考慮引力隨深度變化的海洋液體壓強(qiáng)分析

潘 龍 王永剛 曹傳建

(1. 青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第七中學(xué)，山東 青島 266510； 2. 青島黃海學(xué)院，山東 青島 266427)

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考慮引力隨深度變化的海洋液體壓強(qiáng)分析

潘 龍1王永剛2曹傳建2

(1. 青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第七中學(xué)，山東 青島 266510； 2. 青島黃海學(xué)院，山東 青島 266427)

初中物理中液體壓強(qiáng)公式為p=ρgh,其中g(shù)=9.8N/kg是常數(shù).但是實(shí)際上,隨著液體深度h的增加,同樣質(zhì)量的液體受到地球引力也會(huì)隨著發(fā)生變化.本文將對(duì)這種變化進(jìn)行分析,得到一個(gè)考慮引力隨深度變化的壓強(qiáng)計(jì)算公式.在不考慮地球自轉(zhuǎn)和大氣壓強(qiáng)的情況下,海洋液體內(nèi)部壓強(qiáng)與深度成二次函數(shù)關(guān)系.地表附近深度較淺時(shí),利用該公式計(jì)算液體壓強(qiáng)與利用p=ρgh得到的結(jié)果高度吻合,隨著深度增加,差別越來(lái)越大.

液體壓強(qiáng);深度變化;引力變化;二次函數(shù)

利用液體壓強(qiáng)p=ρgh計(jì)算液體壓強(qiáng)時(shí)，g是常數(shù).因此是忽略了h增加時(shí),地球引力發(fā)生了變化這一事實(shí)之后的近似.當(dāng)液體非常深時(shí),利用p=ρgh計(jì)算液體壓強(qiáng)會(huì)有多大的誤差?如果h增加時(shí),將引力的變化考慮進(jìn)去,液體壓強(qiáng)又該如何計(jì)算?本文就此一問(wèn)題進(jìn)行了分析.

為方便得到兩種情況下的對(duì)比.在分析過(guò)程中暫不考慮地球自轉(zhuǎn)以及大氣壓強(qiáng)的影響.并假設(shè)地球是正球體,液體受壓縮體積不變.在計(jì)算相關(guān)引力時(shí),將地球看作均勻球體．

萬(wàn)有引力常量為G,地球平均半徑為R,地球平均密度為ρ地,液體密度用ρ表示.

1 p=ρgh公式的變化

因此

(1)

2 壓強(qiáng)的精確計(jì)算分析

假設(shè)有一沿著地球半徑方向的液柱,截面積為S.在距離地心r處(r

(2)

由于液體受力平衡,因此距離地心為r處的截面受到的壓力F,等于截面以上所有液體受到的地球引力,即

(3)

因?yàn)閞=R-h,代入(3)式得

(4)

所以

(5)

3 應(yīng)用

由(5)式可以看出,地球上液體壓強(qiáng)p與深度h實(shí)際上成二次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)h?R時(shí),h2可以忽略,(5)式就變?yōu)?1)式,可見(jiàn)p=ρgh是一種地球表面附近的近似公式.

計(jì)算(5)式與(1)式的比值可以比較兩種計(jì)算的相對(duì)差別,得到

(6)

表1給出具體h值時(shí),(6)式的值.

表1 兩種算法的比值

通過(guò)表格中的計(jì)算數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)h=10m時(shí),(6)式的值為0.999999,幾乎無(wú)差別.在地表液體深度較淺時(shí),(5)和(1)式高度相似,隨著深度增加,差別也增大,海洋最深處約10000m,兩種計(jì)算的結(jié)果相差約8×10-4.

但是假如到了100000m深,就有了8×10-3的差別;在R/2深處,有1/4差別;如果能有直接貫通到地心的水柱,就有了1/2的差別.

4 結(jié)束語(yǔ)

也許作者討論的問(wèn)題對(duì)實(shí)際生活并無(wú)太大意義.但作者隱約中感覺(jué)在非勻強(qiáng)引力場(chǎng)中,液體壓強(qiáng)一定不是與深度成正比,其他星球表面也應(yīng)是如此.并特別希望弄清壓強(qiáng)到底與深度的深層次關(guān)系,不吐不快.作為一名初中教師,就選取了液體表面為海平面的海洋壓強(qiáng)這一最簡(jiǎn)單的情形進(jìn)行分析,除此之外,還有好多情形.而且分析中也有好多理想假設(shè).如果起到拋磚引玉的作用,那就太好了.

1 唐淑紅.高斯定理在萬(wàn)有引力場(chǎng)的應(yīng)用[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,30(3):14-16.

2016-12-08)