吳長征,劉殿富,岳 義，3,韋寶琛

(1.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109; 3.上海航天設備制造總廠,上海 200245)

?

空間雙臂機器人運動學及動力學分析與建模研究

吳長征1,劉殿富2,岳 義1，3,韋寶琛1

(1.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109; 3.上海航天設備制造總廠,上海 200245)

針對空間雙臂機器人運動學和動力學建模，對失重狀態(tài)下空間機器人的運動學分析與建模進行了研究。給出了雙臂機器人左右臂的DH坐標及參數(shù)，建立了正運動學的計算公式，基于臂形角的方法，給出了更高效的空間機器人冗余單臂的解析形式逆解求解方法。分析了空間雙臂機器人全部工作狀態(tài)，引入二元判定系數(shù)歸納得到了雙臂獨立運動、雙臂協(xié)同操作、閉鏈本體漂浮、開鏈本體漂浮4種四種機器人工作狀態(tài)，并基于拉格朗日方程得到了4種不同工作狀態(tài)下的動力學模型。通過對空間雙臂機器人運動學及動力學進行分析與建模，為空間雙臂機器人的設計與研究提供理論基礎。

空間雙臂機器人； 冗余； 解析形式； 逆運動學； 動力學； 失重； 建模； 判定系數(shù)

0 引言

空間機器人在在軌維護(如失效衛(wèi)星捕捉、故障衛(wèi)星修復)，代替航天員在危險復雜的太空環(huán)境中進行艙外作業(yè)、完成空間科學實驗，以及空間站的建設與維護等方面發(fā)揮了重要作用[1-2]。雙臂機器人的協(xié)作性能優(yōu)良。但同時協(xié)作性能使其運動學及動力學具更強的耦合性和非線性。強耦合性和非線性導致其運動學及動力學模型更復雜?？臻g機器人的構(gòu)型從最早期的單臂機器人Canadarm逐步發(fā)展到Dextre，Robonaut2等雙臂機器人，從而提高協(xié)作性能[3-5]。7自由度冗余機械臂因其避障、避關(guān)節(jié)極限、避關(guān)節(jié)奇異、最小化關(guān)節(jié)力矩、改善機械臂可操作度等的優(yōu)勢，成為雙臂機器人臂型中最常用的類型[6-10]。

運動學逆解是運動學分析的重要內(nèi)容，也是運動規(guī)劃及控制的基礎。針對冗余機械臂的運動學逆解解法進行了大量研究，但多是基于偽逆的方法，如加權(quán)雅可比、阻尼最小二乘法、梯度下降法等[7,11-12]。這些方法均是數(shù)值解法，且部分還加入了優(yōu)化指標?；趥文娴慕夥茚槍Σ煌牟僮魅蝿栈虿僮髦笜诉M行優(yōu)化，但求解效率及速度較低。文獻[13]提出了臂形角解法，引入臂形角約束獲得解析形式的逆解。解析型的解法則能極快得到解，但使機械臂失去了很多特性，如靈活性等?？臻g機器人工作時處于失重狀態(tài)，對機器人的動力學控制則需重新建立在失重環(huán)境中的動力學方程。建立動力學模型方法有拉格朗日方程、牛頓歐拉法、凱恩方程等[14]。拉格朗日法，只從能量的角度出發(fā)，通過對廣義坐標求導得到系統(tǒng)的廣義力；牛頓歐拉法通過分析每根桿件的受力情況建立迭代形式的動力學方程，易于計算機實現(xiàn)。上述方法，同樣適于空間機器人的動力學建模。針對特定自由漂浮狀態(tài)下的無根空間機器人系統(tǒng)，有虛擬機械臂、虛擬地面法、動力學等效法等[15]。本文針對基于偽逆的求解方法效率不高的問題，結(jié)合臂形角給出了空間雙臂機器人逆運動學解析形式求解方法，引入二元判定系數(shù)，將機器人的工作狀態(tài)歸納表示為4種不同工作狀態(tài)，針對4種工作狀態(tài)，基于拉格朗日方程建立對應強耦合、非線性工作的空間雙臂機器人動力學模型，為空間雙臂機器人的設計與研究提供理論基礎。

1 空間雙臂機器人結(jié)構(gòu)及參數(shù)

1.1 雙臂機器人虛擬樣機及組成結(jié)構(gòu)

本文結(jié)合我國空間站的建造及維護規(guī)劃，研究了一種空間雙臂機器人。該機器人由1個工具箱本體和2個DLR型7自由度單臂構(gòu)成。工具箱用于存儲不同操作任務下的機器人末端工具，同時該工具箱基座通過雙臂的配合能運動到不同的工位進行定位。該機器人能用于空間站的建造及維護，也可代替航天員進行危險的艙外作業(yè)，以及配合科學家完成空間科學實驗?？臻g雙臂機器人的虛擬樣機如圖1所示。

圖1 空間雙臂機器人虛擬樣機Fig.1 Virtual prototyping of dual-arm space robot

1.2 空間雙臂機器人DH參數(shù)

為便于分析雙臂機器人的運動學，根據(jù)DH坐標系的建立方法，建立空間雙臂機器人的各坐標系如圖2所示[16]。圖2中：∑i為右臂坐標系i；∑i′為左臂坐標系i′；∑b為基坐標系。

由圖2可知：雙臂機器人左右單臂的DH參數(shù)相同，參數(shù)見表1。表1中：ai為∑i-1與∑i的原點間沿xi軸距離；αi為zi-1軸與zi軸繞xi軸間的夾角；θi為xi-1軸與xi軸繞zi-1軸間的夾角；di為∑i-1與∑i的原點間沿zi-1軸距離。

表1 雙臂機器人DH參數(shù)

2 空間雙臂機器人運動學

2.1 空間雙臂機器人正運動學

圖2 雙臂機器人DH坐標系Fig.2 DH coordinates of dual-arm space robot

rot(Xi,αi)·tran(ai,0,0)=

(1)

式中：rot(Zi-1,θi)為繞Zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi；tran(0,0,di)為沿Zi-1軸移動距離di；rot(Xi,αi)為繞Xi軸旋轉(zhuǎn)αi；tran(ai,0,0)為繞Xi軸移動距離ai。由上述定義，可得相鄰兩坐標系齊次變換關(guān)系為

[Xi-1Yi-1Zi-11]T

(2)

則0標系至7系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(3)

[X0Y0Z01]

(4)

2.2 冗余機械臂逆解解法

2.2.1 臂形角定義

在笛卡爾空間中表征一個物體的位姿需要參數(shù)6個，而上述機械臂有7個輸入的冗余機械臂。單臂的前三個關(guān)節(jié)、后三個關(guān)節(jié)相互正交，如圖3所示，該機械臂單臂可等效為S-R-S構(gòu)型，分別構(gòu)成肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)。因具冗余特性，對末端同一位姿，機械臂有無窮多組輸入組合能滿足，亦即機械臂存在自運動。

圖3 機械臂等效S-R-S構(gòu)型Fig.3 Equivalent configuration S-R-S of manipulator

為得到唯一的機械臂逆解，引入臂形角約束[13]。機械臂臂形角定義如圖4所示。圖4中：肩部三關(guān)節(jié)軸線相交于點S；腕部三關(guān)節(jié)相交于點W；點E為第四關(guān)節(jié)坐標系的原點；v為第一關(guān)節(jié)的軸線矢量。S，E，W三點構(gòu)成臂型面，v與SW構(gòu)成參考平面，ψ為臂型面與參考面間的夾角。

圖4 臂形角定義Fig.4 Definition of arm-angle

2.2.2 肘關(guān)節(jié)角求解

根據(jù)串聯(lián)機械臂正運動學，末端工具坐標系位姿在0系中可表示為

(5)

(6)

式中：iRj為i系姿態(tài)至j系中姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣；0l0s,3lse,4lew,7lwt為常值向量，且

(7)

(8)

(9)

(10)

此處：d0s為0系原點與點S的距離；dse為點S，E的距離；dew為點E，W的距離；dwt為點W至工具坐標系(即7系)原點的距離。

(11)

則SW在0系中可表示為

0xsw=0x7-0lbs-0R77lwt=0R3(3lse+3R44lew)

(12)

假設機械臂末端的位置與姿態(tài)固定時，則SW亦固定，即0xsw固定。因此，對任意固定的末端位姿，此種S-R-S構(gòu)型的冗余機械臂的自運動不改變腕關(guān)節(jié)交點W的位置，腕關(guān)節(jié)的姿態(tài)在基坐標系中的表示則取決于繞SW軸的旋轉(zhuǎn)角度，即腕部的姿態(tài)取決于臂形角ψ。繞SW軸的旋轉(zhuǎn)可表示為按任意軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣

0Rψ=I3+ sinψ[(0usw)×]+

(1-cosψ)[(0usw)×]2

(13)

式中：I3為三階單位陣；0usw為與0xsw對應的單位向量；符號“×”表示反對稱陣。則可得

(14)

由圖3可知：當末端的位姿固定時，肘部的關(guān)節(jié)角亦是固定的。此結(jié)論可通過計算式(12)的歐式范數(shù)驗證，即

(15)

(16)

(17)

將式(16)代入式(5)、(6)，用臂形角表述的運動學方程可寫成

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

2.2.3 肩關(guān)節(jié)及腕關(guān)節(jié)角求解

由于肩關(guān)節(jié)角依賴于臂形角，先計算出臂形角為零時的參考關(guān)節(jié)角。如上所述，參考關(guān)節(jié)角可由固定關(guān)節(jié)三的關(guān)節(jié)角為0求解，且參考關(guān)節(jié)角需滿足

(22)

(23)

當臂形角為0時，可得轉(zhuǎn)移矩陣

(24)

解得

(25)

得到臂形角為0時的第二個關(guān)節(jié)角

0xsw(3))

(26)

第一個關(guān)節(jié)角

(27)

(28)

則有

(29)

將式(13)代入式(17)，可得

(30)

式中：

(31)

由于已知旋轉(zhuǎn)矩陣

0R3=

(32)

式中：

根據(jù)式(30)、(32)對應元素相等，可得

(33)

(34)

(35)

式中：aSij,bSij,cSij分別為AS，BS，CS中的(i，j)元素。

同理，將式(13)代入式(19)，可得

(36)

式中：

(37)

由于已知旋轉(zhuǎn)矩陣

(38)

式中：

根據(jù)式(36)、(38)對應元素相等，可得

(39)

(40)

(41)

式(20)、(33)～(35)、(39)～(41)給出了冗余機械臂的求解計算公式。當給定空間雙臂機器人機械臂末端的位姿時，便能求解得到各關(guān)節(jié)需到達的關(guān)節(jié)角。

3 空間雙臂機器人動力學

3.1 動力學建模基礎

關(guān)于動力學模型的建立方法有拉格朗日方程、牛頓歐拉法、凱恩方程等[14]。拉格朗日法從能量的角度出發(fā)，通過對廣義坐標求導得到系統(tǒng)的廣義力；牛頓歐拉法通過分析每根桿件的受力狀況建立迭代形式的動力學方程，易于計算機實現(xiàn)。雙臂機器人在執(zhí)行任務操作時固聯(lián)于空間站上，因雙臂機器人的質(zhì)量相對空間站可忽略不計，故忽略機器人與空間站的耦合作用，則文獻[15]的角動量守恒方法不適于本文空間雙臂機器人的建模。機器人單臂為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，采用拉格朗日方程更易于重新建立空間雙臂機器人的動力學模型。

拉格朗日方程為

(42)

式中：Ek，Ep，qi，F(xiàn)i分別為系統(tǒng)的動能、勢能、廣義坐標和廣義力。

機器人所處的環(huán)境失重，Ep項為0，拉格朗日方程式(42)可改寫為

(43)

由式(43)可知：對雙臂機器人的動力學分析只需求出整機系統(tǒng)的動能，再對廣義坐標求導就可得系統(tǒng)所受的廣義力。

求解中，建立坐標系并取廣義坐標qr(i),ql(j)，其中1≤i≤n,1≤j≤m。令qr(i)為右臂第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度，ql(j)為左臂第j關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度；ωbase,ωtar分別為基座和目標操作物的角速度；mr(i)為右臂第i桿的質(zhì)量，ml(j)為左臂第j桿的質(zhì)量；mbase,mtar分別為基座和目標操作物的質(zhì)量；Ir(i)為右臂第i關(guān)節(jié)的慣性張量，Il(j)為左臂第j關(guān)節(jié)的慣性張量；Ibase,Itar分別為基座和目標操作物的慣性張量。取左、右臂桿件質(zhì)心的笛卡爾坐標分別為(xr(i),yr(i),zr(i))，(xl(i),yl(i),zl(i))；取基座和目標操作物質(zhì)心的笛卡爾坐標分別為(xbase,ybase,zbase)，(xtar,ytar,ztar)。

空間雙臂機器人系統(tǒng)的總動能為左臂、右臂、基座，以及目標操作物的動能之和，即

(44)

式中：η1，η2為二元判定參數(shù)，取值為0或1。此處：右臂、左臂、基座和目標操作物的動能分別為

(45)

(46)

Ibase(ωbase)2]

(47)

Itar(ωtar)2]

(48)

當ηi(i=1，2)取0時，系統(tǒng)不存在對應動能計算項，此時該物體靜止；當ηi取1時，系統(tǒng)存在對應動能計算項，此時該物體運動。

3.2 空間雙臂機器人動力學模型

空間雙臂機器人在執(zhí)行任務過程中涉及雙臂協(xié)同關(guān)系的轉(zhuǎn)換和本體位型的改變。由式(44)，η1對應操作物的狀態(tài)，η2對應機器人本體的狀態(tài)。當ηi(i=1，2)取0時，該物體靜止；當ηi取1時，該物體運動。根據(jù)二元判定參數(shù)的取值組合，將機器人位型的轉(zhuǎn)換歸納為4種工況：當η1=0，η2=0時，機器人本體固定，雙臂運動；當η1=1，η2=0時，雙臂均抓緊扶手，機器人本體運動；當η1=0，η2=1時，對應雙臂均抓緊扶手、機器人本體運動，以及單臂抓住扶手、機器人本體和另外一只臂運動兩種工況?；谑?43)，建立4種工況對應的動力學模型。

3.2.1 工況1——機器人本體固定，雙臂運動

該工況發(fā)生在從初始狀態(tài)到協(xié)同操作狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程中，此時左右臂同時運動，但不執(zhí)行末端操作，如圖5(a)所示。圖5(a)中：空間雙臂機器人本體固聯(lián)于空間站電氣樁上，雙臂運動為插拔電氣元件做準備。

圖5 工況1Fig.5 Case 1

工況1的機器人簡化桿件模型如圖5(b)所示，可分別求出指定運動情況下的左右臂的關(guān)節(jié)力矩。圖5中：Pl(j),Pr(i)分別為左臂第j關(guān)節(jié)、右臂第i關(guān)節(jié)的坐標。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(49)

3.2.2 工況2——機器人本體固定，雙臂協(xié)同操作

該工況發(fā)生在機器人固定在一個固定工位，雙臂共同完成協(xié)同任務，如共同拆裝航天器插件、擰螺絲等時。機器人本體固定在空間站電氣樁上，雙臂協(xié)同操作進行航天器插件的拆裝維護工作，如圖6所示。

圖6 工況2Fig.6 Case 2

在圖6(b)桿件簡化模型中目標操作物也處于運動狀態(tài)，需在計算系統(tǒng)動能時加入目標操作物的動能，目標操作物的位姿則可由左右臂的協(xié)同關(guān)系解得。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(50)

3.2.3 工況3——雙臂均抓緊扶手，機器人本體運動

該工況發(fā)生在機器人在空間站上自主從一個工位轉(zhuǎn)移到另一個工位時，此時需調(diào)整本體的位置。在此過程中左右臂末端桿件固定，本體發(fā)生運動，如圖7所示。

圖7 工況3Fig.7 Case 3

在圖7(b)桿件的簡化模型中機器人本體運動，左右臂末端固定。計算系統(tǒng)動能時左右臂末端桿件動能為0。機器人本體位姿則可由左右臂的協(xié)同關(guān)系來解得。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(51)

3.2.4 工況4——單臂抓住扶手，機器人本體和另外一只臂運動

該工況發(fā)生在機器人在空間站上工位轉(zhuǎn)移過程中。機器人一只臂抓住空間站扶手，另一只臂準備抓住下一工位的扶手，如圖8所示。

圖8 工況4Fig.8 Case 4

在如圖8(b)所示桿件簡化模型中，左臂的末端固定，其余桿件，包括基座均處于動態(tài)，因此可用串聯(lián)臂的解法求出各桿件位置。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(52)

將式(49)～(52)代入式(44)，可得簡化形式的動力學方程為

τ

(53)

4 結(jié)束語

本文對失重狀態(tài)下的空間雙臂機器人的運動學及動力學建模進行了研究。由分析實際工程應用中的雙臂機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，用臂形角的解法，給出了求解效率更高的空間雙臂機器人的運動學逆解解析方法。分析了空間雙臂機器人在執(zhí)行任務中的狀態(tài)，引入二元判定參數(shù)，歸納得到了雙臂獨立運動、雙臂協(xié)同操作、閉鏈本體漂浮、開鏈本體漂浮4種強耦合、非線性工作狀態(tài)下的動力學模型。通過對空間雙臂機器人變構(gòu)型工作狀態(tài)下的運動學及動力學分析，為后續(xù)空間雙臂機器人的研制提供理論基礎。后續(xù)將構(gòu)造虛擬工況，對空間雙臂機器人的運動學及動力學特性做進一步的研究與驗證。

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Kinematics and Dynamics Modeling for Dual-Arm Space Robot

WU Chang-zheng1, LIU Dian-fu2, YUE Yi1, 3, WEI Bao-chen1

(1. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240, China; 2. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Aerospace Equipments Manufacturer, Shanghai 200245, China)

To establish the kinematics and dynamics model of dual-arm space robot, a study was made to analysis the characters of the robot in non-gravity environment and modeling in this paper. The formulation for forward kinematics of the right and left arm was given out in terms of the robot’s DH parameters. A more efficiency method to solve the inverse kinematics for redundant was derived based on the arm-angle approach. The 2 coefficients of determination parameters were introduced to describe the working condition for space robot. The working condition was analyzed for dual-arm space robot and 4 different kinds of dynamics equations were given based on the Lagrange’s equations, which were the two arms moved independently, the two arms cooperated, the base floating with closed chain and the base floating with open chain. The modeling of kinematics and dynamics laid the foundation for the design and analysis for dual-arm space robot.

dual-arm space robot; redundant; analytical; inverse kinematics; dynamics; non-gravity; modeling; coefficient of determination

1006-1630(2017)03-0080-08

2017-01-12；

2017-03-06

國家自然科學基金資助(61473187)；教育部青年教師基金資助(20130073120045)；航天先進技術(shù)聯(lián)合研究中心技術(shù)創(chuàng)新項目資助(USCAST2015-36)

吳長征(1992—)，男，碩士生，主要從事機器人運動規(guī)劃研究。

TP242.3

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.03.011