于正軍

一、內(nèi)心疑惑：等底等高圓錐的體積真是圓柱的[13]嗎

小學(xué)階段的一些數(shù)學(xué)概念不能或無(wú)法根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)從數(shù)理上進(jìn)行直觀(guān)推理或直接驗(yàn)證，如“等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]”。對(duì)于諸如此類(lèi)的數(shù)學(xué)概念的理解，學(xué)生雖然在教師的所謂“引導(dǎo)”之下知道了數(shù)學(xué)結(jié)論，但在學(xué)生的內(nèi)心深處，卻留下了疑惑。教師在教學(xué)時(shí)，一定要讓學(xué)生充分經(jīng)歷過(guò)程，參與活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中感知，在過(guò)程中感悟，使內(nèi)心的疑惑得到化解，知識(shí)得以?xún)?nèi)化。

在教學(xué)“圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)”時(shí)，課堂上經(jīng)?？吹降默F(xiàn)象就是：教師通過(guò)實(shí)際操作演示或課件演示“告知”學(xué)生等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作驗(yàn)證。殊不知課堂上如果像這樣直接告知驗(yàn)證，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生心中生成如下兩個(gè)疑惑：（1）直接做這樣的實(shí)驗(yàn)太唐突，老師為什么會(huì)想到要做這樣的實(shí)驗(yàn)操作？（2）這樣的操作只能使學(xué)生直觀(guān)觀(guān)察感受到等底等高圓錐的體積大約是圓柱的[13]，怎樣讓學(xué)生確信一定是[13]呢？會(huì)不會(huì)也存在像“圓的周長(zhǎng)大約是直徑的3倍”這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象呢？

因此，在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中，教師要從學(xué)生的“心靈”現(xiàn)實(shí)出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維現(xiàn)實(shí)，關(guān)注學(xué)生在探索數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中可能產(chǎn)生的疑惑，可作如下引導(dǎo)學(xué)生猜想：三角形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的？它與等底等高平行四邊形的面積之間有怎樣的關(guān)系？這樣就會(huì)促使學(xué)生激活“轉(zhuǎn)化”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。教師趁熱打鐵：圓錐可以轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的圖形嗎？學(xué)生通過(guò)觀(guān)察直觀(guān)感知，不怎么好轉(zhuǎn)化，教師追問(wèn)：那能不能找到與已學(xué)過(guò)圖形之間的關(guān)系呢？這樣就促使學(xué)生很自然地猜想到與圓柱體積之間的關(guān)系上來(lái)，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維特征。此時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)：圓錐的體積怎樣計(jì)算呢？它與等底等高的圓柱的體積之間有什么聯(lián)系呢？在如此的追問(wèn)與引導(dǎo)之下，學(xué)生才會(huì)產(chǎn)生動(dòng)手操作實(shí)踐的欲望，繼而讓學(xué)生在操作觀(guān)察中發(fā)現(xiàn)，等底等高圓錐的體積是圓柱的[13]。如此引導(dǎo)才能激發(fā)學(xué)生探究的欲望，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣。一旦每小組參與操作的學(xué)生在操作過(guò)程中發(fā)現(xiàn)等底等高圓錐的體積大約是圓柱的[13]，這時(shí)教師因勢(shì)利導(dǎo)加以說(shuō)明：“我們?cè)诓僮鬟^(guò)程中一定有誤差，其實(shí)等底等高圓錐的體積就是圓柱的[13]。”因?yàn)樗鼈兌咧g的關(guān)系是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，而不是教師告知的。因此學(xué)生此時(shí)對(duì)老師明確的這一數(shù)學(xué)結(jié)論就不會(huì)產(chǎn)生“是大約[13]，還是一定是[13]”的疑惑，而且會(huì)對(duì)圓錐體積計(jì)算公式深信不疑，理解深刻。

二、內(nèi)心思考：倒數(shù)不會(huì)是倒過(guò)來(lái)的數(shù)吧

學(xué)生的內(nèi)心世界充滿(mǎn)了幻想與想象。而到了小學(xué)中高年級(jí)，這種內(nèi)心想象會(huì)隨著學(xué)生思維的發(fā)展和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累逐步趨于數(shù)學(xué)猜想，而這種數(shù)學(xué)猜想總是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)作為思維支撐，從而形成學(xué)生的內(nèi)心思考。因此，一線(xiàn)教師在引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念時(shí)，一定要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)心思考，使內(nèi)心思考不斷助推學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。

例如，教學(xué)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”。在學(xué)生的內(nèi)心深處，學(xué)生首先猜想到：倒數(shù)不會(huì)是倒過(guò)來(lái)的數(shù)吧？是把什么數(shù)倒過(guò)來(lái)呢？是把數(shù)的什么倒過(guò)來(lái)呢？如果教師在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，無(wú)視學(xué)生的這些內(nèi)心思考，直接告訴學(xué)生“倒數(shù)”的數(shù)學(xué)定義，學(xué)生不但對(duì)“倒數(shù)”概念的理解模糊，而且也不能激發(fā)學(xué)生對(duì)“倒數(shù)”知識(shí)的內(nèi)容產(chǎn)生研究興趣，同時(shí)也扼殺了學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，使學(xué)生體會(huì)不到學(xué)習(xí)“倒數(shù)”知識(shí)的必要性和數(shù)學(xué)價(jià)值。

因此，教學(xué)時(shí)需要從學(xué)生的“心靈”現(xiàn)實(shí)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生猜想“倒數(shù)”的數(shù)學(xué)概念：（1）回憶一下，你已認(rèn)識(shí)了哪些數(shù)？如：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、因數(shù)、倍數(shù)等。你還聽(tīng)說(shuō)過(guò)小學(xué)階段還會(huì)學(xué)到哪些數(shù)？如：百分?jǐn)?shù)、倒數(shù)等。（2）你能從“倒數(shù)”這個(gè)概念上去猜一猜，“倒數(shù)”可能是一個(gè)怎樣的數(shù)？（3）在你認(rèn)識(shí)的數(shù)中，什么數(shù)倒過(guò)來(lái)仍然成為一個(gè)數(shù)呢？（4）倒過(guò)來(lái)的數(shù)和原來(lái)的數(shù)有什么關(guān)系？（5）根據(jù)你的理解能用自己的語(yǔ)言概括“倒數(shù)”的數(shù)學(xué)定義嗎？在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅能說(shuō)出分子和分母位置互倒的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，也說(shuō)出了乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。因此，關(guān)注學(xué)生的內(nèi)心思考，引導(dǎo)學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)數(shù)學(xué)猜想，這樣教師不僅為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)主動(dòng)探索、自主建構(gòu)的空間與平臺(tái)，也使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中，提升了數(shù)學(xué)猜想能力，感悟了基本的數(shù)學(xué)思想。

三、內(nèi)心需求：寫(xiě)這個(gè)比干嗎

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)和安排教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)心需求，否則學(xué)生會(huì)對(duì)教師預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容毫無(wú)興趣，亦無(wú)熱情，無(wú)法產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想，從而造成學(xué)生課堂參與度不高，課堂教學(xué)效率低下，不能高效達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

例如，教學(xué)“正比例的意義”。在聽(tīng)課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，一線(xiàn)教師總是直接出示例題中的表格，并直接給出教材的要求和問(wèn)題：“寫(xiě)出幾組相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比，并求出比值。你發(fā)現(xiàn)了什么？”然后在學(xué)生求出比值的基礎(chǔ)上，硬拉著學(xué)生套用教材中正比例意義的數(shù)學(xué)概念概括路程、時(shí)間和速度三者之間的變化關(guān)系，并讓學(xué)生進(jìn)行練說(shuō)和記憶。

如果教學(xué)時(shí)直接拋出教材中這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生感到很“詫異”和“意外”，并且在內(nèi)心深處會(huì)立刻產(chǎn)生疑團(tuán)：寫(xiě)這個(gè)比干嗎？因?yàn)榇藭r(shí)學(xué)生在審題時(shí)，并不認(rèn)為例題表格中的信息是為了寫(xiě)比而提供的，沒(méi)有產(chǎn)生寫(xiě)比的需求，更不會(huì)去猜想寫(xiě)這個(gè)比的必要性和目的。一旦學(xué)生在心靈深處有了這樣的心理活動(dòng)和想法，學(xué)生就根本無(wú)暇顧及路程、時(shí)間和速度這三個(gè)數(shù)量之間的變化關(guān)系。因此學(xué)生此時(shí)心中總是在猜疑今天老師會(huì)帶領(lǐng)我們學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？要我們寫(xiě)出路程與時(shí)間的比干嗎？所以，引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)什么”，不是教師機(jī)械地套用教材強(qiáng)加給學(xué)生，而是要激發(fā)學(xué)生的內(nèi)心需求，引導(dǎo)學(xué)生“靜悄悄地”進(jìn)入數(shù)學(xué)猜想：（1）觀(guān)察例題表格中的信息，猜一猜里面可能會(huì)隱藏什么規(guī)律？（2）你是怎么發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律的？你想怎樣表達(dá)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生用比表示出表格中路程與時(shí)間的關(guān)系，并追問(wèn)比的什么變了？什么沒(méi)變？（3）你會(huì)用一個(gè)簡(jiǎn)潔的方式表示出這個(gè)規(guī)律嗎？比一比誰(shuí)能用最簡(jiǎn)潔最具代表的方式表示此規(guī)律？（4）在學(xué)生交流匯報(bào)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)：規(guī)律總是在變化中探尋不變的東西，猜一猜可以用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系式來(lái)表示這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象？從而引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出“[路程時(shí)間]=速度（一定）”的數(shù)量關(guān)系式。（5）誰(shuí)能用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)對(duì)這個(gè)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)？學(xué)生經(jīng)歷了如此的體驗(yàn)和思考過(guò)程，就會(huì)很自然地感悟到路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且很直觀(guān)地體會(huì)到時(shí)間變化，路程也隨著變化，它們的比值（速度）總是一定的，這樣學(xué)生在頭腦里就會(huì)自然建構(gòu)正比例意義的數(shù)學(xué)概念。即使學(xué)生不能用教材中簡(jiǎn)潔規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述正比例意義的數(shù)學(xué)定義，但學(xué)生在課堂上都能用自己的語(yǔ)言說(shuō)出正比例意義的數(shù)學(xué)含義，說(shuō)明正比例數(shù)學(xué)概念的意義在學(xué)生的頭腦中得到內(nèi)化與建立。因此，學(xué)生的內(nèi)心深處一旦產(chǎn)生學(xué)習(xí)需求，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)思考的欲望，繼而促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探求新的知識(shí)。所以，新知的引入要顯得自然，要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)心需求，讓學(xué)生體驗(yàn)到所學(xué)內(nèi)容的必要性和目的性，這樣的教學(xué)才能行云流水，水到渠成。

綜上所述，數(shù)學(xué)課堂理應(yīng)從學(xué)生的心靈實(shí)際出發(fā)，關(guān)注學(xué)生的內(nèi)心疑惑、內(nèi)心思考和內(nèi)心需求，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)成為學(xué)生“心靈的舞場(chǎng)、思維的操場(chǎng)、智慧的牧場(chǎng)”。

（作者單位： 江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）