徐正清

方程和方程組是初中數(shù)學的核心知識點，主要考查學生的計算能力和運用方程解決實際問題的能力.

一、一元一次方程的解及解法

例1 （2016·賀州）解方程：[x6]-[30-x4]=5.

分析：將方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)，然后去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

解：去分母，得2x-3（30-x）=60.

去括號，得 2x-90+3x=60.

移項，得 2x+3x=60+90.

合并同類項，得 5x=150.

系數(shù)化為1，得x=30.

評注：去分母時，注意將方程中的每一項都乘以最小公倍數(shù)，不能漏乘.

練習1 解方程：[12]x+2×（[54]x+1）=8+x.

二、二元一次方程組的解及解法

例2 （2016·成都）已知[x=3，y=-2]是方程組[ax+by=3，bx+ay=-7]的解，求代數(shù)式（a+b）（a-b）的值.

分析：將關(guān)于x，y的方程組的解代入方程組中，得到關(guān)于a，b的方程組，解此方程組，然后求代數(shù)式的值.

解：把[x=3，y=-2]代入方程組，得[3a-2b=3， ①3b-2a=-7. ②] 由①+②，得a+b=-4.

由①-②，得5a-5b=10，即a-b=2.

所以（a+b）（a-b）=-4×2=-8.

評注：解決此類題目時注意觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，嘗試運用整體代入法求代數(shù)式的值，不一定要解出方程組的解，有的題目可以根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)特點選擇較簡單的解題方法.

練習2 已知x，y滿足方程組[x+6y=12，3x-2y=8.]則x+y的值為（ ）

A.9 B.7 C.5 D.3

三、二元一次方程（組）的應(yīng)用

例3 （2016·徐州）小麗購買學習用品的收據(jù)如下表，因污損導(dǎo)致部分數(shù)據(jù)無法識別，根據(jù)下表：[商品名＼&單價（元）＼&數(shù)量（個）＼&金額（元）＼&簽字筆＼&3＼&2＼&6＼&自動鉛筆＼&1.5＼&·＼&·＼&記號筆＼&4＼&·＼&·＼&軟皮筆記本＼&·＼&2＼&9＼&圓規(guī)＼&3.5＼&1＼&·＼&合計＼&＼&8＼&28＼&]

解決下列問題：

（1）小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支？

（2）若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具，共花費15元，則有哪幾種不同的購買方案？

分析：（1）由“購買數(shù)量為8”和“購買總金額為28元”得出兩個等量關(guān)系，由此列出方程組.

（2）由題意可列出二元一次方程，根據(jù)自動鉛筆和記號筆是正整數(shù)分析該二元一次方程的解.

解：（1）設(shè)小麗購買自動鉛筆x支，記號筆y支.根據(jù)題意，得

[x+y=8-2+2+1，1.5x+4y=28-6+9+3.5.]

解得[x=1，y=2.]

答：小麗購買自動鉛筆1支，記號筆2支.

（2）設(shè)小麗購買軟皮筆記本m本，自動鉛筆n支.根據(jù)題意，得

[92]m+1.5n=15，即n=10-3m.

又因為m，n都是正整數(shù)，

所以[m=1，n=7]或[m=2，n=4]或[m=3，n=1.]

答：共有三種方案：

方案一：1本軟皮筆記本和7支記號筆；

方案二：2本軟皮筆記本和4支記號筆；

方案三：3本軟皮筆記本和1支記號筆.

評注：運用方程（組）解決實際問題時，關(guān)鍵要找出實際問題中的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)來列出方程（組）.運用二元一次方程求解某物體的數(shù)量時，注意該物體的數(shù)量為非負整數(shù)，由此可討論出該二元一次方程的解.

練習3 某商場投入13 800元資金購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價和銷售價如下表所示：[＼&成本價（元/箱）＼&銷售價（元/箱）＼&甲＼&24＼&36＼&乙＼&33＼&48＼&] [類別][單價]

（1）該商場購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱礦泉水，該商場共獲得利潤多少元？

四、一元二次方程的解及解法

例4 （2016·山西）解方程：2（x-3）2=x2-9.

分析：先移項，然后運用平方差公式和提公因式法解方程.

解：移項，得2（x-3）2-（x2-9）=0.

因式分解，得2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，

（x-3）（2x-6-x-3）=0，

（x-3）（x-9）=0.

∴x-3=0或x-9=0.

∴x1=3，x2=9.

評注：解方程時要根據(jù)方程的特點選擇比較簡單的方法解方程.

練習4 解方程：x2-6x-4=0.

五、一元二次方程的應(yīng)用

例5 （2016·畢節(jié)）為進一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費6 000萬元.2016年投入教育經(jīng)費8 640萬元.假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同.

（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率；

（2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元.

分析：設(shè)年平均增長率，根據(jù)兩年增長率相同列出2016年教育經(jīng)費投入資金表達式，由此列出方程.

解：（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x.根據(jù)題意，得

6 000（1+x）2=8 640.

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%.

（2）因為2016年該縣投入教育經(jīng)費為8 640萬元，且增長率為20%，

所以2017年該縣投入教育經(jīng)費為8 640×（1+20%）=10 368（萬元）.

答：預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費10 368萬元.

評注：有關(guān)增長率的問題，往往要用到公式：M=a（1+x）n，這里a表示增長的基數(shù)，x表示每次的增長率，n表示增長的次數(shù)，M表示增長n次后的量.

練習5 某服裝店原計劃按每套200元的價格銷售一批保暖內(nèi)衣，但上市后銷量不佳，為減少庫存積壓，兩次連續(xù)降價打折處理，最后價格調(diào)整為每套128元.若兩次降價折扣率相同，則每次的降價率為（ ）

A.8% B.18% C.20% D.25%

例6 （2015·湖北）如圖1，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12 m的住房墻，另外三邊用25 m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1 m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80 m2？ [住房墻][1 m] [圖1]

分析：設(shè)豬舍垂直于住房墻一邊的長為x m，用x表示出平行于墻的一邊的長，由矩形的面積公式即可列出方程.

解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊的長為x m，則平行于墻的一邊的長為（25-2x+1） m，即（26-2x） m.由題意，得

x（26-2x）=80，

化簡，得x2-13x+40=0.

解得x1=5，x2=8.

當x=5時，26-2x=16>12（舍去），

當x=8時，26-2x=10<12.

答：所圍矩形豬舍的長為10 m、寬為8 m.

評注：運用一元二次方程解決實際問題時，必須要根據(jù)實際情況驗證方程的根是否符合題意，不符合題意的根舍去.

練習6 某小區(qū)在綠化工程中有一塊長為18 m、寬為6 m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為60 m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖2），求人行通道的寬度. [6 m][18 m][圖2]

六、分式方程的解及解法

例7 （2016·樂山）解方程：[1x-2]-3=[x-12-x].

分析：先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后按照整式方程的步驟求解，最后檢驗根.

解：方程兩邊同乘以x-2，得

1-3（x-2）=-（x-1），即-2x=-6.

解得x=3.

檢驗：當x=3時，x-2≠0.

所以原方程的解為x=3.

評注：解分式方程時，一定要檢驗方程的根是否有意義，注意增根.

練習7 關(guān)于x的方程[3x-2x+1]=2+[mx+1]無解，則m的值為（ ）

A.-5 B.-8

C.-2 D.5

七、分式方程的應(yīng)用

例8 （2016·岳陽）我市某學校開展“遠是君山，磨礪意志，保護江豚，愛鳥護鳥”為主題的遠足活動.已知學校與君山島相距24 千米，遠足服務(wù)人員騎自行車，學生步行，服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學生步行平均速度的2.5 倍，服務(wù)人員與學生同時從學校出發(fā)，到達君山島時，服務(wù)人員所花時間比學生少用了3.6小時，求學生步行的平均速度是多少千米/小時.

分析：由“路程÷速度=時間”和“服務(wù)人員所花時間比學生少用了3.6 小時”即可列出方程.

解：設(shè)學生步行的平均速度是每小時x 千米，則服務(wù)人員騎自行車的平均速度是每小時2.5x 千米.根據(jù)題意，得

[24x]-[242.5x]=3.6.

解得x=4.

經(jīng)檢驗，x=4是原方程的解，且符合題意.

答：學生步行的平均速度是每小時4 千米.

評注：運用分式方程解決實際問題時，既要考慮方程的根是否使方程有意義，又要考慮方程的根是否符合實際意義.

練習8 “母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場調(diào)查，用3 000元購進第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5 000元購進第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進價比第一批的進價少5元.求第一批盒裝花每盒的進價是多少元？

八、方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用

例9 已知一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P（2，-1），則關(guān)于x的方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是 .

分析：理解方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解與一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象的交點P（2，-1）的縱橫坐標的關(guān)系.

解：∵一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點P（2，-1），

∴方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是[x=2，y=-1.]

評注：本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識，解題的關(guān)鍵是了解函數(shù)的圖象的交點與方程組的解之間的關(guān)系.

練習9 已知二元一次方程組[x-y=-5，x+2y=-2]的解為[x=-4，y=1，]則在同一平面直角坐標系中，直線l1：y=x+5與直線l2：y=[-12]x-1的交點坐標為 .

例10 （2016·菏澤）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過B（-2，6），C（2，2）兩點.

（1）試求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，求△BDC的面積；

（3）若直線y=[-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B，C）部分有兩個交點，求b的取值范圍.[O][x] [y] [B][C][D][圖3] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

6

5

4

3

2

1

-1][·][·][·]

分析：（1）運用待定系數(shù)法列方程組求拋物線的解析式.

（2）運用配方法求出二次函數(shù)的頂點D的坐標，再求出直線BC與對稱軸的交點H的坐標，根據(jù)S△BDC=S△BDH+S△DHC求出S△BDC.

（3）聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b和二次函數(shù)的解析式，列方程組，根據(jù)題意求出b的取值范圍.

解：（1）將點B，C的坐標代入解析式中，得

[4a-2b+2=6，4a+2b+2=2.]

解得[a=12，b=-1.]

∴拋物線的解析式為y=[12]x2-x+2.

（2）∵y=[12]x2-x+2，

∴y=[12]（x-1）2+[32].

∴拋物線的頂點D的坐標為（1，[32]）.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把B（-2，6），C（2，2）代入，得[-2m+n=6，2m+n=2.]

解得[m=-1，n=4.]

∴直線BC的解析式為y=-x+4.

∴拋物線的對稱軸直線x=1與直線BC的交點H的坐標為（1，3）（如圖4）.[O][x] [y] [B][C][D][圖4] [-2 -1 1 2 3 4 5 ][7

6

5

4

3

2

1

][·][·][·] [-1] [H]

∴DH=3[-32][=32].

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC[=12]×[32]×3[+12]×[32]×1=3.

（3）直線y=[-12]x向上平移b個單位得直線y=[-12]x+b，

聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b與二次函數(shù)的解析式，得[y=-12x+b，y=12x2-x+2.]

消去y，得x2-x+4-2b=0.

當Δ=0，即1-4（4-2b）=0時，直線與拋物線只有一個交點.

解得b=[158].

當直線y [=-12]x+b經(jīng)過點C（2，2）時，b=3，

當直線y [=-12]x+b經(jīng)過點B（-2，6）時，b=5.

∵直線y [=-12]x向上平移b個單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點B，C）部分有兩個交點，

∴[158]

評注：求直線與拋物線是否有交點時，可將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷交點情況.當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，直線與拋物線有2個交點；當方程有兩個相等的實數(shù)根時，直線與拋物線有1個交點；當方程沒有實數(shù)根時，直線與拋物線沒有交點.

練習10 如圖5，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸只有一個公共點A，經(jīng)過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點.[O][x][y][A][B][C][圖5]

（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式.

九、方程與幾何的綜合應(yīng)用

例11 （2015·柳州）如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8 cm，AD=12 cm，BC=18 cm，點P從點A出發(fā)以2 cm/s的速度沿A→D→C運動，點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā)，以1 cm/s的速度向點B運動，當點P到達點C時，點Q也停止運動.設(shè)點P，Q運動的時間為t s. [A][B][C][P][Q][圖6][D]

（1）從運動開始，當t取何值時，PQ∥CD？

（2）從運動開始，當t取何值時，△PQC為直角三角形？

分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以P，Q，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）分三種情況討論：①∠CQP=90°，

②∠CPQ=90°，③∠PCQ=90°.

解：（1）由題意，得點P在AD上，PD∥BC，當PD=CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形，即12-2t=t.

解得t=4.

∴當t=4 s時，四邊形PQCD是平行四邊形.

∴當t=4 s時，PQ∥CD.

（2）如圖7，過點D作DF⊥BC于F. [A][B][C][P][Q][圖7][D] [P][1][Q][1][F]

∴DF=AB=8 ，CF=BC-AD=18 -12 =6 ，CD=10 .

①當PQ⊥BC時，點P在AD上，則BQ+CQ=18 ，即2t+t=18.

解得t=6（s）.

②當QP⊥PC時，點P在DC上（如圖7），CP1=10+12-2t=22-2t，CQ1=t，

易知，△CDF∽△CQ1P1，

∴[CP1CF]=[CQ1CD]，即[22-2t6]=[t10].

解得t=[11013]（s）.

③當PC⊥BC時，∠PCQ=90°.

又∠DCB<90°，

∴這種情況不存在.

綜上所述，當t=6 s或[11013] s時，△PQC是直角三角形.

評注：解決關(guān)于幾何圖形的動點問題時，往往根據(jù)動點的時間和速度設(shè)某一邊長為未知數(shù)，然后再用該未知數(shù)表示出其他線段的長，再根據(jù)圖形的性質(zhì)找出等量關(guān)系列方程.

練習11 如圖8，在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，點P從點A開始沿AC邊向點C以1 cm/s的速度運動，在點C停止，點Q從點C開始沿CB邊向點B以2 cm/s的速度移動，在點B停止. [A][B][C][P][Q][圖8]

（1）如果點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△QPC=8 cm2；

（2）如果點P從點A先出發(fā)2 s，點Q再從點C出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△QPC=4 cm2.