量子力學(xué)中坐標(biāo)平移算子的性質(zhì)及其應(yīng)用

郁華玲

(淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

量子力學(xué)中坐標(biāo)平移算子的性質(zhì)及其應(yīng)用

郁華玲

(淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

在古典力學(xué)到量子力學(xué)的范式轉(zhuǎn)變過(guò)程中,平移算子具有重要的代表性.本文從古典的坐標(biāo)平移概念出發(fā)引入平移算子,利用量子力學(xué)的基本原理推導(dǎo)出無(wú)限小平移算子以及有限位移平移算子的表達(dá)形式,進(jìn)而對(duì)其性質(zhì)和運(yùn)用進(jìn)行了探討.研究表明厄密的動(dòng)量算子產(chǎn)生了反厄密的幺正平移算子,也就是說(shuō)動(dòng)量算子操縱了坐標(biāo)的平移過(guò)程,同時(shí)坐標(biāo)的一對(duì)平移算子也是坐標(biāo)本征矢一對(duì)階梯算子.將平移算子運(yùn)用到諧振子上,較好地求解出了其相干態(tài).

量子力學(xué); 平移算子; 階梯算子; 相干態(tài)

0 引言

1900年Max Planck提出的能量量子化理論敲開(kāi)了量子力學(xué)的大門[1],此后古典力學(xué)和量子力學(xué)之間的關(guān)系一直是人們研究和討論的熱門課題.古典力學(xué)適用于低速宏觀的物體,其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由確定的相軌跡來(lái)描述，而微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵循量子力學(xué)原理.量子力學(xué)拋棄了古典力學(xué)運(yùn)動(dòng)軌跡的概念,提出了幾條基本假設(shè)[2-3]: 1) 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用幾率波態(tài)函數(shù)來(lái)描述,量子態(tài)滿足疊加原理; 2) 力學(xué)量一次量子化成算子,測(cè)量值一定是該算子本征方程求得的本征值; 3) 兩算子的乘法交換關(guān)系及量子化條件; 4) 量子態(tài)滿足運(yùn)動(dòng)方程.在這4條公設(shè)下推演出了量子力學(xué)一系列的原理和定律.而所有這些原理和結(jié)論都還在接受著實(shí)踐的檢驗(yàn).

在從古典力學(xué)到量子力學(xué)的范式轉(zhuǎn)變中,算子扮演著重要的角色.力學(xué)量對(duì)應(yīng)的線性厄米算子是量子力學(xué)數(shù)學(xué)體系的核心.厄米算子的性質(zhì)及本征方程的求解結(jié)果直接決定了其對(duì)應(yīng)力學(xué)量的測(cè)量結(jié)果.在量子力學(xué)中,算子與算子之間乘積的不可交換性稱之為對(duì)易關(guān)系,對(duì)易關(guān)系決定了它們對(duì)應(yīng)力學(xué)量之間的不確定關(guān)系,這一關(guān)系可以說(shuō)是量子力學(xué)的心臟.在量子力學(xué)中有一類著名的算子叫階梯算子,它們不和某個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng),不是厄米算子,但在量子力學(xué)的計(jì)算過(guò)程中階梯算子是一個(gè)非常有用的工具,常使對(duì)一些重要模型體系的理解豁然開(kāi)朗,例如諧振子的一對(duì)階梯算子形象的理解為粒子數(shù)的產(chǎn)生和湮滅算子.這些階梯子算子經(jīng)常使得量子力學(xué)的計(jì)算別開(kāi)生面[4-6].但在一般的量子力學(xué)教材中有的不提及階梯算子,只介紹了諧振子的產(chǎn)生湮滅算子[7],有的介紹了階梯算子,但也最多只介紹三對(duì)階梯算子:角動(dòng)量階梯算子;諧振子階梯算子;自旋階梯算子[8].本文從古典的坐標(biāo)平移概念出發(fā)定義平移算子,利用量子力學(xué)的基本原理推演出平移算子所具有的各種性質(zhì),從而給出量子力學(xué)中坐標(biāo)本征矢的一對(duì)階梯算子.

1 平移算子的定義

圖1 坐標(biāo)系平移示意圖

(1)

(2)

由式(1)(2)可得:

(3)

由式(2)(3)比較可得:

(4)

式(4)表達(dá)了算子在平移變化下的表示[9-10].

2 平移算子的性質(zhì)

2.1 平移算子的幺正性

因?yàn)閼B(tài)矢量在平移變換下內(nèi)積不變,所以:

(5)

(6)

由式(5)(6)可得:

(7)

2.2 無(wú)限小位移算子的反厄密性

考慮無(wú)限小坐標(biāo)平移變換的情況,即Δx→0的極限情況.令:

(8)

得到無(wú)限小位移生成算子:

(9)

將式(8)代入式(7)可得:

(10)

由式(10)得到:

(11)

式(11)表示了無(wú)限小位移算子的反厄密性質(zhì).

2.3 動(dòng)量算子操縱平移過(guò)程

(12)

將式(8)代入式(12),再利用式(11)得:

(13)

因?yàn)閤′=x-Δx,所以有:

(14)

量子力學(xué)中坐標(biāo)和動(dòng)量算子的交換關(guān)系式為:

(15)

比較式(14)(15)可得:

(16)

將上式代入式(8)得到:

(17)

由式(17)可以得到動(dòng)量算子和平移算子是對(duì)易的,也就是說(shuō)動(dòng)量算子在平移變換下保持不變,所以動(dòng)量在平移操作下是守恒量,平移算子的本征態(tài)也是動(dòng)量算子的本征態(tài).

2.4 有限平移算子的階梯性

(18)

將式(16)(17)兩式代入上式得到:

(19)

利用對(duì)易關(guān)系[10]:

(20)

并且把式(19)代入式(18)可以得到:

(21)

圖2 坐標(biāo)本征矢的一對(duì) 梯子算子示意圖

(22)

(23)

同理有

(24)

3 利用平移算子求解諧振子的相干態(tài)

對(duì)于諧振子來(lái)說(shuō),定義了一對(duì)能量本征態(tài)的階梯算子:

(25)

(26)

(27)

式(27)兩邊作用到|z〉態(tài)上:

(28)

所以

(29)

(30)

此相干態(tài)是諧振子所有能量本征態(tài)的相干疊加.

4 小結(jié)

本文從古典力學(xué)出發(fā)引入坐標(biāo)平移算子,利用量子力學(xué)基本原理推導(dǎo)出其表達(dá)形式,并進(jìn)一步分析了其幺正性、反厄密性、階梯性等特點(diǎn).同時(shí)利用諧振子的平移算子較好地求解出了其相干態(tài).

[1] Plank M. On the Theory of the Energy Distribution Law of the Normal Spectrum[J]. Verh Dtsch Phys Ges，1900(2):237-245.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

[3] 張永德. 量子力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2008.

[4] 王曼英, 王永昌. 如何構(gòu)造階梯算符[J].大學(xué)物理,1993(12): 24-25.

[5] 游佩林, 黃湘友.從體系計(jì)算中討論海森伯不確定關(guān)系[J].物理,2012,41:811-815.

[6] 濮振文, 卓光輝. 經(jīng)典振子和量子振子的對(duì)應(yīng)關(guān)系[J].物理,1986,15:579-583.

[7] 周世勛. 量子力學(xué)教程[M]. 北京: 高等教育出版社,2009.

[8] Griffiths D J. Introduction to Quantum Mechanics[M]. New York: Pearson Education International, 2005:131-171.

[9] 喀興林. 高等量子力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2001:247-256.

[10] Sakurai J J. Modern Quantum Mechanics[M]. California: Addision-Wesley Publishing Company, 1994: 41-50.

[責(zé)任編輯：蔣海龍]

The Properties and Applications of Coordinate Translation Operators in the Quantum Mechanics

YU Hua-ling

(School of Physics and Electronic Electrical Engineering, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

Translation operators are typical and unique in the progress of paradigm shifting from classical mechanics to quantum mechanics. Translation operators are defined in the classical mechanics, and then the expressions for both infinitesimal and finite translation are derived by using the basic principle of quantum mechanics. It is shown that the translation operator is unitary and anti-Hermitian and ladder for the eigenvectors of coordinate. The momentum operator controls the progress of coordinate translation. The coherent states of harmonic oscillator is investigated skillfully by translation operators.

quantum mechanics; translation operators; ladder operators; coherent states

2017-03-08

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140450); 淮安市科技計(jì)劃項(xiàng)目(HAG2014043)

郁華玲(1975-), 女,江蘇沭陽(yáng)人,副教授,博士,主要從事凝聚態(tài)理論的研究. E-mail: hlyu-phys@126.com

O413

A

1671-6876(2017)02-0131-04