運(yùn)算律，無(wú)論在哪里都適用嗎？

顧巍偉 嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

【片段1】一位教師在教學(xué)“加法交換律”和“加法結(jié)合律”之后，出了這樣一道選擇題：25+38+75=25+75+38，這里運(yùn)用了（ ）。A.加法交換律；B.加法結(jié)合律；C.加法交換律和加法結(jié)合律。許多學(xué)生選擇A。揭示答案是C后，教師在學(xué)生的辯駁“只是38和75交換了位置啊”中，也說不出所以然來。

教師最后總結(jié)說：“兩個(gè)數(shù)相加可以交換位置，三個(gè)數(shù)相加也可以改變運(yùn)算順序。你們還有什么想法嗎？”

生：無(wú)論多少個(gè)數(shù)相加，都可以改變運(yùn)算順序，和都不會(huì)變。

師：對(duì)，是這樣。你真棒！

……

【片段2】一位教師教學(xué)“加法交換律”，課始組織了兩位學(xué)生交換位置、兩件物品交換位置等活動(dòng)，然后由此導(dǎo)入新課：“在數(shù)學(xué)中，也有著類似的交換現(xiàn)象。這節(jié)課我們就一起來研究?！?/p>

……

課終，教師播放了《朝三暮四》的flash動(dòng)畫：“在這個(gè)故事中，你能找到加法交換律嗎？”

當(dāng)學(xué)生找出“3+4=4+3”后，教師總結(jié)道：“確實(shí)，‘朝三暮四’和‘朝四暮三’結(jié)果是一樣的，因?yàn)樗霞臃ń粨Q律。”教師接著又補(bǔ)了一句：“看來，加法交換律不僅在數(shù)學(xué)中普遍適用，而且在生活中也普遍適用?！?/p>

……

“問”：病歷記錄

對(duì)于片段1的教學(xué)，筆者在課后對(duì)執(zhí)教教師進(jìn)行了如下訪談。

筆者：你是怎樣判斷交換律和結(jié)合律的？

執(zhí)教者：交換律改變的是數(shù)的位置，結(jié)合律改變的是數(shù)的運(yùn)算順序。25+38+75=25+75+38，我感覺只是改變了38和75的位置，并沒有改變從左往右依次運(yùn)算的順序?。。ㄕf完，一臉困惑，這也是她沒在課內(nèi)表態(tài)的原因——對(duì)標(biāo)準(zhǔn)答案心存疑惑）

筆者：對(duì)于“無(wú)論多少個(gè)數(shù)相加”，你是怎么理解的？

執(zhí)教者：我認(rèn)為既可以有限個(gè)數(shù)相加，也可以無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)相加，對(duì)嗎？

筆者（點(diǎn)頭）：那無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)相加，加法交換律和結(jié)合律還適用嗎？

執(zhí)教者（一臉疑惑）：難道不可以嗎？

……

對(duì)于片段2的教學(xué)，筆者也對(duì)執(zhí)教教師進(jìn)行了一次訪談，具體如下。

筆者：對(duì)于“加法交換律在數(shù)學(xué)中普遍適用”這句話，你覺得有問題嗎？（執(zhí)教者對(duì)這一問題感到驚訝和不解）

筆者：那后半句“加法交換律在生活中也普遍適用”，你覺得有問題嗎？

執(zhí)教者（不再猶豫）：沒問題啊，數(shù)學(xué)源于生活，例如生活中有著許多像兩個(gè)人交換位置、兩件物品交換位置等交換現(xiàn)象，基于這樣的考慮，所以我設(shè)計(jì)了從生活中的交換現(xiàn)象引入數(shù)學(xué)中的交換現(xiàn)象的教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生一下子就理解了。

……

“切”：病理診治

運(yùn)算律，顧名思義，數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律?；具\(yùn)算律以及初中階段將要學(xué)習(xí)的指數(shù)運(yùn)算法則，被統(tǒng)稱為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“通性通法”。運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)中唯一以定律方式呈現(xiàn)的內(nèi)容。

片段1中，執(zhí)教教師所說的“交換律改變的是數(shù)的位置，結(jié)合律改變的是數(shù)的運(yùn)算順序”，僅僅關(guān)注了數(shù)的位置和數(shù)的運(yùn)算順序，忽視了另外一個(gè)重要的前件。例如加法交換律“如果兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，那么和不變”（許多教材和教師在表述時(shí)，為了讓語(yǔ)句簡(jiǎn)短，常常省略“如果……那么……”這一關(guān)聯(lián)詞語(yǔ)，甚至把“兩個(gè)數(shù)相加”也省略了，最終剩下“交換加數(shù)位置，和不變”），具有“若P則Q”假言命題的形式，P稱為命題的前件，Q稱為命題的后件，前件和后件構(gòu)成了命題的整體。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的“交換律”是指：一種運(yùn)算“*”和參加運(yùn)算的某集合A中的任意“兩個(gè)元素”a、b，一定有a*b= b*a，我們就說運(yùn)算“*”對(duì)于集合A滿足交換律。由此可見，“兩個(gè)元素參加運(yùn)算”這一前件忽視不得，否則在判斷“25+38+75=25+75+38”究竟用了什么運(yùn)算律時(shí)就會(huì)發(fā)生知識(shí)性錯(cuò)誤。

具體來看，“25+38+75=25+75+38”已經(jīng)是三個(gè)數(shù)連加，按照運(yùn)算規(guī)則，在“25+38+75”中，38只與25運(yùn)算，其和63才與75運(yùn)算，怎么可以運(yùn)用加法交換律交換38和75的位置呢？也就是說，正是因?yàn)榧臃ㄟ€滿足結(jié)合律，才能將38和75的位置交換過來，它可以看成是加法交換律和加法結(jié)合律的綜合應(yīng)用（如下圖）：

加法結(jié)合律如果聯(lián)系加法交換律，那么加法結(jié)合律可以進(jìn)一步延伸：三個(gè)數(shù)相加，可以把任意兩個(gè)數(shù)先相加，再加上第三個(gè)數(shù)，和不變。甚至可以推廣到更多的數(shù)相加的情況，經(jīng)過加法交換律和結(jié)合律的多次綜合運(yùn)用，得到“多個(gè)數(shù)相加，都可以改變運(yùn)算順序，和不變”。從表面上看，多個(gè)數(shù)相加可以任意交換位置，似乎只是運(yùn)用了交換律，其實(shí)應(yīng)該說多個(gè)加數(shù)的基點(diǎn)最終是通過結(jié)合律化歸到兩數(shù)交換律。只是在實(shí)際操作中，人們對(duì)“交換”這一特征印象更清晰，直接導(dǎo)致“只運(yùn)用了交換律”的誤見。

我們可以把“a+b+c = a+c+b”這樣一個(gè)規(guī)律說成是由加法結(jié)合律和交換律證明了的一個(gè)“推論”。嚴(yán)格地說，“a+b+c = a+c+b”應(yīng)用的運(yùn)算律不是加法交換律的推廣而是加法交換律和結(jié)合律的推廣。對(duì)乘法也是如此，可以合并表述為：三個(gè)以上的數(shù)相加（乘），任意交換加（乘）數(shù)的位置，或者先把其中的任意幾個(gè)結(jié)合成一組相加（乘），再同其他數(shù)相加（乘），它們的和（積）不變。

由此，我們還可以看出，加法交換律和結(jié)合律通常在加、減運(yùn)算中同時(shí)使用，交換的目的在于結(jié)合，結(jié)合時(shí)一般是按正負(fù)結(jié)合，按相反數(shù)結(jié)合，總之，將容易計(jì)算的數(shù)進(jìn)行結(jié)合；乘法交換律和結(jié)合律通常在乘、除運(yùn)算中使用，交換的目的同樣是為了結(jié)合，結(jié)合時(shí)一般是將能約分的數(shù)結(jié)合。

五個(gè)基本運(yùn)算定律適用于小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，在中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通行無(wú)阻。那么，是否像片段2中執(zhí)教教師所說的“（加法）交換律不僅在數(shù)學(xué)中普遍適用”呢？答案是否定的。

首先，運(yùn)算律只能運(yùn)用于有限集合的運(yùn)算，而不能運(yùn)用到無(wú)限集合中。例如：

算法一：1-1+1-1+1-1+…=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1或1-1+1-1+1-1+…=1-（1-1）-（1-1）-…=1；

算法二：1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-l）+（1-1）+…=0。

同一道題得出兩個(gè)不同的答案，當(dāng)然是不允許的，其原因就是在無(wú)限范圍內(nèi)使用了加法交換律和加法結(jié)合律。由此可見，片段1中學(xué)生的發(fā)現(xiàn)——“無(wú)論多少個(gè)數(shù)相加，都可以改變運(yùn)算順序，和都不會(huì)變”，這種說法不對(duì)。

其次，學(xué)習(xí)了高等代數(shù)，就會(huì)知道代數(shù)運(yùn)算不一定具有交換或結(jié)合的性質(zhì)。例如，n次置換的乘法能滿足結(jié)合律，但不滿足交換律；n階矩陣的乘法不滿足交換律，但滿足結(jié)合律。

再次，對(duì)定義新運(yùn)算，例如，對(duì)于運(yùn)算，交換律和結(jié)合律都是不適用的。

綜合以上知識(shí)，我們就能得到這樣一個(gè)結(jié)論：運(yùn)算律在數(shù)學(xué)中并非普遍適用。那么，運(yùn)算律在生活中是否也普遍適用呢？答案也是否定的。

片段2中，執(zhí)教教師課始采用兩位學(xué)生交換位置、兩件物品交換位置導(dǎo)入新課，作為引子可以，不過還是有著本質(zhì)的區(qū)別。執(zhí)教教師說的“數(shù)學(xué)源于生活”，只對(duì)了一半，完整的說法應(yīng)該是“數(shù)學(xué)源于生活但高于生活”，也就是說“數(shù)學(xué)不完全等于生活”，以本節(jié)課而言，運(yùn)算律不能濫用于生活，萬(wàn)事萬(wàn)物在發(fā)展順序和運(yùn)作順序上往往不滿足“交換律”，例如穿衣服，先穿內(nèi)衣再穿外衣，你就不能交換過來，先穿外衣再穿內(nèi)衣，時(shí)間也是無(wú)法“交換”，你先上樓再下樓，有可能與先下樓再上樓的結(jié)果不一致。

綜上所述，執(zhí)教教師最后的補(bǔ)充——“看來，加法交換律不僅在數(shù)學(xué)中普遍適用，而且在生活中也普遍適用”并沒有起畫龍點(diǎn)睛的作用，反而成了畫蛇添足，是教學(xué)的敗筆。

我們?cè)賮砜唇處熣f的前一句話——“‘朝三暮四’和‘朝四暮三’結(jié)果是一樣的”，如果脫離情境，純粹地看數(shù)學(xué)等式“3+4=4+3”，毫無(wú)疑問它符合加法交換律，但如果放到生活中就未必符合加法交換律，例如從養(yǎng)生角度看，“早上吃得少晚上吃得多”與“早上吃得多晚上吃得少”對(duì)健康的影響未必一樣；從創(chuàng)新角度看，“從‘三’追求‘四’”與“從‘四’追求‘三’”顯示的精神狀態(tài)未必一樣；從經(jīng)濟(jì)角度看，“先拿到‘三’”與“先拿到‘四’”所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效用未必一樣……

綜上所述，運(yùn)算律在數(shù)學(xué)中并非無(wú)論在哪里都適用，在生活中也并非無(wú)論在哪里都適用，所以教師需要三思而后言。

（江蘇省無(wú)錫市張涇實(shí)驗(yàn)小學(xué) 214194

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214191）