你對(duì)微積分知道多少

第一次聽說這本書是在我高一剛?cè)雽W(xué)，一個(gè)叫“大手牽小手”的活動(dòng)上。上一屆的學(xué)姐給我們推薦了這本書。

翻開這本書，從目錄就可以發(fā)現(xiàn)一種鮮明的邏輯性——從最簡(jiǎn)單的數(shù)字，到數(shù)字之間的關(guān)系；接著走入幾何，到了形狀；再深一步便是數(shù)形結(jié)合，談?wù)撟兓?、?shù)據(jù)；最后談及前沿。并且每一個(gè)部分都由淺及深，讀者會(huì)先帶著不同的眼光復(fù)習(xí)小學(xué)乃至幼兒園的知識(shí)，得到一些新的體會(huì)，然后慢慢被引入更深的、未知的領(lǐng)域，并且完全不需要接受任何晦澀的知識(shí)。在閱讀過程中，作者的博學(xué)也令我驚嘆。不妨引用圖書簡(jiǎn)介中的一句話——“沿途中你會(huì)看到數(shù)學(xué)如何與文學(xué)、哲學(xué)、法律、醫(yī)學(xué)、藝術(shù)、商業(yè)彼此交融，甚至流行文化也能以我們意想不到的方式和數(shù)學(xué)共舞?！毕旅婢妥屛乙脦讉€(gè)書中的片段來說明吧。

（第1部分第4章 交換律）為什么我們會(huì)有意無(wú)意地忽視或抵制乘法交換律呢？也許是因?yàn)樵谖覀兊娜粘Ｉ钪?，做事的順序往往比較重要，先做還是后做的結(jié)果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去買蛋糕；你也不可能先脫襪子，然后再脫鞋子。

著名的物理學(xué)家穆雷·蓋爾曼對(duì)交換律有著十分“獨(dú)特”的認(rèn)識(shí)。這位十分成功的科學(xué)家在年輕時(shí)也曾為自己的未來?yè)?dān)憂。當(dāng)時(shí)，蓋爾曼即將從耶魯大學(xué)畢業(yè)，準(zhǔn)備進(jìn)入研究生院深造。蓋爾曼對(duì)學(xué)校的品牌十分在意，他認(rèn)為自己必須在常春藤盟校繼續(xù)攻讀博士學(xué)位。遺憾的是，普林斯頓大學(xué)的研究生院沒有錄取蓋爾曼，雖然哈佛大學(xué)錄取了他，卻遲遲不肯給他發(fā)獎(jiǎng)學(xué)金或助學(xué)金。當(dāng)時(shí)，蓋爾曼最好的選擇就是去麻省理工學(xué)院攻讀博士學(xué)位，他為此感到極度沮喪，因?yàn)樵谏w爾曼的心目中，麻省理工學(xué)院只不過是一所臟兮兮的技術(shù)類學(xué)院，根本不符合他高貴的品位。最后，蓋爾曼還是接受了麻省理工學(xué)院的錄取通知，去那里繼續(xù)完成學(xué)業(yè)。多年以后，當(dāng)談起自己當(dāng)年的選擇，蓋爾曼聲稱，當(dāng)時(shí)自己甚至考慮過自殺。他表示，之所以放棄了自殺的念頭，是因?yàn)樗庾R(shí)到去麻省理工學(xué)院讀書和自殺兩件事是不服從交換律的：去麻省理工學(xué)院讀書并不妨礙他日后自殺，但如果自殺了就不能再去麻省理工學(xué)院讀書了。既然日后如有需要時(shí)仍可以選擇自殺，不妨先去麻省理工學(xué)院讀書。

穆雷·蓋爾曼

對(duì)于不可交換律的重要性，蓋爾曼是十分敏感的。我相信，作為一名量子物理學(xué)家，蓋爾曼在日后的學(xué)習(xí)和工作中一定對(duì)不可交換律有著更為深刻的理解：很多時(shí)候，自然界就是不服從交換律的。而且，這絕對(duì)是一件好事。正是因?yàn)橛辛瞬豢山粨Q律，世界才能是我們今天看到的樣子。如果任何事物都服從交換律，物質(zhì)就不可能是固態(tài)的，原子也會(huì)自動(dòng)毀滅。

在量子力學(xué)發(fā)展的初期階段，維爾納·海森堡和保羅·狄拉克發(fā)現(xiàn)了一條和我們平常的直覺認(rèn)識(shí)極不相符的重要定律。如果我們用p表示一個(gè)粒子的動(dòng)量，用q表示這個(gè)粒子的位置，那么，出乎人類意料的是，在自然界中，p×q≠q×p。這條定律就是著名的海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理。如果自然界沒有這種奇妙的不可交換律，原子就會(huì)毀滅，萬(wàn)事萬(wàn)物，包括我們?nèi)祟愐捕疾豢赡艽嬖凇?/p>

對(duì)于我們?cè)偈煜げ贿^的乘法交換律，這位博學(xué)的大數(shù)學(xué)家給出了非常獨(dú)特的角度供我們思考。

但是對(duì)于一些并不是每個(gè)人都非常熟悉的知識(shí)，作者的解釋也是非常通俗易懂且有趣的，下面引用一段關(guān)于微積分的文字。（這里先假設(shè)閱讀這篇文章的你是一名普通的沒有學(xué)過微積分的中學(xué)生吧。）

（第4部分第18章 積分譜成的優(yōu)雅數(shù)學(xué)變奏曲）在數(shù)學(xué)的歷史上，積分最早產(chǎn)生于幾何學(xué)領(lǐng)域，發(fā)明積分是為了計(jì)算曲線圍成的面積。在第16章中我們提到過，圓可以像比薩一樣被切成很多小塊。在極限的情況下，一個(gè)圓可以被等分成無(wú)限多個(gè)小塊，每一塊的面積無(wú)限小。這些小塊可以被巧妙地拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，而且長(zhǎng)方形的面積非常容易計(jì)算。通過這樣的方法，我們求出了圓的面積。這是積分的一種典型的用法：把一個(gè)復(fù)雜的東西進(jìn)行無(wú)數(shù)次分割，最終使其容易加總。

除了這種二維的切割法，阿基米德還使用過這種方法的三維升級(jí)版，他以此來計(jì)算各種實(shí)心幾何體的體積（在阿基米德之前，另一位希臘數(shù)學(xué)家歐克多索在公元前400年左右就做過類似的事情了）。阿基米德的方法是這樣的：把實(shí)心幾何體想象成是一堆盤子、一摞華夫餅，或者是一根切成很多薄片的香腸。因?yàn)閹缀误w是不規(guī)則的，每一片香腸的大小不盡相同，通過計(jì)算這些大小不一的薄片的體積，再把它們巧妙地加總起來，不規(guī)則幾何體的體積就計(jì)算出來了。

……

在微積分和微積分基本定理問世之前，人們只能分析和處理最簡(jiǎn)單的變化問題。當(dāng)一個(gè)物體發(fā)生穩(wěn)定的變化，也就是變化速率為常數(shù)時(shí)，代數(shù)就能很好地解決問題?！熬嚯x等于速度乘以時(shí)間”，就是變化速率為常數(shù)的例子。比如說，一輛車以每小時(shí)60英里的速度勻速行駛，那么顯然這輛車1小時(shí)的時(shí)間能行駛60英里，2個(gè)小時(shí)的時(shí)間能行駛120英里，以此類推。

……

從這個(gè)角度來說，微積分是在用一種多功能切菜機(jī)般的態(tài)度來看待我們的宇宙。牛頓以及后來的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，自然的本質(zhì)就是，萬(wàn)物都是一小塊一小塊拼湊出來的。過去300年來發(fā)現(xiàn)的所有物理定律幾乎都符合這個(gè)性質(zhì)：不管是粒子的運(yùn)動(dòng)、熱和電的傳導(dǎo)，還是空氣或水的流動(dòng)，都可以看作一小塊一小塊的。每一小塊時(shí)間或空間里的情況除了受到整體的控制之外，還受到相鄰小塊情況的影響。

現(xiàn)在的你也許并不需要知道微積分中的種種運(yùn)算法則，但是你想必也在某些特定的時(shí)候有過這樣的苦惱：你的高中物理老師在講課的途中突然插入一句“這個(gè)問題的具體證明要用到微積分，以后再說吧”“這道題下面的步驟用積分方便多了，會(huì)的同學(xué)可以研究一下”，然后對(duì)微積分一無(wú)所知的你就會(huì)一頭霧水，不知所措。但那僅僅是在閱讀這本書之前的你的苦惱，閱讀之后，你對(duì)微積分會(huì)有大概的形象上的認(rèn)知，雖然不知道具體操作步驟，但也算是知道具體的方向了。（要知道，高中物理用得上微積分的地方可不少。）對(duì)于學(xué)過微積分的同學(xué)來說，讀這本書“變化”這一部分也是非常有意義的，可以令你免于局限在種種運(yùn)算法則之中，好好體會(huì)微積分的美吧。