常曉華，豐 海，張 婕，邱亞男

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

一種空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算方法

常曉華，豐 海，張 婕，邱亞男

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

針對彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算，從彈道計算的地心球坐標(biāo)出發(fā)，給出一種利用空間幾何關(guān)系的迭代法，避免了地心直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程。通過與傳統(tǒng)算法的對比分析，驗(yàn)證了該算法的有效性，并進(jìn)一步明確了該算法的迭代初值，分析了該算法在彈道飛行器空間飛行軌跡大地坐標(biāo)計算中的適用性。

空間飛行軌跡；大地坐標(biāo)；迭代法

0 引 言

有效性、迭代初值和適用性進(jìn)行了仿真分析。

隨著彈道飛行器精確化控制水平的提升，需要精確計算空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)，傳統(tǒng)計算方法要求在彈道計算中給出飛行器的地心直角坐標(biāo)，進(jìn)而直接利用大地測量學(xué)的相關(guān)研究成果，將該問題轉(zhuǎn)化為地心直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題。

針對地心直角坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究工作，提出了許多算法，基本可以分為迭代法和直接法兩類方法[1～9]，在計算的精度和速度上都有了較大提高。但是，這些算法越來越復(fù)雜[10]，其成果難以直接用于彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算。

另一方面，已有算法是從大地測量角度出發(fā)，而彈道飛行器彈道計算中有其特有的物理參數(shù)，對相應(yīng)的大地坐標(biāo)計算問題的研究較少。

本文針對彈道飛行器空間飛行軌跡大地坐標(biāo)計算問題，直接從彈道計算的地心球坐標(biāo)系分量出發(fā)，給出了一種利用空間幾何關(guān)系的迭代法，并對該算法的

1 地心直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系

a）地心直角坐標(biāo)系。

地心直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系如圖1所示。

原點(diǎn)O為橢球中心；Z軸是橢球旋轉(zhuǎn)軸，指向地球自轉(zhuǎn)軸方向；X軸指向起始大地子午面（過格林尼治平均天文臺的子午面）與赤道的交點(diǎn)；Y軸與X軸、Z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，-O XYZ稱為地心直角坐標(biāo)系。地面或空間任一點(diǎn)P，可用地心直角坐標(biāo)（X，Y，Z）表示。

b）大地坐標(biāo)系。

圖1中，P點(diǎn)的坐標(biāo)還可用大地坐標(biāo)表示，即經(jīng)度L、大地緯度B和大地高程H。

c）大地坐標(biāo)與地心直角坐標(biāo)的關(guān)系。

大地坐標(biāo)（L，B，H）向地心直角坐標(biāo)（X，Y，Z）的轉(zhuǎn)換公式為

式中 N=a/(1-e2sin2B)1/2，其中，a為地球橢球半長軸，e為第1偏心率。

由式（1）可導(dǎo)出地心直角坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式：

由式（2）可以看出，大地經(jīng)度可直接求解，而大地緯度和大地高程的計算公式由于相互耦合，無法直接求解。因此，地心直角坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題，可以歸結(jié)為大地緯度和大地高程的解算問題。

2 求解大地緯度和大地高程的常用算法

在眾多算法中，經(jīng)過研究、對比分析，給出3種簡單實(shí)用的大地緯度和大地高程求解算法，可直接用于彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算。

2.1 直接法

a）橢球面近似法。

橢球面近似法是基于大地高程H較小、P點(diǎn)近似位于地球橢球表面時的假設(shè)條件，利用大地緯度和地心緯度及橢球方程式推導(dǎo)得到。大地緯度計算公式為

大地高程的計算公式為

在極區(qū)（B接近±90°）附近，改用下式計算：

該方法比較簡單，但在大地高程H稍大時，計算精度會急劇下降。

b）Bowring法[5,6]。

在直接法中，Bowring法是一種計算簡便且精度較高的算法，通過P點(diǎn)所在子午面內(nèi)輔助圓與橢圓的解析幾何近似推導(dǎo)得到。大地緯度計算公式為

式中 a為長半軸；b為短半軸；2e為第2偏心率。

利用式（5）計算得到B后，再根據(jù)式（4）、式（5）計算大地高程H。

該方法雖然計算簡單，但形式比較復(fù)雜，過程參數(shù)物理概念不夠直觀，給使用者的理解帶來了一定難度。

2.2 迭代法

由式（2）可以看出，迭代法是求解大地緯度和大地高程的最直接方法，這里給出應(yīng)用較多的一種迭代法，本文稱為傳統(tǒng)迭代法，大地緯度的迭代公式為[1]

經(jīng)過迭代計算得到大地緯度B后，再根據(jù)式（4）、式（5）計算大地高程H。

迭代法通常精度較高，但迭代初值的選擇不同，達(dá)到某一精度所需的迭代次數(shù)也不相同，計算時間也不同。文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]中分析了不同迭代初值下的迭代精度和迭代次數(shù)。

3 利用空間幾何關(guān)系的迭代法

通過對以上3種算法及其它算法的分析可知，現(xiàn)有大地緯度和大地高程的解算，均從地心直角坐標(biāo)系三分量（X，Y，Z）出發(fā)。

在彈道飛行器空間飛行軌跡的計算中，無論是數(shù)值積分法[11,12]還是解析解法[13～15]，可以直接得到飛行器在地心球坐標(biāo)系內(nèi)的三分量：地心距r，經(jīng)度L，地心緯度φ，如圖2所示。因此，需要研究一種地心球坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的直接轉(zhuǎn)換算法，以提高計算效率。

在圖2中，地心球坐標(biāo)（r，L，φ）向地心直角坐標(biāo)（X，Y，Z）的轉(zhuǎn)換公式為

反之，地心直角坐標(biāo)系向地心球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換為

考慮到空間矢量OP在XOY平面內(nèi)分量和沿OZ軸分量的唯一性[16]，綜合式（1）和式（7），可得幾何關(guān)系表達(dá)式：

進(jìn)一步，可得大地緯度和大地高程的計算公式：

式（10）可采用迭代法計算，從而得到地心球坐標(biāo)向大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方法。迭代公式為

式（12）中，大地高程的計算由大地緯度的取值范圍確定。

4 仿真分析

針對本文給出的利用空間幾何關(guān)系的迭代法，將從迭代算法的有效性、迭代初值對迭代精度的影響、迭代精度隨大地緯度和大地高程的變化規(guī)律等3方面進(jìn)行仿真分析。

仿真分析中使用國家大地測量坐標(biāo)系的CGCS2000橢球，幾何參數(shù)如表1所示。

表1 CGCS2000橢球幾何參數(shù)

4.1 算法有效性分析

迭代算法的有效性分析方法為：給定空間任一點(diǎn)的大地坐標(biāo)，先轉(zhuǎn)換為地心直角坐標(biāo)，再利用式（8）轉(zhuǎn)換為地心球坐標(biāo)，用以模擬空間飛行軌跡，最后利用本文方法轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)，并與給定的大地坐標(biāo)進(jìn)行比較。

表2 有效性分析計算結(jié)果

從表2可以看出，本文給出的利用空間幾何關(guān)系的迭代法計算精度明顯優(yōu)于直接法，與傳統(tǒng)迭代法精度相當(dāng)。但是，本文給出的迭代法不需要地心直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，計算效率優(yōu)于傳統(tǒng)迭代法，更適合應(yīng)用于空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算。4.2 初值影響分析

在仿真中，L取40°，大地緯度分別取10°、4 5°、80°，大地高程取50 000 m，迭代初值分別取

表3 初值影響分析計算結(jié)果

4.3 算法適用性分析

為驗(yàn)證利用空間幾何關(guān)系的迭代法的適用性，將分析迭代精度隨大地緯度和大地高程的變化規(guī)律。

在仿真中，L取40°，大地緯度為0°、-90°，每隔1°取一個點(diǎn)，大地高程分別取為0 km、10 km、100 km和1 000 km，以ΔB≤0.000 01＂為結(jié)束條件，大地緯度、大地高程計算誤差及迭代次數(shù)分別如圖3～5所示。

從圖3和圖4中可以看出，不同條件下，大地緯度的計算精度達(dá)到10-8″，大地高程的計算精度達(dá)到10-7m，完全滿足彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)精度要求。

從圖5中可以看出，該迭代算法收斂速度較快，迭代次數(shù)均小于3次；迭代過程中同時利用了大地緯度和大地高程信息，因此迭代次數(shù)與緯度和高程均有關(guān)系，在低緯度和高緯度地區(qū)迭代次數(shù)較少，大地高程較高時迭代次數(shù)較多。

5 結(jié) 論

為解決彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算問題，本文給出了一種利用空間幾何關(guān)系的迭代法。通過數(shù)值計算對比分析，驗(yàn)證了該算法的有效性，明確了該算法的迭代初值；不同條件下的仿真結(jié)果表明，該算法具有較高的計算精度、較快的收斂速度，能夠適用于彈道飛行器任意空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算。

本文給出的方法同樣適用于近地軌道衛(wèi)星、滑翔飛行器等空間飛行軌跡的大地坐標(biāo)計算。

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Method of Geodetic Coordinates Calculation for Flight Trajectory

Chang Xiao-hua, Feng Hai, Zhang Jie, Qiu Ya-nan
(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing, 100076)

Based on the spatial geometric relation-ships between geocentric spherical coordinate and geodetic coordinate, an iteration method to solve the geodetic coordinates calculation for ballistic vehicle trajectory is given. The iteration method avoids the transform of the geocentric rectangular coordinate. The efficiency of the iteration method is validated by the comparison of the traditional algorithm, and the initial iteration value is deduced. Finally, the applicability of the iteration method presented in the paper is analyzed by the numerical simulation.

Flight trajectory; Geodetic coordinates; Iteration method

TJ410

A

1004-7182(2017)03-0032-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170307

2015-12-10；

2016-02-25

常曉華（1982-），男，高級工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制