邵興華

摘 要：作為一種“看不見的手”，數(shù)學(xué)品格牽引著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中居于核心位置。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須重視學(xué)生數(shù)學(xué)品格的涵育。只有關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)品格的涵育，才能讓學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)品格；核心素養(yǎng)；教學(xué)導(dǎo)向

福建師范大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師余文森先生指出，“核心素養(yǎng)是最關(guān)鍵、最重要、不可缺的素養(yǎng)?！本蛿?shù)學(xué)學(xué)科而言，其核心素養(yǎng)應(yīng)該涵涉數(shù)學(xué)核心知識、能力與品格。在相當(dāng)長的時間內(nèi)，知識和能力始終居于主角位置而備受關(guān)注，品格作為配角則鮮有提及。一方面固然是因為人們關(guān)注應(yīng)試，如考試、考分等；另一方面，則是因為人們往往只看到顯性的、短期的實際功用，而忽略了內(nèi)在、隱性、無形、長效之物。這長效之物就是數(shù)學(xué)之品格。在一個人的問題解決與學(xué)習(xí)生活過程中，數(shù)學(xué)品格猶如一只“看不見的手”，牽引著數(shù)學(xué)思維，決定著數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)范疇中，品格應(yīng)該居于核心位置。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品格呢？

一、問題解決，奠定數(shù)學(xué)品格之基礎(chǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將數(shù)學(xué)從雙基拓展為四基，相對于雙基，四基更強調(diào)學(xué)生的問題解決能力，即學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的能力?？梢?，問題解決能力不是解決問題能力，更不是解題。問題解決能力是學(xué)生能夠經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題一直到解決問題的全過程。在問題解決過程中，學(xué)生能夠積淀豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)的基本思想方法。問題解決的本領(lǐng)從何而來，從“數(shù)學(xué)化”來。數(shù)學(xué)化是荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的觀點。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化包括橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化，所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，就是學(xué)生將生活問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，著名的七橋問題就是歐拉橫向數(shù)學(xué)化的著名例子。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”是在數(shù)學(xué)世界里對符號進行模塑、使用。不難看出，橫向數(shù)學(xué)化依靠數(shù)學(xué)的猜想力、判斷力、抽象力等，縱向數(shù)學(xué)化依靠數(shù)學(xué)的邏輯力、推理力等。

例如教學(xué)《認(rèn)識三角形》（北師大版數(shù)學(xué)教材第8冊）后，教師可以出示這樣的問題情境：A和B分別住在一條小河的兩側(cè)，現(xiàn)在要在河上修一座橋，橋應(yīng)該修筑在小河的什么地方？這是學(xué)生生活中的問題，因此學(xué)生對于這樣的問題并不陌生。他們嘗試畫圖，并且在畫圖的過程中將小河抽象成一條直線，將A、B兩戶人家抽象成數(shù)學(xué)上的兩個點（橫向數(shù)學(xué)化）。通過直覺，即“兩點之間線段最短”（縱向數(shù)學(xué)化），連接AB，交小河于點C，C點就是修筑小橋的地方。由于學(xué)生剛剛學(xué)過“三角形任意兩條邊的和都大于第三條邊”，筆者引導(dǎo)學(xué)生在直線（小河）上再取兩點，并說出理由。孩子們看到，他們構(gòu)造了幾個三角形，且這幾個三角形都有一條公共邊，這條公共邊小于另外兩條邊的和（縱向數(shù)學(xué)化，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系”）。在此基礎(chǔ)上，筆者將這個問題情境進行變換：A和B分別住在一條小河的同側(cè)，現(xiàn)在要在河上修一座橋，橋應(yīng)該修筑在小河的什么地方？學(xué)生依然將問題情境橫向數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化成在直線的同側(cè)有兩個點，如何在直線上找到一個點，使得直線上的點與這兩個同側(cè)點之間的連線最短。然后，學(xué)生借助剛才的問題解決經(jīng)驗，通過作A點的對稱點或者作B點的對稱點，將AB兩點從同側(cè)轉(zhuǎn)化成異側(cè)，連接AB，與直線的交點就是修筑小橋的地方。在對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)化的過程中，學(xué)生需要借助相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，但這里的數(shù)學(xué)知識不再是死的知識，而是一種靈活運用知識的能力。

二、數(shù)學(xué)思維，形成數(shù)學(xué)品格之關(guān)鍵

數(shù)學(xué)是一門理性的學(xué)科。在《現(xiàn)代漢語詞典》中，理性與感性相對，指判斷、推理等活動能力。在理性的范疇下，思維能力應(yīng)該是內(nèi)核。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)要凸顯“數(shù)學(xué)地思維”，甚至“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會思維”（鄭毓信語）。數(shù)學(xué)理性注重定量、精確的思維方式，注重批判性思維，注重反思性思維等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“引導(dǎo)學(xué)生運用思維方法的分析去帶動具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)”?；谒季S教，圍繞思維學(xué)，能夠讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)品格。數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵極其豐富，歸納與演繹、分析與綜合、抽象與概括、特殊化與一般化等。教學(xué)中教師不應(yīng)讓學(xué)生僅僅停留在這些具體的思維上，更為重要的是要引發(fā)學(xué)生的思維自覺，培養(yǎng)學(xué)生的思維品格。

例如教學(xué)《認(rèn)識千米》（北師大版數(shù)學(xué)教材第4冊），在學(xué)生通過各種方式建立了“千米”的表象，認(rèn)識了“千米與米”的進率后，具有良好數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)批判性思維的學(xué)生會主動問學(xué)，“老師，在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的長度單位中，毫米、厘米、分米、米之間的進率都是10，米和千米之間的進率是1000，米和千米之間有沒有其他的長度單位了？”是啊，這里確實有一個明顯的跨越，對學(xué)生來說是一個明顯的疑點。我們通常說相鄰兩個長度單位之間的進率是十，言外之意也就是這里的米和千米并不是相鄰的單位，那么在米和千米之間還有哪些長度單位呢？筆者借助互聯(lián)網(wǎng)，認(rèn)識到在米和千米之間確實存在著“十米”和“百米”這兩個單位，由于這兩個單位在生活中很少運用，因此教材中并沒有收錄、介紹。教學(xué)這兩個單位時，如果我們將這兩個單位放進去，學(xué)生就能感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，感受到數(shù)學(xué)知識是如此的規(guī)律，如此的嚴(yán)密。從毫米到千米，甚至學(xué)生還會在課后繼續(xù)探究下去，認(rèn)識到微觀世界的長度單位如絲米、忽米、微米、納米等，認(rèn)識宇觀世界的長度單位如光年等。這樣的認(rèn)識和理解是超越經(jīng)驗的，學(xué)生借助理性的思考能夠領(lǐng)悟到知識的本質(zhì)。在教學(xué)中教師要導(dǎo)引學(xué)生學(xué)會發(fā)問，如“是什么？”“為什么？”“怎么樣？”等。如此，理性的種子必將在學(xué)生的心中生根發(fā)芽開花，學(xué)生的數(shù)學(xué)品格才能逐漸形成。

三、數(shù)學(xué)思想，賦予數(shù)學(xué)品格以質(zhì)感

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生的精神實體。什么是數(shù)學(xué)思想？數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵很豐富，假設(shè)思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、建模思想等。數(shù)學(xué)思想具有內(nèi)隱性、統(tǒng)攝性的特質(zhì)，豐富的數(shù)學(xué)思想能夠賦予數(shù)學(xué)品格以厚重的質(zhì)感。美國著名數(shù)學(xué)教育家柯朗？羅賓曾經(jīng)這樣說，“數(shù)學(xué)作為人類智慧的一種表達(dá)方式，反映生動活潑的意念、深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和知覺，分析和推進，共性與個性?！倍毡局麑W(xué)者米山國藏曾經(jīng)這樣說，“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點等，隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！?

例如教學(xué)《圓錐的體積》（北師大版數(shù)學(xué)教材第12冊），一般教師是直接出示等底等高的圓柱和圓錐讓學(xué)生展開實驗，更有甚者運用多媒體演示實驗過程。試問，為什么要選用等底等高的圓柱和圓錐呢？多媒體演示的實驗可信嗎？是不是教師的精心預(yù)設(shè)呢？是不是忽悠人的呢？學(xué)生會產(chǎn)生一系列疑問。筆者在教學(xué)時充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題，使得教學(xué)富有深度，讓教學(xué)真正發(fā)生。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓柱的體積，這兒有一個圓錐，用怎樣的辦法可以得到圓錐的體積呢？

生1：可以將圓錐形的容器裝滿水，將水倒進量筒里，就能測量出圓錐的體積。（轉(zhuǎn)化思想）

生2：我反對，這樣測量的不是圓錐的體積，而是圓錐的容積。

生1：那么，我就將整個的圓錐形物體浸入水中，溢出來的水的體積就是圓錐的體積。（轉(zhuǎn)化思想）

生3：如果圓錐很大怎么辦呢？

生4：和圓柱的體積一樣，我們推導(dǎo)出圓錐的體積公式，只要運用公式就可以了。（模型思想）

師：猜想一下，圓錐的體積和圓錐的什么因素有關(guān)？

生5：圓柱的體積與底面積、高有關(guān)，我想圓錐的體積也應(yīng)該與底面積、高有關(guān)。（類比思想）

生6：我們在學(xué)習(xí)三角形、梯形面積時是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積的，我想圓錐的體積是否也可以轉(zhuǎn)化成圓柱的體積？（類比思想）

生7：我們可以將圓錐裝滿水，倒入圓柱中，看看倒幾次？（實驗思想）

……

學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的激蕩下，選擇了等底等高的圓錐和圓柱，這是因為他們認(rèn)識到，只有等底等高的圓柱和圓錐才便于轉(zhuǎn)化、便于比較。數(shù)學(xué)思想在這里成為學(xué)生主體能動的認(rèn)知，他們在相互啟發(fā)中探究數(shù)學(xué)知識。

四、文化精神，閃爍數(shù)學(xué)品格之光輝

在深層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)意義上，數(shù)學(xué)是一種文化。數(shù)學(xué)教育必須以數(shù)學(xué)獨有的品格來濡染學(xué)生的身心，讓學(xué)生練就一種數(shù)學(xué)的眼光和頭腦。數(shù)學(xué)的文化品格不僅包括數(shù)學(xué)的思想方法，更包括數(shù)學(xué)情感、對數(shù)學(xué)的態(tài)度以及數(shù)學(xué)價值觀、數(shù)學(xué)人格修養(yǎng)等。文化來自于學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)在美的追尋，來自數(shù)學(xué)本身的精神映射。

例如教學(xué)《年、月、日》（北師大數(shù)學(xué)教材第5冊），一位教師在學(xué)生通過“地球自轉(zhuǎn)”“地球公轉(zhuǎn)”“月球公轉(zhuǎn)”等天文知識推算出“四年一閏，百年不閏，四百年又閏”的閏年規(guī)律后，為了讓學(xué)生更加深刻地體驗“年月日”的分布規(guī)律，便讓學(xué)生在課后用自己喜歡的方式“造日歷”，充分發(fā)揮學(xué)生獨特的創(chuàng)造性智慧、情趣。學(xué)生創(chuàng)造性的智慧表達(dá)、靈性表達(dá)讓教師始料未及。有學(xué)生突破了日常生活中日歷平面化、單一化的特質(zhì)，呈現(xiàn)出了多元化、立體化的日歷模型。如有學(xué)生用正12面體，將一年的12個月分別在每個面上顯示出來，旋轉(zhuǎn)正12面體，一年的時間便得到生動展現(xiàn)；有學(xué)生將一年分成了四個季度，每個季度三個月，用四個三棱錐進行展示，每個三棱錐的豎著的三個面分別展示每個季度中的一個月，這樣，一年的時間也得到生動展現(xiàn)；有學(xué)生將一年分成上半年和下半年，用兩個正方體分別進行展示，每個正方體的六個面分別展示半年中的每個月的時間，這樣，一年的時間同樣得到生動展現(xiàn)。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)意趣得到了最佳的凸顯和弘揚。

愛因斯坦說，“什么是素質(zhì)？素質(zhì)就是一個人遺忘了在學(xué)校所學(xué)的所有知識后剩下的東西”。這剩下的東西是什么？毫無疑問，應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)品格。數(shù)學(xué)品格是包括數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的一切數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神實體。在數(shù)學(xué)教育中，只有關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)品格的涵育，才能讓學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。