基于隨機波動模型的雙障礙期權(quán)問題的研究

□劉兆瑩 孟乃杰 柏 松 王天珊

（華北理工大學 河北 唐山 063000）

基于隨機波動模型的雙障礙期權(quán)問題的研究

□劉兆瑩 孟乃杰 柏 松 王天珊

（華北理工大學 河北 唐山 063000）

本文首先建立隨機波動下的雙障礙期權(quán)定價問題的模型，進而推導出了關(guān)于期權(quán)價格的偏微分方程。力圖證明現(xiàn)實的金融市場中,有效的市場模型對于投資者決策以及金融風險管理和避險等方面有著重要的影響。

雙障礙；期權(quán)；偏微分方程；金融風險

期權(quán)交易在經(jīng)濟領(lǐng)域中有重要意義，由于障礙期權(quán)可以作為一種防范風險有效手段，近年來發(fā)展迅速，是金融數(shù)學中的前沿課題之一。

所謂障礙期權(quán)，就是為了減少風險而施加了限制的一種特殊期權(quán)。雙障礙期權(quán)同時具有高障礙和低障礙，或者說敲出期權(quán)和敲入期權(quán)。敲出期權(quán)就是當標的資產(chǎn)價格達到某障礙水平時，該期權(quán)作廢；敲入期權(quán)就是當標的資產(chǎn)價格達到某障礙水平時，該期權(quán)生效。也就是說，雙障礙期權(quán)是兩個相互依賴的敲出期權(quán)和敲入期權(quán)的結(jié)合體，一旦潛在資產(chǎn)達到低障礙，敲入期權(quán)立即使其生效；反之，潛在資產(chǎn)超出高障礙，敲出期權(quán)立即使其失效。

雙障礙期權(quán)已經(jīng)成為金融市場上的熱門問題，是單障礙期權(quán)問題的擴展形式。障礙期權(quán)問題之所以熱門，原因之一就是比標準期權(quán)廉價，而且在用作套期保值時有同等級別的保護。

期權(quán)障礙是由Merton于1973年首次提出，給出了連續(xù)監(jiān)測下的更低敲出邊界的期權(quán)定價公式；而后Goldman等于1979年給出了路徑依賴型的期權(quán)定價公式。此后，Rich[1]和 Rubinstein-Reiner[2]于上世紀 90年代在等價鞅測度下使用概率方法，給出了歐洲單障礙期權(quán)的定價公式。

本文考慮雙障礙期權(quán)問題的基礎(chǔ)資產(chǎn)模型。實證表明了股票期權(quán)具有隱含波動率，并返回時有非對稱的尖峰厚尾特征。于是，為了克服這些問題，并且作為GBM的擴充，我們考慮使用隨機波動模型，使得波動的返回值是隨機波動而且是由快速均值過程驅(qū)動。本文首先建立隨機波動下的雙障礙期權(quán)定價問題的模型，進而推導出了關(guān)于期權(quán)價格的偏微分方程。為下一步作出價格逼近、并進行數(shù)值計算奠定基礎(chǔ)。

首先，令St為基礎(chǔ)資產(chǎn)價值，σt為由Ornstein–Uhlenbeck(OU)過程Yt導出的隨機波動過程，其中Yt服從均值m、方差v2的高斯分布。于是，關(guān)于St和Yt的隨機微分方程為

于是，為建立在風險中性概率測度P*下的新的動態(tài)模型，可知新的布朗運動如下描述：

其中γ(y)為波動風險的市場價格，是一個關(guān)于y的有界的光滑函數(shù)。根據(jù)Girsanov定理，均為測度 P*下的標準布朗運動，其中((μ-r)/f(Yt),γ(Yt))滿足Novikov條件。因此，在P*下，模型（1）可化為下述隨機微分方程

其中 L0，L1，L2定義如下：

這里算子L0定義了過程Yt的市場概率測度的無窮小算子，僅作用于變量y；算子L1由兩部分組成：第一部分是與兩個布朗運動有關(guān)的混合偏微分算子，第二部分是市場價格波動風險下關(guān)于y的一階偏微分算子；算子L2表示雙障礙期權(quán)的Black Scholes算子。另外，（4）式中的 LBS即為 Black Scholes算子。

障礙期權(quán)的出現(xiàn)給那些金融風險管理者們提供了更合算的方法,讓他們不必為他們認為不可能到達的價格支付費用了。同時為期權(quán)定價問題提供了一種新的解決思路。

[1]D Rich.The mathematical foundations of barrier option pricing theory.Adv.Futures Oper.Res.,7(1994)267-311.

[2]M Rubinstein,E Reine.Breaking down the barriers.Risk Mag.,4(8)(1991)28-35.

1004-7026（2017）09-0122-02

O211.6

A

DOI：10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.09.075

本文系2017年河北省社科基金項目（項目編號：HB17YJ094）系列論文。