一階微分方程的常數(shù)變異法及積分因子的探討

李靜

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

一階微分方程的常數(shù)變異法及積分因子的探討

李靜

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

總結(jié)解一階微分方程的方法：常數(shù)變異法、積分因子法，展示它們在不同題型中的應(yīng)用。

一階微分方程；常數(shù)變異法；積分因子；恰當(dāng)微分方程

1 預(yù)備知識

1.1 常微分方程的基本概念

1.1.1 常微分方程和偏微分方程

1.1.2 線性和非線性

這里a1(x)，…，an(x)，f(x)是x的已知函數(shù)。這個方程即為一般n階線性微分方程所具有的形式。

1.2 常微分方程的發(fā)展史

常微分方程發(fā)展初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或者是超越函數(shù)表示其解，屬于求解時代。萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題，而歐拉則試圖用積分因子統(tǒng)一處理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等積分時提出后人以他的名字命名的過程。

早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾于1841年證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷。加上柯西初值問題的提出，常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“求定解”時代。19世紀(jì)末常微分方程的研究從“求定解問題”轉(zhuǎn)向“求所有解”的新時代。到20世紀(jì)六七十年代以后，常微分方程由于計算機技術(shù)的發(fā)展迎來了新的時期，從“求所有解”轉(zhuǎn)入“求特殊解”時代。

一階微分方程的初等解法，即把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為積分問題，它的解得表達(dá)式由初等函數(shù)或者超越函數(shù)來表示。通常我們有以下幾種類型。

2 線性微分方程和常數(shù)變異法

求得方程解的方法我們稱之為常數(shù)變異法。

3 恰當(dāng)微分方程與積分因子

3.1 形如M(x，y)dx+N(x，y)dy=0的一階微分方程

但我們?nèi)绾闻袆eM(x，y)dx+N(x，y)dy=0是恰當(dāng)微分方程呢？如果是那如何求得u=u(x，y)？

3.2 積分因子

當(dāng)原方程不為恰當(dāng)微分方程時，我們該怎么求解呢？我們可以尋求一個積分因子使得原方程變?yōu)榍‘?dāng)微分方程，那我們?nèi)绾螌で竽兀?/p>

例1 假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)[4]u=u(x，y)≠0使得：

u(x，y)M(x，y)dx+u(x，y)N(x，y)dy=0為恰當(dāng)微分方程，

即：uMdx+uNdy≡dv則稱u(x，y)為積分因子。

這樣積分因子就找到了。

例2 假設(shè)M(x，y)dx+N(x，y)dy=0滿足關(guān)系式

u(x，y)M(x，y)dx+u(x，y)N(x，y)dy=0，

[1]朱思銘，李尚廉.數(shù)學(xué)模型[M].廣州：中山大學(xué)出版社，1995，48-52.

[2]姜啟源，謝全星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2002，91-98.

[3]丁崇文.中國大百科全書[M].北京：中國大百科全書出版社，1988，23-26.

[4]ZhangC.OnSimpleModulesfortheRestrictedLiealgebrasofCartantype[J].CommunicationsinAlgebra，2002，30(11)：5393-5429.

(責(zé)任編輯：宋金寶)

Probe into the Solve of First Order Differential Equation

LI Jing

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

The solve of first order differential equation is concluded，such as the method of separation of variables，constant variation or integral factor method to show their application in different topic.

first order differential equation；constant variation method；integral factor；exact differential equation

2017-01-05

李靜(1991-)，女(漢族)，河南輝縣人，中國傳媒大學(xué)理工學(xué)部碩士研究生.E-mail：1510397111@qq.com

O241.81

A

1673-4793(2017)03-0053-04