付永清，張憲民

(華南理工大學(xué) a.設(shè)計(jì)學(xué)院；b.機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

?

基于梯度矢量流的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓提取方法*

付永清a，張憲民b

(華南理工大學(xué) a.設(shè)計(jì)學(xué)院；b.機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

提出一種基于梯度矢量流模型的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的輪廓提取方法。該方法首先通過密度再分配求出單元節(jié)點(diǎn)密度，然后，利用差分方法計(jì)算出單元節(jié)點(diǎn)密度的梯度，之后，相繼求出節(jié)點(diǎn)的外能、傳統(tǒng)外力和梯度矢量流。在模型演化過程中，利用雙線性插值算法求出任意點(diǎn)的GVF，同時(shí)，針對拓?fù)鋱D的孔所處的不同位置，給出了不同的初始模型及相應(yīng)的模型演化方法，實(shí)現(xiàn)了柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓的自動(dòng)提取。最后，數(shù)值算例表明了文中算法的可行性。

梯度矢量流；柔順機(jī)構(gòu)；拓?fù)鋱D輪廓提取

0 引言

拓?fù)鋱D的輪廓提取是柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D提取過程中的主要問題之一?，F(xiàn)有的拓?fù)鋱D輪廓提取的方法，圖像解釋方法[1-6]、密度輪廓方法[7-11]和幾何重構(gòu)方法[12]，在這三類方法中，大多數(shù)都需要手工取點(diǎn)，降低了整個(gè)設(shè)計(jì)過程的速度，因此需要發(fā)展一種自動(dòng)化程度較高的拓?fù)鋱D輪廓提取方法。又由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，其中的孔可能存在于設(shè)計(jì)域的內(nèi)部或周邊，并且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)常存在曲率較高的角點(diǎn)，這些都是拓?fù)鋱D輪廓提取中的難點(diǎn)。此外，基于水平集的拓?fù)鋬?yōu)化方法[13-14]無須顯式地提取拓?fù)鋱D輪廓，但是由于這一方法具有初始敏感性、不能生成新孔、計(jì)算效率低和難以收斂到不光滑的角點(diǎn)等缺陷，導(dǎo)致不能得到滿意的輪廓提取結(jié)果。因此，對柔順機(jī)構(gòu)來說，在拓?fù)鋬?yōu)化到形狀優(yōu)化的綜合設(shè)計(jì)過程中，盡可能地減少人工干預(yù)，快速、自動(dòng)提取出有較高精度邊界的拓?fù)鋱D已變得越來越重要和具有挑戰(zhàn)性。

在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域，由Kass等人[15]提出的參數(shù)活動(dòng)輪廓模型已經(jīng)成為圖像分割、輪廓提取和邊緣檢測等的重要方法。但是，參數(shù)活動(dòng)輪廓模型的局限性在于外力捕捉范圍小，因此它對輪廓的初始位置很敏感，不同的初始位置可能導(dǎo)致不同的收斂結(jié)果，所以，為了得到正確的提取結(jié)果，初始模型應(yīng)放置在所期望的邊界附近；該模型的第二個(gè)局限性是模型能量函數(shù)的表達(dá)形式使其難以較好地收斂到圖形的凹陷區(qū)域；此外，模型的參數(shù)較多，各參數(shù)的選擇需要根據(jù)實(shí)際問題確定。為了克服這些問題，研究人員對活動(dòng)輪廓模型及其求解算法進(jìn)行了改進(jìn)，使這種方法的應(yīng)用范圍得到很大擴(kuò)展[16-19]。

因此，本文研究了基于梯度矢量流模型的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓提取方法。該方法首先通過密度再分配求出單元節(jié)點(diǎn)密度，然后，利用差分方法計(jì)算出單元節(jié)點(diǎn)密度的梯度，之后，相繼求出節(jié)點(diǎn)的外能、傳統(tǒng)外力和梯度矢量流。在模型演化過程中，利用雙線性插值算法求出任意點(diǎn)的GVF，同時(shí)，針對拓?fù)鋱D的孔所處的不同位置，給出了不同的初始蛇模型及相應(yīng)的模型演化方法，實(shí)現(xiàn)了柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓的自動(dòng)提取。

1 GVF活動(dòng)輪廓模型

GVF(Gradient Vector Flow)是一種同時(shí)從兩個(gè)方向捕獲圖像邊緣的外部力場，圖像外力定義為Fext=V(x,y)，其中V(x,y)=(u(x,y),w(x,y))為梯度矢量流場，GVF活動(dòng)輪廓模型的能量函數(shù)表示為[20-21]：

(1)

式中，權(quán)值μ為歸一化的參數(shù)，f(x,y)是由灰度圖或二值圖定義的邊緣圖，通常可取為：

f(x,y)=-Eext(x,y)

(2)

由變分法，梯度矢量流V可通過如下的歐拉方程求解[20，21]：

(3)

ut(x,y,t)=μ▽2u(x,y,t)-(u(x,y,t)-

fx(x,y))(fx(x,y)2+fy(x,y)2)

wt(x,y,t)=μ▽2w(x,y,t)-(w(x,y,t)-

fy(x,y))(fx(x,y)2+fy(x,y)2)

(4)

將式(4)重寫為：

ut(x,y,t)=μ▽2u(x,y,t)-b(x,y)u(x,y,t)+c1(x,y)

wt(x,y,t)=μ▽2w(x,y,t)-b(x,y)w(x,y,t)+c2(x,y)

b(x,y)=fx(x,y)2+fy(x,y)2

c1(x,y)=b(x,y)fx(x,y)

c2(x,y)=b(x,y)fy(x,y)

(5)

式中fx(x,y)和fy(x,y)可利用圖像的梯度算子或差分方法求解，設(shè)i,j,n分別對應(yīng)于x,y,t，并設(shè)x,y方向的空間采樣步長分別為Δx,Δy，時(shí)間采樣步長為Δt，則式(5)中的偏導(dǎo)數(shù)可近似為：

(6)

其迭代求解方程為：

(7)

式中，

(8)

為了使式(7)獲得穩(wěn)定解，參數(shù)r通常應(yīng)滿足r≤1/4，并且時(shí)間步長Δt應(yīng)滿足：

(9)

由于梯度矢量流場不僅擴(kuò)展了傳統(tǒng)活動(dòng)輪廓模型的外力作用范圍，增加了輪廓初始化的靈活性，而且，在一定程度上改善了其在圖像凹陷處的收斂效果，因此，本研究采用基于梯度矢量流的活動(dòng)輪廓模型進(jìn)行拓?fù)鋱D輪廓的提取。

2 節(jié)點(diǎn)密度的計(jì)算

由于機(jī)構(gòu)截面尺寸較小，所以輪廓曲線應(yīng)為沒有厚度的曲線，因此活動(dòng)輪廓的各點(diǎn)不能取為整個(gè)密度單元，而應(yīng)該取節(jié)點(diǎn)或單元內(nèi)的某一數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y)。因而，必須首先根據(jù)單元密度計(jì)算設(shè)計(jì)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的密度。本文采用文獻(xiàn)[22]和[23]的方法，將節(jié)點(diǎn)密度表示為鄰域單元?dú)w一化密度的平均值，即：

(10)

(11)

圖1 節(jié)點(diǎn)密度圖解

圖2 節(jié)點(diǎn)密度的三種類型

3 設(shè)計(jì)域內(nèi)任意點(diǎn)的梯度矢量流計(jì)算

3.1 單元節(jié)點(diǎn)的梯度矢量流計(jì)算

為了計(jì)算設(shè)計(jì)域內(nèi)任一點(diǎn)的外力，必須首先求出各單元節(jié)點(diǎn)密度的梯度?？紤]到節(jié)點(diǎn)密度為離散數(shù)據(jù)，因此，用節(jié)點(diǎn)密度的差分代替微分。假設(shè)設(shè)計(jì)域節(jié)點(diǎn)陣列大小為m×n，對于設(shè)計(jì)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，用中心差分近似其梯度，可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

又由于節(jié)點(diǎn)外能為離散值，因此，仍用差分近似其梯度，從而，可得設(shè)計(jì)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的外力，再進(jìn)一步迭代計(jì)算出設(shè)計(jì)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的GVF。

3.2 基于雙線性插值的任意點(diǎn)的GVF計(jì)算

由于活動(dòng)輪廓的各點(diǎn)是在梯度矢量流的作用下向目標(biāo)邊界演化，而這些點(diǎn)可能位于設(shè)計(jì)域內(nèi)的單元節(jié)點(diǎn)或其它任意位置，因此，本文根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)的GVF，利用雙線性插值求模型演化過程中任意點(diǎn)的GVF。

設(shè)任意待求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，首先對該點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行取整操作，以獲得其所在單元左上角節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)(i,j)，設(shè)dx=x-i，dy=y-j，因此，點(diǎn)(x,y)的GVF可由設(shè)計(jì)域中坐標(biāo)為(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)及(i+1,j+1)的四個(gè)節(jié)點(diǎn)的規(guī)一化GVF確定，即:

(16)

式中，(ue(x,y),we(x,y))、(ue(i,j),we(i,j))、(ue(i+1,j),we(i+1,j))、(ue(i,j+1),we(i,j+1))和(ue(i+1,j+1),we(i+1,j+1))分別為點(diǎn)(x,y)及節(jié)點(diǎn)(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)的規(guī)一化GVF。

4 拓?fù)鋱D輪廓的提取

4.1 拓?fù)鋱D內(nèi)部封閉輪廓的提取

一般地，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜，其中的孔可能位于設(shè)計(jì)域的內(nèi)部或周邊。對于設(shè)計(jì)域內(nèi)部的孔，其輪廓是封閉的，GVF場的節(jié)點(diǎn)落在封閉輪廓的內(nèi)部，如圖3[24]所示，該節(jié)點(diǎn)可看成是輪廓曲線的膨脹中心，為了使模型收斂到正確的邊界，初始輪廓曲線應(yīng)包圍GVF場的節(jié)點(diǎn)，并且，可以是任意形狀的封閉曲線。在能量最小化過程中，梯度矢量流在以節(jié)點(diǎn)為中心的360°范圍內(nèi)推動(dòng)曲線上各點(diǎn)向外移動(dòng)，使活動(dòng)輪廓模型最終收斂到拓?fù)鋱D的邊界。

圖3 包含內(nèi)節(jié)點(diǎn)的輪廓的變形

4.2 拓?fù)鋱D外部開環(huán)輪廓的提取

4.2.1 活動(dòng)輪廓初始化

對于拓?fù)鋱D周邊孔區(qū)域，由于僅其中一部分曲線是待提取的拓?fù)鋱D輪廓，因此屬于開環(huán)輪廓，并且，這時(shí)GVF場的節(jié)點(diǎn)位置在孔的外部，梯度矢量流對輪廓曲線的作用范圍小于180°，如圖4所示[24],所以，無論采用開環(huán)或封閉模型提取輪廓，都不能使模型在期望的范圍內(nèi)膨脹，以至于不能提取出拓?fù)鋱D的全部邊界。因此，這些區(qū)域的模型初始化及曲線演化都比設(shè)計(jì)域內(nèi)部孔區(qū)域的情形復(fù)雜得多。為此，本文對這類拓?fù)鋱D輪廓的提取按以下過程進(jìn)行，首先，采用封閉的GVF活動(dòng)輪廓模型提取位于設(shè)計(jì)域周邊孔區(qū)域的完整輪廓，然后再去除多余邊界，僅保留所需的拓?fù)鋱D輪廓。在活動(dòng)輪廓初始化階段，考慮到GVF場的節(jié)點(diǎn)位置在孔的外部，以及梯度矢量流的作用范圍較小，導(dǎo)致整個(gè)輪廓曲線在收斂過程中都往一個(gè)方向偏移，使輪廓提取的結(jié)果不能遍及孔的全部邊界的問題，將初始GVF活動(dòng)輪廓模型設(shè)置為多邊形，并使多邊形的相應(yīng)邊與設(shè)計(jì)域邊界重合[21]。

圖4 不包含內(nèi)節(jié)點(diǎn)的輪廓的變形

4.2.2 活動(dòng)輪廓演化算法的改進(jìn)

為了使GVF活動(dòng)輪廓的收斂結(jié)果能遍及所期望的拓?fù)鋱D邊界，對于設(shè)計(jì)域周邊孔的模型演化采用了兩個(gè)策略，一是在曲線演化過程中，活動(dòng)輪廓位于邊界上的點(diǎn)均保持固定不動(dòng)；二是采用固定點(diǎn)偏移算法，該算法的作用是擴(kuò)大GVF模型的膨脹區(qū)域。以待提取的孔的輪廓與設(shè)計(jì)域有一條邊重合的情形為例，并設(shè)重合邊與x軸平行，如圖5所示，其中圖5a為第i次迭代過程中，模型僅在GVF作用下的膨脹結(jié)果，圖5b為對圖5a中的活動(dòng)輪廓施加固定點(diǎn)偏移算法之后的結(jié)果。對比圖5a與圖5b，可見固定點(diǎn)偏移算法能有效改進(jìn)活動(dòng)輪廓膨脹效果。該算法的實(shí)施過程可表示如下[25]：

圖5 固定點(diǎn)偏移算法

(1)對于i=1,…,N

如果 點(diǎn)(x,y)不是邊界點(diǎn)，存儲(chǔ)該點(diǎn)在N個(gè)蛇點(diǎn)中的序號(hào)，生成矩陣N1；

將矩陣N1中各點(diǎn)的x坐標(biāo)生成新的矩陣X1；

尋找矩陣X1中最小的x值；

確定minx1在X1中所對應(yīng)的序號(hào)m1；

(2)對于i=1,…,N如果 點(diǎn)(x,y)是邊界點(diǎn),存儲(chǔ)該點(diǎn)在N個(gè)蛇點(diǎn)中的序號(hào),生成矩陣N2；

將矩陣N2中各點(diǎn)的x坐標(biāo)生成新的矩陣X2；

尋找矩陣X2中最小的x值minx2；

確定minx2在X2中所對應(yīng)的序號(hào)m2；

(3)根據(jù)矩陣N1、N2以及序號(hào)m1、m2求出與minx1、minx2對應(yīng)的y1、y2。對于i=1,…,N,將落在(minx1,y1)與(minx2,y2)之間的點(diǎn)均移動(dòng)到點(diǎn)(minx1,y1)的正下方。

4.2.3 多余邊界的去除

提取設(shè)計(jì)域周邊孔區(qū)域的完整輪廓之后，需要去除多余邊界，保留所需的拓?fù)鋱D輪廓。仍以待提取的孔的輪廓與設(shè)計(jì)域有一條邊重合的情形為例，并設(shè)重合邊與x軸平行，則去除多余邊界的算法步驟如下[25]：

(1)對于i=1,…,N,如果點(diǎn)(x,y)是邊界點(diǎn)，存儲(chǔ)該點(diǎn),在N個(gè)蛇點(diǎn)中的序號(hào)，生成矩陣N1；

(2)將矩陣N1中各點(diǎn)的x坐標(biāo)生成新的矩陣X1；

(3)尋找矩陣X1中最小的x值minx1和最大的x值maxx1；

(4)對于i=1,…,N,如果點(diǎn)(x,y)不是邊界點(diǎn)，存儲(chǔ)該點(diǎn),在N個(gè)蛇點(diǎn)中的序號(hào)，生成矩陣N2；

(5)在矩陣N2中添加x值分別為minx1和maxx1的點(diǎn)。

(6)調(diào)整矩陣N2的元素順序，使x值分別為minx1和maxx1的點(diǎn)成為開曲線的首末點(diǎn)。

5 算例

如圖6所示為柔順夾持器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域，大小為400μm×400μm，材料的楊氏模量為200E/GPa，泊松比為0.3，輸入載荷Fin為200mN，目標(biāo)體積約束比θ為0.3，過濾半徑為2.5，單元邊長5μm，輸入輸出彈簧剛度分別為5N/mm。由于設(shè)計(jì)域具有對稱性，因此取一半進(jìn)行研究，并將其離散為80×40的有限元網(wǎng)格。柔順夾持器機(jī)構(gòu)的對稱一半拓?fù)鋱D如圖7所示。從該圖可知，拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中共有7個(gè)孔區(qū)域，其中4個(gè)位于設(shè)計(jì)域內(nèi)部，具有封閉輪廓，另外3個(gè)孔在設(shè)計(jì)域的周邊，具有開環(huán)輪廓。因此，首先采用GVF活動(dòng)輪廓模型提取設(shè)計(jì)域內(nèi)部4個(gè)孔的封閉輪廓，輪廓初始化及提取過程如圖8a～圖8h所示，然后，結(jié)合本文的多邊形初始化和固定點(diǎn)偏移算法提取設(shè)計(jì)域周邊3個(gè)孔的封閉輪廓，圖9a～圖9f所示為輪廓初始化及提取過程，最后，從提取結(jié)果中去除多余輪廓，并補(bǔ)充拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的直線邊界，因此，拓?fù)鋱D輪廓提取結(jié)果如圖9g所示，進(jìn)一步可得圖10所示的柔順夾持器的完整輪廓，從圖中可以看出，本文算法得到了較光滑的拓?fù)鋱D輪廓提取結(jié)果，說明本文算法是可行的。

圖6 柔順夾持器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域

圖7 柔順夾持器機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D

圖8 柔順夾持機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D閉環(huán)輪廓提取

圖9 柔順夾持機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D開環(huán)輪廓提取

圖10 柔順夾持機(jī)構(gòu)的完整輪廓

6 結(jié)論

提出一種基于梯度矢量流模型的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D的輪廓提取方法。該方法首先通過密度再分配求出單元節(jié)點(diǎn)密度，然后，利用差分方法計(jì)算出單元節(jié)點(diǎn)密度的梯度，之后，相繼求出節(jié)點(diǎn)的外能、傳統(tǒng)外力和梯度矢量流。在模型演化過程中，利用雙線性插值算法求出任意點(diǎn)的GVF，同時(shí)，針對拓?fù)鋱D的孔所處的不同位置，給出了不同的初始蛇模型及相應(yīng)的模型演化方法，實(shí)現(xiàn)了柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D輪廓的自動(dòng)提取。最后，數(shù)值算例表明了本文算法得到了較光滑的拓?fù)鋱D輪廓提取結(jié)果，說明本文算法是可行的。

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(編輯 李秀敏)

A Topological Contour Extraction Approach for Compliant Mechanisms Based on the Griadient Vector Flow

FU Yong-qinga,ZHANG Xian-minb

(a.School of Design;b. School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640,China)

Based on the griadient vector flow, a topological contour extraction approach for compliant mechansimsis proposed. Firstly, element node densities are computed by a density redistribution. Then, the grads of node densities are obtained by the difference method. Subsequently, the external energy and triditional enternal force and griadient vector flow. During the evolving process of the model, bilinear interpolation is used to calculate the griadient vector flow of a random point, Aiming to different position of holes in the topology, different initialization and evolving methods for the model are developed, So automation contour extraction for the topologies of compliant mechanisms is realized. At last, numerical examples are used to confirm the feasibiligy of the proposed approach.

griadient vector flow；compliant mechansimsis; topological contour extraction

1001-2265(2017)07-0055-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.013

2016-09-18；

2016-10-29

國家自然科學(xué)基金 (51275174)

付永清(1968—)，女，江西高安人，華南理工大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和拓?fù)鋱D提取，(E-mail)yqfu@scut.edu.cn。

TH112;TG506

A