鐘淑燕

“鴿巢問題”是六年級下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容?！傍澇苍怼弊钤缡怯?9世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題而提出的，又稱“抽屜原理”或“鞋筒問題”。運(yùn)用鴿巢原理可以解決許多有趣的問題，并且常常會得到一些令人驚異的結(jié)果。

甲教師教學(xué)片斷：

出示練習(xí)，學(xué)生思考：

1.把6本書放進(jìn)5個(gè)抽屜里，會有什么情況？

2.把7本書放進(jìn)6個(gè)抽屜里，會有什么情況？

3.把100本書放進(jìn)99個(gè)抽屜里，又會有怎樣的情況？

教師根據(jù)學(xué)生交流板書：

6÷5=1（本）……1（本）

7÷6=1（本）……1（本）

100÷99=1（本）……1（本）

以上三種情況都總有一個(gè)抽屜里至少放了2本書，即至少數(shù)是2本。

師：通過剛才的思考，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)：只要書的數(shù)量比抽屜的數(shù)量多1，總有一個(gè)抽屜里至少有2本書。

教師小結(jié)，介紹“抽屜原理”：像上面所說的，我們把6本書放進(jìn)5個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)2本書，這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)原理，數(shù)學(xué)家們把這種原理叫做“抽屜原理”，又稱“鴿巢原理”，這種原理最先是由德國數(shù)學(xué)家狄里克雷提出的。

師：把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書，為什么？

生：我先把“7本”平均分成“3份”， 7÷3=2（本）……1（本），每個(gè)抽屜里先放2本，剩余的一本不管放進(jìn)哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。

教師接著出示：

如果有8本書、9本書、10本書分別放進(jìn)3個(gè)抽屜里，又會怎樣呢？

（學(xué)生交流，教師板書）

7÷3=2（本）……1（本），至少數(shù)=2+1=3（本）；

8÷3=2（本）……2（本），至少數(shù)=2+1=3（本）；

9÷3=3（本）， 至少數(shù)=3（本）；

10÷3=3（本）……1（本），至少數(shù)=3+1=4（本）。

師：觀察上面各式中的至少數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：當(dāng)“物體數(shù)”比“抽屜數(shù)”多時(shí)，能平均分要平均分，不能平均的也要盡量平均分，很容易看出至少數(shù)。

師追問：什么叫“盡量平均分”？

生1：比如8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，把8平均分成3份后，每個(gè)抽屜里先放進(jìn)2本書后還剩余2本，再把2本分成2份放進(jìn)2個(gè)抽屜里，有2個(gè)抽屜各放進(jìn)1本，與原來的2本合起來共就有3本。

師：還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)“物體數(shù)÷抽屜數(shù)”不能整除時(shí)，不管余數(shù)是幾，至少數(shù)總是等于商加1（至少數(shù)=商+1）。

……

總結(jié)：如果“物體數(shù)÷抽屜數(shù)”有余數(shù)，用所得的商+1，就能確定總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)幾個(gè)物體了。

乙教師教學(xué)片段：

出示思考練習(xí)：

1.把6本書放進(jìn)5個(gè)抽屜里，會有什么情況？

2.把7本書放進(jìn)6個(gè)抽屜里，會有什么情況？

3.把100本書放進(jìn)99個(gè)抽屜里，又會有怎樣的情況？

學(xué)生交流小結(jié)：

6÷5=1（本）……1（本）；

7÷6=1（本）……1（本）；

100÷99=1（本）……1（本）。

先把“物體數(shù)”平均分，剩余的一本書不管放進(jìn)哪一個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了2本書。只要書的本數(shù)比抽屜的數(shù)量多1，總有一個(gè)抽屜里至少有2本書。

教師出示：把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書，為什么？

生：7÷3=2（本）……1（本），即把“7本”平均分成“3份”，每個(gè)抽屜里先放2本，剩余的一本不管放進(jìn)哪個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。

教師板書：

6÷5=1（本）……1（本），至少數(shù)=2（本）；

7÷6=1（本）……1（本），至少數(shù)=2（本）；

100÷99=1（本）……1（本），至少數(shù)=2（本）；

7÷3=2（本）……1（本），至少數(shù)=3（本）。

師：觀察上面的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)了至少數(shù)等于商+余數(shù)。（板書：至少數(shù)=商+余數(shù)）

生2：我認(rèn)為至少數(shù)應(yīng)該等于商+1。（板書：至少數(shù)=商+1）

師：怎樣求至少數(shù)呢，有兩種不同的發(fā)現(xiàn)，哪一種說法更準(zhǔn)確呢？就請同學(xué)們一起來驗(yàn)證。

教師課件出示驗(yàn)證練習(xí)：

（1）把8本書放進(jìn)3個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)幾本書？

（2）把11本書放進(jìn)4個(gè)抽屜里，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)幾本書？

學(xué)生驗(yàn)證解釋：

（1）把8平均分成3份，8÷3=2（本）……2（本），先在每個(gè)抽屜里放進(jìn)2本書，剩余的2本再分別放進(jìn)2個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了3本書。至少數(shù)是3本，至少數(shù)≠商+余數(shù)，至少數(shù)=商+1。

（2）把11平均分成4份，11÷4=2（本）……3（本），先在每個(gè)抽屜里放進(jìn)2本書，剩余的3本再分別放進(jìn)3個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)了3本書。至少數(shù)是3本，至少數(shù)仍然等于商+1。

（3）學(xué)生自由舉例驗(yàn)證。

師生共同總結(jié)：如果“物體數(shù)÷抽屜數(shù)”有余數(shù)，至少數(shù)=商+1。即用所得的商+1就可以確定總有一個(gè)抽屜里至少放了幾個(gè)物體。

（教師簡單介紹“抽屜原理”）

評析：同樣的教學(xué)內(nèi)容，因兩位教師的設(shè)計(jì)思路不同，對學(xué)生思維能力的發(fā)展影響也不同。甲教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)過多，看似“面面俱到”，實(shí)則沒有真正體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目標(biāo)。乙教師在教學(xué)過程中只僅僅是一個(gè)“主持者”，把學(xué)習(xí)的主權(quán)放給學(xué)生，并巧用不同結(jié)論“至少數(shù)=商+余數(shù)”及“至少數(shù)=商+1”之間的沖突，讓學(xué)生通過嘗試驗(yàn)證，從而得出結(jié)論：“物體數(shù)÷抽屜數(shù)”有余數(shù)時(shí)，至少數(shù)=商+1，整個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生在經(jīng)歷猜想、嘗試、驗(yàn)證的過程中逐步從直觀走向抽象。本單元的學(xué)習(xí)，教學(xué)的目的不是讓學(xué)生計(jì)算抽屜原理、去應(yīng)用，而更多的是給出一個(gè)結(jié)論，讓學(xué)生去證明這種結(jié)論的正確性，這實(shí)質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)證明思想的滲透教學(xué)。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷猜測、嘗試、驗(yàn)證的探究過程，并在此過程中引導(dǎo)學(xué)生逐步從直觀走向抽象，這才是教學(xué)的重點(diǎn)。另外，針對“抽屜原理”的問題變式多，應(yīng)用具有靈活性，教師還應(yīng)在練習(xí)設(shè)計(jì)中幫助學(xué)生思考如何將具體問題與“抽屜原理”建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探究如何建立問題中的具體情境和“抽屜原理”一般化模型之間的內(nèi)在關(guān)系。

◇責(zé)任編輯：徐永壽◇

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