如何使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

李翔云

吉林省長(zhǎng)春市農(nóng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)

如何使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

李翔云

吉林省長(zhǎng)春市農(nóng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)

函數(shù)作為當(dāng)今數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)，也是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，在新課程學(xué)習(xí)和高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中都備受關(guān)注。而如何開(kāi)展變式教學(xué)，則是函數(shù)性質(zhì)研究中的重點(diǎn)所在。教學(xué)過(guò)程主要是通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，從根本上激發(fā)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)、探討，感受不同背景下函數(shù)問(wèn)題的本質(zhì)，利用對(duì)函數(shù)零點(diǎn)典型問(wèn)題加以求解，從而讓學(xué)生形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能，實(shí)施變式教學(xué)。本文就如何通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)展開(kāi)論述。

導(dǎo)數(shù)；函數(shù)性質(zhì)

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的提出和推廣，高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法也開(kāi)始實(shí)現(xiàn)不斷創(chuàng)新和改進(jìn)。“變式教學(xué)”作為當(dāng)前運(yùn)用較為普遍的一種方法，之前人們都將變式教學(xué)劃分成過(guò)程性和概念性兩種，但是，隨著教學(xué)思想的不斷改進(jìn)，如今的變式教學(xué)開(kāi)始分為原理和概念、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法等幾種[1]。對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，變式教學(xué)比較注重讓教師有意識(shí)、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變化”現(xiàn)象探究到“不變”的本質(zhì)，協(xié)助學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，讓學(xué)生在變化的知識(shí)點(diǎn)鐘領(lǐng)略到教學(xué)的魅力所在，體會(huì)到高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的魅力所在。從最近幾年高考數(shù)學(xué)例題中不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)屬于熱點(diǎn)。本文將問(wèn)題作為導(dǎo)引，在求解函數(shù)零點(diǎn)探究中開(kāi)展變式教學(xué)，讓學(xué)生能夠更加適時(shí)地總結(jié)、歸納規(guī)律，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

一、通過(guò)問(wèn)題導(dǎo)引來(lái)領(lǐng)會(huì)問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)問(wèn)題求解作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要活動(dòng)之一，也是學(xué)生對(duì)定理、概念繼續(xù)學(xué)習(xí)的過(guò)程，而問(wèn)題解決過(guò)程其實(shí)在一定程度上就是知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和生成，知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的生成，要想成功的解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，就要能夠利用充分的數(shù)學(xué)知識(shí)和知識(shí)體系。教師在教學(xué)期間要能夠善于創(chuàng)設(shè)各種情境，解釋數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系、本質(zhì)特征，協(xié)助學(xué)生在探究問(wèn)題過(guò)程中依托自己的思維來(lái)深刻理解各種知識(shí)點(diǎn)，體會(huì)到問(wèn)題的本質(zhì)[2]。

例如2012年天津文科高考題：

函數(shù)f（x）=（1/3）x3+1-（a/2）x2-ax-a（a＞0,x∈R）

函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2,0）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-（9/2）x2+6x-a，若f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍。

已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像和x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c為多少。

上面三個(gè)問(wèn)題都是將三次函數(shù)作為背景，從方程實(shí)根、函數(shù)零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)入手來(lái)求得相應(yīng)的取值，從表層來(lái)分析，似乎是三個(gè)不同的題目，為了能夠?qū)?wèn)題的背景加以分析，新課程中學(xué)教材對(duì)函數(shù)零點(diǎn)給予全新的定義，例如函數(shù)y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實(shí)數(shù)x就是函數(shù)y=f（x）（x∈D）零點(diǎn)。

從定義中不難得到函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的就是方程f（x）=0實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸相交的橫坐標(biāo)。通過(guò)進(jìn)一步研究不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，方程f（x）=0。從上述解析中不難發(fā)現(xiàn)三個(gè)問(wèn)題能夠互相等價(jià)轉(zhuǎn)化，也就是說(shuō)三個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)一樣。將函數(shù)作為背景來(lái)考察方程實(shí)根分布、零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)等問(wèn)題，這也是教學(xué)過(guò)程中價(jià)值較高的問(wèn)題，只有綜合對(duì)解題規(guī)律進(jìn)行探討，并將其作為突破，才能夠獲得更大的進(jìn)展。

二、探討典型，形成技巧

函數(shù)零點(diǎn)作為新課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的內(nèi)容，在對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行求解時(shí)，可以通過(guò)二分法、定義來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)零點(diǎn)存在、函數(shù)圖象等定理來(lái)判斷相關(guān)狀況[3]。針對(duì)三次多項(xiàng)式函數(shù)、含有超越函數(shù)式的零點(diǎn)求解問(wèn)題而言，其相對(duì)復(fù)雜，通過(guò)一般方法難以解決，要能夠綜合利用多種方式才能夠得以解決。

例如求方程x3-6x2+9x-10=0的實(shí)跟個(gè)數(shù)過(guò)程中，若直接對(duì)方程進(jìn)行求解存在較大的難度，可以在同一坐標(biāo)中畫(huà)出y=x3和y= 6x2-9x+10，并觀察交點(diǎn)情況，判斷原方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行研究，在推廣價(jià)值更加明顯。

設(shè)y=x3-6x2=9x-10，求導(dǎo)數(shù)，得到y(tǒng)’=3x2-12x，令y’=0，從而得到x1=1，x2=3。

解答該題的主要啟示為通過(guò)求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)，來(lái)對(duì)其極值、單調(diào)性展開(kāi)研究，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方式來(lái)確定函數(shù)圖象和x軸的交點(diǎn)情況，明確原方程根情況，從而為同類問(wèn)題解決提供指導(dǎo)和依據(jù)。

三、主要考點(diǎn)歸納總結(jié)

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)，其衍生概念和相關(guān)概念較多，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)不同板塊知識(shí)中的應(yīng)用也相對(duì)廣泛。所以，高考理科函數(shù)考點(diǎn)相對(duì)較多，考查的形式也較為多樣化。2015年高考借助不同的題型來(lái)考查函數(shù)性質(zhì)、概念、圖像、初等函數(shù)等，函數(shù)模型和應(yīng)用等。

首先是對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)進(jìn)行考察，函數(shù)概念和性質(zhì)作為歷年來(lái)高考的重點(diǎn)考查對(duì)象，包括函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，有時(shí)也需要結(jié)合其他知識(shí)來(lái)考查函數(shù)性質(zhì)。

其次，考查基本初等函數(shù)，初等函數(shù)的基礎(chǔ)為對(duì)數(shù)函數(shù)，也是函數(shù)研究過(guò)程中典型的對(duì)象。高考理科數(shù)學(xué)則是通過(guò)對(duì)基本初等函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用加以考察，分析學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題的能力。

最后考查的是函數(shù)和方程。函數(shù)和方程思想作為當(dāng)前高中生需要掌握的主要函數(shù)思想，高考中獎(jiǎng)函數(shù)作為零點(diǎn)、方程根存在的問(wèn)題為主要的考查點(diǎn)，重點(diǎn)考察函數(shù)和方程之間的關(guān)系，利用相對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)和圖像來(lái)解決問(wèn)題，也是高考的重點(diǎn)考察。

結(jié)語(yǔ)

總而言之，高三學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累和知識(shí)結(jié)構(gòu)相對(duì)完善，其思維水平也逐漸綜合化，能夠從不同側(cè)面、不同角度來(lái)思考問(wèn)題[4]。在備考期間，教師可以將適當(dāng)問(wèn)題作為研究背景，激發(fā)學(xué)生從多方位、多角度來(lái)探究問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的理解程度，并且在解題過(guò)程中善于將完成的題目進(jìn)行反思，理清問(wèn)題的解決方法，對(duì)解題思路進(jìn)行優(yōu)化，提升學(xué)生的綜合解題素質(zhì)，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力和應(yīng)變能力，讓他們?cè)诟呖紨?shù)學(xué)中取得優(yōu)異的成績(jī)。

[1]劉君,陳慶文.“利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].才智, 2014,13:169.

[2]貝淑坤,朱路進(jìn),劉春平.利用導(dǎo)數(shù)求反三角函數(shù)的解析式[J].教育教學(xué)論壇,2014,28:94-95.

[3]林順來(lái),楊朝熙.初等函數(shù)值域（最值）的導(dǎo)數(shù)求法[J].福建教育學(xué)院學(xué)報(bào),2015,02:55-58.

[4]羅寶華,顧艷紅.一類形如f（x）|g（x）|函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法[J].科教文匯（下旬刊）,2012,10:85.