一類(lèi)無(wú)限維李代數(shù)的雙導(dǎo)子

黃晶晶，張志蘭，付佳媛

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

一類(lèi)無(wú)限維李代數(shù)的雙導(dǎo)子

黃晶晶，張志蘭，付佳媛

(中國(guó)傳媒大學(xué) 理工學(xué)部，北京100024)

本文給出了一類(lèi)與Virasoro代數(shù)相關(guān)的無(wú)限維李代數(shù)，詳細(xì)刻畫(huà)了該類(lèi)李代數(shù)的雙導(dǎo)子結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，并且得到該類(lèi)李代數(shù)上的線(xiàn)性交換映射的形式。

Virasoro代數(shù)；代數(shù)導(dǎo)子；雙導(dǎo)子；線(xiàn)性交換映射

1 前言

在李代數(shù)的領(lǐng)域里，導(dǎo)子與廣義導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)是比較重要的課題。Virasoro代數(shù)[1]是一類(lèi)非常著名的無(wú)限維李代數(shù)，在物理與數(shù)學(xué)的許多分支里具有廣泛的應(yīng)用，許多學(xué)者對(duì)其結(jié)構(gòu)已經(jīng)做了細(xì)致而深刻的研究。雙導(dǎo)子與線(xiàn)性交換映射是近年來(lái)比較熱門(mén)的方向，例如對(duì)Schr?dinger-Virasoro 李代數(shù)，以及Super-Virasoro代數(shù)的雙導(dǎo)子的計(jì)算。文獻(xiàn)[2] 中，Schr?dinger-Virasoro代數(shù)的雙導(dǎo)子與線(xiàn)性交換映射的問(wèn)題得到了解決。在文獻(xiàn)[3]中，作者定義了W(a，b)代數(shù)上所有斜對(duì)稱(chēng)雙導(dǎo)子，并且發(fā)現(xiàn)了外雙導(dǎo)子的存在。雙導(dǎo)子同時(shí)適用于超代數(shù)上，其被稱(chēng)作超雙導(dǎo)子，文獻(xiàn)[4]表明Super-Virasoro代數(shù)上的斜對(duì)稱(chēng)超雙導(dǎo)子也是內(nèi)雙導(dǎo)子。有了這些作者們積極的探索，將有助于我們刻畫(huà)出一類(lèi)與Virasoro代數(shù)相關(guān)的無(wú)限維李代數(shù)的雙導(dǎo)子結(jié)構(gòu)，并得出比較好的性質(zhì)。

2 預(yù)備知識(shí)

在本文中，我們用G表示一般的李代數(shù)，S表示一類(lèi)無(wú)限維李代數(shù)，表示整數(shù)，表示復(fù)數(shù)域。

定義2.1[5]對(duì)任意的李代數(shù)G，定義一個(gè)線(xiàn)性映射D：G→G，如果對(duì)?x，y∈G，D滿(mǎn)足以下條件：

我們就稱(chēng)D是G的導(dǎo)子。

定義2.2 對(duì)李代數(shù)G，定義一個(gè)雙線(xiàn)性映射δ：G×G→G，我們稱(chēng)δ為G的雙導(dǎo)子，如果對(duì)?x，y，z∈G，滿(mǎn)足以下關(guān)系式：

其中m，n，p，q∈。

引理2.4[6]Der(S)/Inn(S)=0，也就是說(shuō)，李代數(shù)S的每一個(gè)導(dǎo)子D都可以寫(xiě)做D=adx，其中x∈S。

3 李代數(shù)S的雙導(dǎo)子

這一部分當(dāng)中，我們將逐步討論得到李代數(shù)S的雙導(dǎo)子結(jié)構(gòu)，在此仍然用δ表示S的雙導(dǎo)子。

定理3.1若δ是李代數(shù)S的雙導(dǎo)子，則：

δ(x，y)=[φ(x)，y]=[x，ψ(y)]，?x，y∈S

其中φ，ψ是兩個(gè)線(xiàn)性映射：

φ：S→S

ψ：S→S

證明：以下分兩步來(lái)證明該定理：

(1)對(duì)于S中的某一個(gè)元素x，我們定義映射：φx：S→S，使得

δ(x，y)=φx(y)，任取a，b，c∈S，由于：

δ(a，[b，c])=φa([b，c])，

[δ(a，b)，c]+[b，δ(a，c)]=[φa(b)，c]+[b，φa(c)]

顯然易證φx是S的導(dǎo)子，又由引理2.4知S的導(dǎo)子都是內(nèi)導(dǎo)子，故存在映射φ，φ：S→S，使得φx=adφ(x)。那么φx(y)=ad(φ(x))(y)=[φ(x)，y]，即證δ(x，y)=[φ(x)，y]。又由于δ是雙線(xiàn)性映射，則φ一定是線(xiàn)性映射。

(2)相似地，我們定義一個(gè)映射ψy：S→S，使得ψy(x)=δ(x，y)，ψy是S中的內(nèi)導(dǎo)子，同樣存在映射ψ：S→S，使得ψy=ad(-ψ(y))，那么δ(x，y)=ψy(x)=ad(-ψ(y))(x)=[x，ψ(y)]。

定理3.2李代數(shù)S的雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子。

我們將該定理的證明分為以下兩個(gè)引理。

引理3.3存在μ∈，使得

φ(Ln)=μLn，ψ(Ln)=μLn

φ(Mn)=μMn，ψ(Mn)=μMn

φ(Yn)=μYn，ψ(Yn)=μYn

其中n∈。φ：S→S，ψ：S→S

證明：設(shè)對(duì)任意的m∈，有

(1)

(2)

(3)

其中，i∈，

鑒于接下來(lái)的運(yùn)算量比較大，為了方便起見(jiàn)，我們分以下四步來(lái)討論：

第一步，將(1)式代入，通過(guò)直接運(yùn)算得到：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

對(duì)(6)式，

綜上，令m，n取遍m≠n的所有整數(shù)，得到：

對(duì)(7)式，

對(duì)(8)式，

以下是m，n不全為偶數(shù)的情況：

當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，令n=2k+1，m=2l，k，l∈，代入到(8)式中去，有

綜合上述所得到的結(jié)果，可得到：

(9)

第二步，

(10)

(11)

將所得的結(jié)果代入到(9)(11)式中，可知：

從而該引理得證。

引理3.4若δ是李代數(shù)S的雙導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)δ是李代數(shù)S的內(nèi)雙導(dǎo)子，也就是說(shuō)存在μ∈使得?x，y∈S。

證明：若δ是李代數(shù)S的內(nèi)雙導(dǎo)子，顯然易證δ是李代數(shù)S的雙導(dǎo)子。反過(guò)來(lái)，若δ是李代數(shù)S的雙導(dǎo)子，由引理3.3知，φ(x)=μx，ψ(y)=μy，μ∈，又由定理3.1知δ(x，y)故

4 線(xiàn)性交換映射

定理4.1若φ是無(wú)限維李代數(shù)S上的線(xiàn)性交換映射，當(dāng)且僅當(dāng)存在復(fù)數(shù)μ使得φ(x)=μx，x∈S。

[1]YucaiSu，KaimingZhao.GeneralizedVirasoroandsuper-Virasoroalgebrasandmodulesoftheintermediateseries[J].JournalofAlgebra， 2002.

[2]Wang D，Yu X. Biderivations and linear commuting maps on the Schr?dinger-VirasoroLie algebra[J]. Communications in Algebra，2013，41(6)：2166-2173.

[3]Han X，Wang D，Xia C. Linear commuting maps and biderivations on the Lie algebras W(a，b)[J]. Journal of Lie theory，2016，26(3)：777-786.

[4]Xia C，Wang D，Han X. Linear super-commuting maps and super-biderivations on the super-Virasoro algebras[J]. Communications in Algebra，2016，44(12)：5342-5350.

[5]蘇育才，盧才輝，崔一敏.有限維半單李代數(shù)簡(jiǎn)明教程[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[6]呂彥瑋，朱林生.一類(lèi)李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，25(2).

[7]Bregar M.Commuting maps：a survey[J].Taiwanese Journal of Mathematics，8(3)：361-397，2004.

(責(zé)任編輯：宋金寶)

Biderivation of a Class of Infinite-dimensional Lie Algebra

HUANG Jing-jing，ZHANG Zhi-lan，F(xiàn)U Jia-yuan

(Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China)

A class of infinite-dimensional Lie algebra related to Virasoro algebra is introduced in this paper，we research its biderivation structure clearly and then the property is determined. Besides，we get the forms of linear commuting map on the algebra.

Virasoro algebra；derivation；biderivation；linear commuting map

2016-12-05

黃晶晶(1990-)，女(漢族)，山東菏澤人，中國(guó)傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：1543460315@qq.com

O152.5

A

1673-4793(2017)03-0063-06