魏祥勤

四邊形部分常見中考試題有：多邊形的邊數(shù)、內(nèi)角和與對(duì)角線的條數(shù)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，四邊形位于平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)問題，四邊形與直角三角形、等腰三角形等的綜合問題，與四邊形有關(guān)的猜想、探究型問題等.下面結(jié)合中考試題進(jìn)行分類解析，供同學(xué)們參考.

一、 多邊形的邊數(shù)與對(duì)角線的條數(shù)

例1 （2016·涼山）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1 080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）

A.7 B.7或8

C.8或9 D.7或8或9

分析：首先求得內(nèi)角和為1 080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù).

解：設(shè)內(nèi)角和為1 080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）·180°=1 080°.

解得n=8.

所以原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.故選D.

評(píng)注：當(dāng)多邊形的邊數(shù)不小于4時(shí)，一個(gè)多邊形去掉一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可以減少1，也可以不變，也可以增加1.

練習(xí)1 （2016·廣安）若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，則這個(gè)正n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是（ ）

A.7 B.10

C.35 D.70

二、 平行四邊形的判定與性質(zhì)

例2 （2016·鄂州）如圖1，在[?]ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過A，C兩點(diǎn)作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AE，CF分別交CD，AB于M，N.

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形；

（2）已知DE=4，F(xiàn)N=3，求BN的長(zhǎng). [A][B][C][D][E][F][M][N][圖1]

分析：（1）通過AE⊥BD，CF⊥BD證明AE∥CF，再由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB∥CD，由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）先證明△MDE≌△NBF，得DE=BF=4，再由勾股定理，得BN=5.

（1）證明：∵AE⊥BD CF⊥BD，

∴AE∥CF.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD.

∴四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）解：由（1）知四邊形CMAN是平行四邊形，

∴CM=AN.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AB=CD，AB∥CD.

∴∠MDE=∠NBF，AB-AN=CD-CM，即BN=DM.

又∠DEM=∠BFN=90°，

∴△MDE≌△NBF.

∴DE=BF=4.

在Rt△BNF中，由勾股定理，得BN=[FN2+BF2]=[32+42]=5.

∴BN的長(zhǎng)為5.

評(píng)注：本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理.靈活運(yùn)用判定、性質(zhì)及定理來(lái)分析、判斷、推理或解答是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2 （2016·十堰）如圖2，在[?]ABCD中，AB=[213]cm，AD=4 cm，AC⊥BC，則△DBC比△ABC的周長(zhǎng)長(zhǎng) cm. [A][B][C][D][O][圖2]

三 、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)

（一）菱形的判定與性質(zhì)

例3 （2016·青島）已知：如圖3，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點(diǎn)，且AE=CF，直線EF分別交BA的延長(zhǎng)線、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，H，交BD于點(diǎn)O. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][圖3]

（1）求證：△ABE≌△CDF.

（2）連接DG，若DG=BG，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，∠BAE=∠DCF，由SAS證明△ABE≌△CDF即可.

（2）由平行四邊形的性質(zhì)，得AD∥BC，AD=BC，證出DE=BF，得四邊形BEDF是平行四邊形，得OB=OD，再由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，得EF⊥BD，即可證得四邊形BEDF是菱形.

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，∠BAE=∠DCF.

又AE=CF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）解：四邊形BEDF是菱形.

理由如下：

如圖4，在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC. [A][B][C][D][E][F][G][H][O][圖4]

∵AE=CF，

∴DE=BF.

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

∴OB=OD.

∵DG=BG，

∴EF⊥BD.

∴四邊形BEDF是菱形.

評(píng)注：判定一個(gè)四邊形是特殊的四邊形，往往先證明四邊形是平行四邊形，再證明平行四邊形的邊、角、對(duì)角線等所具有的特殊關(guān)系，靈活運(yùn)用四邊形的邊、角、對(duì)角線之間的關(guān)系，是解決這類問題的關(guān)鍵.

練習(xí)3 （2016·沈陽(yáng)）如圖5，△ABC≌

△ABD，點(diǎn)E在邊AB上，CE∥BD，連接DE. [A][B][C][D][E][圖5]

求證：（1）∠CEB=∠CBE；

（2）四邊形BCED是菱形.

（二）矩形的判定與性質(zhì)

例4 如圖6，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF.

（1）線段BD與CD有何數(shù)量關(guān)系，為什么？

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？請(qǐng)說明理由. [A][B][C][D][E][F][圖6]

分析：（1）由題意，得△AEF≌△DEC，可以得到AF=CD.又因?yàn)锳F∥CD，AF=BD，所以BD=CD.

（2）若四邊形AFBD是矩形，則AD⊥BD.因?yàn)锽D=CD，所以AB=AC.因此△ABC是等腰三角形時(shí)，四邊形AFBD是矩形.

解：（1）BD=CD.

理由如下：

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE.

又AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE.

又∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC .

∴AF=CD.

∵AF=BD，

∴BD=CD.

（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形 .

理由如下：

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形.

∵AB=AC，BD=CD ，

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°.

∴四邊形AFBD是矩形.

評(píng)注：本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì).掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)4 如圖7，在[?]ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與BA，DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn). [A][B][C][D][E][F][O][圖7]

（1）求證：△AOE≌△COF.

（2）請(qǐng)連接EC，AF，則EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形，并說明理由.

（三）正方形的判定與性質(zhì)

例5 （2016·攀枝花）如圖8，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G，連接GF，給出下列結(jié)論：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；

⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6[+42].其中正確的結(jié)論有（ ） [A][B][C][D][E][F][G][O][圖8]

A.2個(gè) B.3個(gè)

C.4 個(gè) D.5個(gè)

分析：①由四邊形ABCD是正方形，得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質(zhì)，求得∠ADG的度數(shù).

②由AE=EF2AE.

③由△ADG≌△FDG，得S△AGD=S△FDG.由S△FDG>S△OGD，得S△AGD>S△OGD.

④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得

△EFG是等腰三角形，證得AE=GF.

⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質(zhì)，得BE=2OG.

⑥根據(jù)四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF.再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得△OGF是等腰直角三角形.由S△OGF=1求出GF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BE及AE的長(zhǎng)，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論.

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°.

由折疊的性質(zhì)，得∠ADG=[12]∠ADO=22.5°.故①正確.

∵由折疊的性質(zhì)，得AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF

∴AE<[12]AB.

∵AB=AD，

∴[ADAE]>2.故②錯(cuò)誤.

∵△ADG≌△FDG，

∴S△AGD=S△FDG.

∵S△FDG>S△OGD，

∴S△AGD>S△OGD.故③錯(cuò)誤.

∵∠EFD=∠AOD=90°，

∴EF∥AC.

∴∠FEG=∠AGE.

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE.

∴EF=GF.

∵AE=EF，

∴AE=EF=GF.

∵AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG.

∴四邊形AEFG是菱形.故④正確.

∵四邊形AEFG是菱形，

∴AE∥GF.

∴∠OGF=∠OAB=45°.

∴EF=GF=[2]OG.

∴BE[=2EF][=2×2]OG=2OG.故⑤正確.

∵四邊形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AE=GF.

∵∠FGO=∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF是等腰直角三角形.

∵S△OGF=1，

∴[12]OG2=1.

解得OG=[2].

∴BE=2OG=[22]，GF=[（2）2+（2）2]=2. ∴AE=GF=2.

∴AB=BE+AE=[22]+2.

∴S正方形ABCD=AB2=（[22]+2）2=[12+82].故⑥錯(cuò)誤.

∴正確結(jié)論的序號(hào)是①④⑤.故選B.

評(píng)注：本題涉及正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

練習(xí)5 （2016·宿遷）如圖9，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.若AB的長(zhǎng)為2，則FM的長(zhǎng)為（ ） [A][B][C][D][E][F][圖9] [M][N] A.2 B.[3]

C.[2] D.1

四、 四邊形的新定義問題及綜合問題

（一）四邊形的新定義問題

例6 （2016·衢州）如圖10，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖11，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系.猜想結(jié)論： （要求用文字語(yǔ)言敘述）.寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）. [A][B][C][D][圖10 圖11]

（3）問題解決：如圖12，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長(zhǎng). [A][B][C][D][E][F][G][圖12][M][N]

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可.

（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可.

（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算.

解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

理由如下：

如圖13，連接AC，BD.

∵AB=AD，

∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上.

∵CB=CD，

∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上.

∴直線AC是線段BD的垂直平分線.

∴AC⊥BD.

∴四邊形ABCD是垂美四邊形.

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.

已知：如圖13，在垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD于E.

求證：AD2+BC 2=AB2+CD2. [A][B][C][D] [圖13][E]

證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，

∴AC⊥BD.

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.

由勾股定理，得AD2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2，AB2+CD2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2.

∴AD 2+BC 2=AB2+CD 2.

（3）如圖14，連接CG，BE. [A][B][C][D][E][F][G][M][N][圖14] ∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE.

又∵AG=AC，AB=AE.

∴△GAB≌△CAE.

∴∠ABG=∠AEC.

又∠AEC+∠AME=90°，∠BMN=∠AME，

∴∠ABG+∠AME=∠ABG+∠BMN=90°.

∴∠BNM=90°，即CE⊥BG.

∴四邊形CGEB是垂美四邊形.

由（2）知CG2+BE2=CB2+GE2.

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=[42]，BE=[52].

∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.

∴GE=[73].

評(píng)注：對(duì)于新定義問題，應(yīng)當(dāng)結(jié)合題目中給定的概念信息，結(jié)合題意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，從圖形的位置以及題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究.

練習(xí)6 （2016·德州）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.

（1）如圖15，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形. [A][B][C][D][E][F][G][H][圖15]

（2）如圖16，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.[圖16] [A][B][C][D][E][F][G][H] [P]

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）.

（二）四邊形的綜合問題

例7 （2016·臨沂）如圖17，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE=BF.連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C.

（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 . [A][B][C][D][E][F][G][圖17 圖18] [A][B][C][D][E][F][G]

（2）如圖18，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明.

（3）如圖19，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷. [A][B][C][D][E][F][G][圖19]

分析：（1）只要證明四邊形CEGF是平行四邊形即可得出FG=CE，F(xiàn)G∥CE.

（2）如圖20，構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對(duì)應(yīng)邊相等證得四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=CE，F(xiàn)G∥CE.

（3）證明△CBF≌△DCE后，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形.

解：（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE.

（2）如圖20，過點(diǎn)G作GH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H. [A][B][C][D][E][F][G] [H][圖20]

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°.

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE.

∵∠GHE=∠DCE=90°，EG=DE，

∴△HGE≌△CED.

∴GH=CE，HE=CD.

∵CE=BF，

∴GH=BF.

∵GH⊥CB，BF⊥CB，

∴GH∥BF.

∴四邊形GHBF是矩形.

∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH.

∴FG∥CE.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC.

∴HE=BC.

∴HE+EB=BC+EB.

∴BH=EC.

∴FG=EC.

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立.

評(píng)注：本題是三角形與四邊形的綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換.

練習(xí)7 （2016·臺(tái)州）定義：有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍.

（2）如圖21，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點(diǎn)A，C處，折痕分別為DG，DH.求證：四邊形ABCD是三等角四邊形. [A][B][C][D][E][F][G][H][圖21]

（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，AB的長(zhǎng)最大，其最大值是多少？并求此時(shí)對(duì)角線AC的長(zhǎng).