淺析豎直平面內(nèi)圓周運動中的軌道“離地”臨界條件

許 龍 辛淑媛

(1. 安徽省太和縣第一中學,安徽 太和 236600; 2. 安徽省太和中學,安徽 太和 236600)

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·問題討論·

淺析豎直平面內(nèi)圓周運動中的軌道“離地”臨界條件

許 龍1辛淑媛2

(1. 安徽省太和縣第一中學,安徽 太和 236600; 2. 安徽省太和中學,安徽 太和 236600)

豎直平面內(nèi)圓周運動最高點模型的使用是需要考慮實際情況,本文將基于一道高考模擬題用數(shù)學方法分析最高點的臨界狀態(tài)的使用條件,以及常遇到的將軌道頂起的位置及條件．

最高點模型;數(shù)學方法;臨界速度;頂起軌道

豎直平面內(nèi)圓周運動的最高點臨界模型是高中階段最?？嫉囊粋€知識點,常會考到物塊恰好到最高點時的臨界速度,軌道壓力等問題．但有時候“簡單、粗放”地使用最高點模型并不一定會得到正確的結(jié)果,必須通過數(shù)學手段的分析才能知道在哪種情況下可以使用最高點模型,哪種情況又不能使用．筆者將結(jié)合一道高考模擬題來展開論述．

圖1

1 真題回放

例題.如圖1,A是半徑為R的圓形光滑軌道,固定在木板B上,豎直放置;B的左右兩側(cè)各有一光滑擋板固定在地面上,使其不能左右運動,小球C靜止放在軌道最低點,A,B,C質(zhì)量相等．現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0使小球在圓型軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運動,為保證小球能通過軌道的最高點,且不會使B離開地面,求初速度v0必須滿足的條件(已知重力加速度為g).

1.1 分析解答

最小值很好理解,至少過最高點,則在最高點存在臨界條件，有

同時從最低點到最高點,利用動能定理有

若按照常規(guī)思維,在最高點小球?qū)壍老蛏系膹椓N與軌道和底座的總重力Mg的關系為

FN≤Mg，

小球?qū)壍赖淖饔昧N與軌道對小球的作用力FN′是一對相互作用力FN=FN′,最高點向心力為

同時由動能定理有

可得在最低點的速度為

1.2 問題探討

圖2

這樣的解答很難讓人信服．筆者認為小球?qū)④壍理斊鸬奈恢靡兴懻摚y道只能在最高點才能把軌道頂起來么?小球到達軌道最高點之前就沒有球與軌道的作用力的豎直分力大于軌道和底座重力么?

基于這樣的疑問筆者用數(shù)學方法分析有沒有可能在最高點之外的地方將軌道頂起．

假設在最高點之外的D點可能,此時OD與豎直方向夾角為θ,如圖2．此時向心力為

F向=FN′+mgcosθ.

聯(lián)立可得

而軌道不離地面的條件是球?qū)壍雷饔昧Φ呢Q直向上的分力小于軌道及底盤自重,即

FNcosθ≤2mg.

對不等號右側(cè)可視為cosθ的函數(shù)

由均值不等式可得

若要此式恒成立則必有

即得

由于0～90°內(nèi)余弦函數(shù)0≤cosθ≤1,此時求得結(jié)果正好在此范圍內(nèi),符合題意．

如果按照答案給的結(jié)果的話,在小球沒到最高點的時候就已經(jīng)將軌道頂起來了．

2 問題拓展

設軌道質(zhì)量M,滿足FNcosθ≤Mg，小球未將軌道頂起,進而可以得到

圖3 f(cosθ)隨cosθ的變化

Mg+5mg.

對應的最低點速度滿足

可得

綜上可得如下結(jié)論:

3 總結(jié)

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)此題不只是選擇一個最高點模型,還要選擇把軌道給頂起來的另一個模型,這個模型需要考慮到軌道質(zhì)量和小球質(zhì)量的關系．真正的解題需要將這兩個模型相結(jié)合才可以．

數(shù)學是物理研究的工具和手段．對于物理問題的解決不是生搬硬套物理模型,還需用數(shù)學方法討論．

1 陳汝冰，陳琳.淺析豎直平面內(nèi)的圓周運動[J].物理教師，2015(3)：83-86.

2017-01-21)