)盒子放球C, D,E,則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,此時(shí)有=6(種)不同的放法;

(2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi),則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi),余下的三個(gè)盒子放球C, D,E,則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,此時(shí)有=6(種)不同的放法;

(3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi),則B球可以放在2號(hào),3號(hào),5號(hào)盒子中的任何一個(gè),有種不同放法。余下的3個(gè)盒子放球C,D, E,有A33種不同的放法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,此時(shí)有A13A33=18(種)不同的放法。

綜上所述,由分類計(jì)數(shù)原理知不同的放法共有6+6+18=30(種)。

點(diǎn)評(píng):因A球的放法有限制,故以A球所在位置分類,每一類中的計(jì)數(shù)用了乘法原理(排列),最后再加法原理算出結(jié)果。

變式3(2014年福建高考卷)用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球。由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個(gè)球都不取,“a”表示取出一個(gè)紅球,而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來。依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析:從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球,可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球,共6種情況,則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5;從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球,由所有的藍(lán)球都取出或都不取出,得其所有取法為1+b5;從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球,共 6種情況,則其所有取法為,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得,適合要求的所有取法是(1+a+ a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5。故選A。

點(diǎn)評(píng):本題背景新穎獨(dú)特,考查了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本應(yīng)用。解答本題要求同學(xué)們必須具備較的強(qiáng)閱讀理解能力與分析問題、解決問題的能力。

(責(zé)任編輯 徐利杰)