余隆蘭+梁顯定

[摘 要] 橢圓拋物線均可用“點(diǎn)差法”求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)在其內(nèi)部建立不等式，解決點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題. 但是雙曲線的弦的中點(diǎn)不一定在雙曲線的內(nèi)部，因此鮮有文章予以解讀. 筆者通過(guò)一個(gè)實(shí)例剖析如何利用“點(diǎn)差法”解決雙曲線中的“點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題”.

[關(guān)鍵詞] 雙曲線；點(diǎn)線對(duì)稱；點(diǎn)差法

圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某動(dòng)直線對(duì)稱的問(wèn)題（以下簡(jiǎn)稱“點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題”），是解析幾何中一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，通?？梢月?lián)立方程組消元得出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用韋達(dá)定理建立不等式（以下簡(jiǎn)稱“判別式法”）進(jìn)行求解. 但是“判別式法”計(jì)算煩瑣，學(xué)生不易準(zhǔn)確掌握.對(duì)于橢圓、拋物線均可利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)在橢圓、拋物線內(nèi)部建立不等式（以下簡(jiǎn)稱“點(diǎn)差法”），可以大幅地簡(jiǎn)化計(jì)算. 但是雙曲線的弦的中點(diǎn)所滿足的約束條件難以確定，因此鮮有文章予以解讀. 筆者通過(guò)一個(gè)實(shí)例剖析如何利用“點(diǎn)差法”解決雙曲線中的“點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題”，愿與讀者相互切磋，共同探究.

命題：設(shè)雙曲線C： - =1（a>0，b>0），點(diǎn)P（x0，y0）為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) - >1或 - <0，即點(diǎn)P在如圖1所示的陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB，使得點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).

證明：“必要性”

當(dāng)點(diǎn)P在如圖1所示的陰影區(qū)域內(nèi)，且在x軸上時(shí)，顯然存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB，使AB的中點(diǎn)為P.

當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）在陰影區(qū)域內(nèi)，且點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，有 - >1或 - <0且y0≠0.

設(shè)直線l：y-y0= （x-x0），則點(diǎn)P（x0，y0）在直線l上.

下證直線l與雙曲線C相交于兩點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為A，B.

當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)部（陰影區(qū)域①②內(nèi)），且點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，

因?yàn)?- >1，所以 > ，x0> y0，

kl= > ，即kl> 或kl< - .

由于點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)部，結(jié)合圖形知，直線l與雙曲線的某一支有兩個(gè)交點(diǎn).

同理，當(dāng)點(diǎn)P在陰影區(qū)域③④內(nèi)，且點(diǎn)P不在x軸上時(shí)， - <0，則x0< ·y0.

k = < ，-

點(diǎn)P在陰影區(qū)域③④內(nèi)，結(jié)合圖形知，直線l與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn).

下證點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)：

設(shè)直線l與雙曲線C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)M（xM，yM）為弦AB的中點(diǎn).

因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2）均在雙曲線上，

所以 - =1且 - =1.

將兩式相減，整理得 = = ，

kl= = ， = .

設(shè) = =λ，則xM=λx0，yM=λy0.

因?yàn)辄c(diǎn)M（xM，yM）在直線l：y-y0= （x-x0）上，

所以λy0-y0= （λx0-x0）（y0≠0），

（λ-1） -1=0.

因?yàn)?- <0，所以 -1<0，λ=1.

故點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，即點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，得證.

“充分性”

假設(shè)在雙曲線上存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得點(diǎn)P（x0，y0）為弦AB的中點(diǎn).

當(dāng)A，B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上，顯然點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)部（陰影區(qū)域①②內(nèi)），滿足 - >1.

當(dāng)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)分別在雙曲線左右兩支上時(shí)，

- =1且 - =1，將兩式相減，整理得 = = .

因?yàn)閗AB= < ，

所以 - <0，證畢.

例：已知雙曲線C：x2- =1上存在關(guān)于直線l：y=kx+4的對(duì)稱點(diǎn)A，B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解法一（判別式法）：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)是符合題意的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)為M（x0，y0），

當(dāng)k=0時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y= - x+m，

聯(lián)立直線與雙曲線的方程

y=- x+m，x2- =1

（3k2-1）x2+2mkx-（m2k2+3k2）=0.

k2≠ 且Δ=4m2k2+4（3k2-1）（m2k2+3k2）>0，

化簡(jiǎn)得：k2≠ 且m2k2+3k2-1>0（1），

x1+x2=- =2x0，x0=- .

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在直線AB上，

所以y0=- ·- +m= .

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在直線l：y=kx+4上，

所以 =- +4，m= （2），

將（2）帶入（1）得 k2+3k2-1>0，

化簡(jiǎn)得12k4-7k2+1>0，

k2> 或k2< ，

- 或k< - .

解法二（點(diǎn)差法）：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)是符合題意的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)為M（x0，y0），

當(dāng)k=0時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)k≠0時(shí)，x - = 1且x - =1，

將兩式相減，整理得 = = ，

kAB= =- ，y0=-3kx0（1）.

因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在直線l：y=kx+4上，所以y0=kx0+4（2）.

由（1）（2）得x0=- ，y0=3.

由命題得，x - >1或x - <0，

- -3<0或- -3>1，

- 或k< - .

利用點(diǎn)差法解決點(diǎn)線對(duì)稱問(wèn)題可以避免繁雜的計(jì)算，學(xué)生更容易掌握.至此，無(wú)論是橢圓雙曲線還是拋物線均可利用點(diǎn)差法求解，只是雙曲線的弦AB的中點(diǎn)所滿足的約束條件與橢圓、拋物線有差別.