任意光滑曲面上靜止均質(zhì)鏈所需拉力與總支持力的計(jì)算

曹 鵬 李 力

(1. 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué),重慶 401320; 2. 重慶市清華中學(xué),重慶 400054)

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任意光滑曲面上靜止均質(zhì)鏈所需拉力與總支持力的計(jì)算

曹 鵬1李 力2

(1. 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué),重慶 401320; 2. 重慶市清華中學(xué),重慶 400054)

圖1

一長(zhǎng)度為L(zhǎng)、線密度為λ的均質(zhì)鏈AB,放在豎直面內(nèi)任意形狀的光滑曲面上,如圖1所示.若要其靜止,則沿鏈頂端A的切線方向,應(yīng)施加多大的拉力F?

可研究鏈上任意一處質(zhì)量為dm的微元dl,設(shè)其與豎直方向成θ角,其上、下端所受張力分別為(f+df)與f,都在該處的切線上但彼此反向,二者合力則沿切線向上,大小為df=(f+df)-f,故該微元受力如圖1所示.由切向上的平衡,有df=dm·gcosθ=λg·dl·cosθ,沿整條鏈積分可得

(1)

其中H是鏈條AB在豎直方向上的投影總高度.文獻(xiàn)[1]用以上方法證明了這個(gè)有趣的結(jié)論,下面我們另外給出一個(gè)更簡(jiǎn)潔的證明.

設(shè)想在拉力F作用下,鏈條沿曲面向上緩慢移動(dòng)很小的距離ds.比較均質(zhì)鏈的初末狀態(tài),可以看出,相當(dāng)于把微元ds從下端B移至上端A而已.由功能原理可得F·ds=λds·gH,化簡(jiǎn)即為(1)式.

其實(shí),還可以進(jìn)一步拓展研究整根鏈條所受光滑曲面給予的總支持力,也可以找到簡(jiǎn)潔的計(jì)算公式,這在文獻(xiàn)[1]中并沒有提及.

圖2

假設(shè)沿鏈條頂端A的切向與豎直方向夾角為α,鏈的總長(zhǎng)為L(zhǎng),則不難求出均質(zhì)鏈所受總支持力N的大小和方向.

如圖2,整根均質(zhì)鏈在重力G、拉力F和支持力N作用下靜止,設(shè)N與豎直方向夾角為β,又G=λgL,F=λgH,代入余弦定理N2=G2+F2-2GFcosα得

(2)

(3)

從(1)式可知，任意光滑曲面上均質(zhì)鏈靜止所需拉力F的大小,只取決于上下端點(diǎn)之間的豎直距離H;其所受總支持力N的大小和方向,都與鏈條全長(zhǎng)L、F與豎直方向的夾角α以及H有關(guān),式(1)～(3)是一般計(jì)算公式,與光滑曲面的形狀無關(guān),這是一個(gè)在理論上比較有趣而且有一定實(shí)用價(jià)值的結(jié)果.

1 王偉民,辛存良.對(duì)一個(gè)力學(xué)問題的深入推廣[J].物理教師,2016(12):57-59.

2017-01-11)