陳天宇

[摘 要] 數(shù)學(xué)史以其豐富的數(shù)學(xué)思想方法、深刻的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，成為創(chuàng)造學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的重要載體. 文章基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知發(fā)展過程，結(jié)合高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)及課程理念，從HPM的視角對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)做出優(yōu)化和改進(jìn)方案，論述了數(shù)學(xué)史無可比擬的教育價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)是推動(dòng)科技發(fā)展的關(guān)鍵學(xué)科之一，也是伴隨人類社會(huì)發(fā)展生生不息的一門學(xué)科. 評(píng)價(jià)如此之高的數(shù)學(xué)學(xué)科，學(xué)生怎會(huì)對(duì)其缺乏興趣，而喪失學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)呢？HPM研究很好地回答了這一問題.

[?] HPM研究的意義和價(jià)值

毋庸置疑，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，教學(xué)設(shè)計(jì)也必須基于這一目標(biāo)進(jìn)行. 盡管各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)經(jīng)過精心打磨，從情境引入，到復(fù)習(xí)舊知，到活動(dòng)探究，最后到歸納總結(jié)，都看似很“完美”，且銜接過渡順暢，其中不乏教師的些許創(chuàng)意. 但大多數(shù)情況下，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性很難被調(diào)動(dòng)起來，只是被動(dòng)地接受一些概念、性質(zhì)、定理、公式、解法等具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，卻無暇顧及對(duì)“為什么要學(xué)”、“學(xué)到的內(nèi)容有什么用”等問題的思考，消退和遺忘成為時(shí)間推移的必然結(jié)果.

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），含義為“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透”，自1972年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上第一個(gè)HPM國際研究小組成立以來，一直備受廣大數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注. HPM研究主要涉及數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)、歷史相似性研究、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的行動(dòng)研究四個(gè)方面.

數(shù)學(xué)教育除了數(shù)學(xué)技術(shù)的教學(xué)，還應(yīng)該有人文精神的傳承.重結(jié)果，輕過程的數(shù)學(xué)教育是走不遠(yuǎn)的，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生只會(huì)更加討厭數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)史恰好提供了這樣一個(gè)平臺(tái)，從歷史的角度重新審視數(shù)學(xué)知識(shí)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和形成過程，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的必要性給予了強(qiáng)有力的回答，豐富教師的課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，預(yù)見學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解培養(yǎng)學(xué)生的人文氣息. 既然數(shù)學(xué)教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生終身發(fā)展所需的6個(gè)核心素養(yǎng)，那么數(shù)學(xué)史就是維持學(xué)生終身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神支柱[1].

[?] HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)化案例

1. 歷史發(fā)生原理的啟示

虛數(shù)的概念在高中數(shù)學(xué)體系中無疑是一大亮點(diǎn)，將數(shù)系從實(shí)數(shù)域擴(kuò)張到了復(fù)數(shù)域. 可能是因?yàn)閺?fù)數(shù)在高考中的地位無足輕重，無非是一道選擇題或填空題，廣大教師們?cè)谝胩摂?shù)概念時(shí)，搬用教材上的x2+1=0在實(shí)數(shù)域上無解的例子，從而定義i=，i為虛數(shù)單位. 如此展開教學(xué)顯然是不合適的，要知道數(shù)學(xué)家們花了三百多年才理解復(fù)數(shù)，我們的學(xué)生在寥寥幾語中就能明白虛數(shù)為何物了嗎？我們不妨追溯一下數(shù)學(xué)家探索虛數(shù)的歷程.

后來，笛卡爾在他的著作《幾何學(xué)》中對(duì)負(fù)數(shù)開平方后得到的數(shù)起名為“imaginary figure”，意為“虛無縹緲的數(shù)”，虛數(shù)單位i正是來源于此.

由此可見，17世紀(jì)一流的頭腦在面對(duì)虛數(shù)時(shí)都會(huì)如此困惑不解，我們的學(xué)生在短短幾分鐘內(nèi)就能超越古人理解虛數(shù)了嗎？顯然，用x2+1=0引入虛數(shù)是失敗的. 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解過程和數(shù)學(xué)在歷史上的發(fā)展過程具有相似性，此即為歷史發(fā)生原理.正如M·克萊因所說：“歷史上數(shù)學(xué)家們所遇到的困難，也正是學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙”. 因此，借助卡爾達(dá)諾和萊布尼茲的例子作為引入更能激起學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的沖突，前者讓學(xué)生初步感知虛數(shù)的存在，后者讓學(xué)生感受虛數(shù)和實(shí)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，從而為學(xué)生創(chuàng)造學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

2. 在歷史中尋找數(shù)學(xué)認(rèn)知起點(diǎn)

如果要深入數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系層面，就必須考慮知識(shí)的發(fā)生過程，教師除了教授新的知識(shí)點(diǎn)，還要尋找學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，把新知識(shí)建立在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)之上.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是刻畫函數(shù)單調(diào)性的重要工具，也是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁. 學(xué)生在瞬時(shí)變化率概念和極限思想Δx→0的引導(dǎo)下，理解了導(dǎo)數(shù)的定義. 在引入導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí)，常用的方法是運(yùn)用極限的思想，將曲線上兩點(diǎn)的割線的斜率轉(zhuǎn)化為曲線在其中某一點(diǎn)處切線的斜率. 該方法實(shí)質(zhì)上是從導(dǎo)數(shù)的定義式入手，聯(lián)系直線的斜率公式k=，再將兩點(diǎn)無限逼近，從割線過渡到切線. 其不足之處也是顯而易見的，其一，忽視了研究曲線的切線的數(shù)學(xué)背景，學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到為何要通過割線來引入切線；其二，沒有對(duì)曲線的切線做明確定義，學(xué)生容易將其和其他概念相混淆，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性. 帶著這兩個(gè)問題，我們不妨去數(shù)學(xué)史中尋找改進(jìn)措施.[3]

切線問題被數(shù)學(xué)家譽(yù)為17世紀(jì)最有用的數(shù)學(xué)問題，為此我們不妨先了解一下切線的歷史，這樣才能讓學(xué)生知道我們?yōu)楹我肭芯€. 歷史上切線研究的必要性源于三大問題：①光學(xué)問題.光在平面上的反射規(guī)律，人們?cè)缫讯炷茉?，入射?反射角，那么曲面上光的反射規(guī)律如何探究，入射角和反射角該如何確定？這就需要找出入射點(diǎn)處的切線位置.②運(yùn)動(dòng)問題. 做曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向如何確定？沒有切線角？更為一般的，一條曲線和一條直線存在夾角嗎？寸步難行. ③曲線夾角問題. 兩條相交的曲線是否存在夾角？圖1所示，過圓上一點(diǎn)作圓的切線，圓和直線之間有夾角嗎？假設(shè)夾角不存在，可以在切點(diǎn)處構(gòu)造一個(gè)半徑較小的圓與直線相切，如圖2所示. 如此一來，直觀感覺上切點(diǎn)附近弧與直線間的空間增加了. 但反之，如果夾角存在，歐幾里得卻又令我們很失望，他在《幾何原本》中給出命題：“過圓上一點(diǎn)有且僅有一條切線.” 換言之，圓和切線之間插入的第二條直線必然和圓相交于兩點(diǎn)，如此說來，角是不存在的. 古希臘數(shù)學(xué)家們?cè)跊]有微積分的情況下對(duì)此是束手無策的. 所以在17世紀(jì)，來自光學(xué)、力學(xué)、幾何學(xué)三大領(lǐng)域的問題令數(shù)學(xué)家們感受到研究更為一般的曲線的切線的必要性.

教師可以從圓出發(fā)，讓學(xué)生回顧圓的切線的定義. 圓的切線主要有3種定義方式，分別為：①與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，②過圓上一點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)與圓心連線的直線，③到圓心的距離等于圓的半徑的直線. 接著，讓學(xué)生反思，上述定義是否適用于圓錐曲線呢？顯然不適用，以拋物線為例，對(duì)稱軸與拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，但不是切線. 學(xué)生很自然會(huì)對(duì)定義添加約束條件，得到“與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且不穿過曲線的直線”. 這就是古希臘數(shù)學(xué)家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？反之，如圖3所示的直線與三角函數(shù)y=sinx的圖像有不止一個(gè)交點(diǎn)，它是曲線的切線嗎？如此展開教學(xué)的目的在于啟發(fā)學(xué)生重新審視自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).