考慮尺寸的三維膠結(jié)顆粒法向接觸強(qiáng)度估算公式

劉 芳，周向楠，蔣明鏡

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院 地下建筑與工程系，上海 200092；3.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

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考慮尺寸的三維膠結(jié)顆粒法向接觸強(qiáng)度估算公式

劉 芳1,2,3，周向楠2,3，蔣明鏡1,2,3

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院 地下建筑與工程系，上海 200092；3.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

粒間膠結(jié)的存在導(dǎo)致天然結(jié)構(gòu)性土體具有獨(dú)特的宏觀變形和強(qiáng)度特性。為了研究法向加載條件下三維膠結(jié)顆粒的接觸破壞規(guī)律及尺寸效應(yīng)，采用有限元法模擬了理想球形膠結(jié)顆粒的法向接觸力學(xué)試驗(yàn)，并將有限元與離散元的模擬結(jié)果進(jìn)行了對比，分析了不同直徑比和厚寬比情況下膠結(jié)顆?？估瓑簭?qiáng)度的變化規(guī)律，得到了膠結(jié)顆粒法向接觸強(qiáng)度與膠結(jié)尺寸參數(shù)的定量關(guān)系。結(jié)果表明：膠結(jié)物的直徑比和厚寬比顯著影響膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度，厚寬比占主導(dǎo)作用，抗壓強(qiáng)度隨著厚寬比增加顯著降低；但膠結(jié)顆?？估瓘?qiáng)度的尺寸效應(yīng)不顯著。

巖土工程；膠結(jié)材料；接觸力學(xué)；有限元模擬；尺寸效應(yīng)

粒間膠結(jié)廣泛存在于天然巖土材料中(如結(jié)構(gòu)性砂土、軟巖和土石混合體等)[1]，顯著影響顆粒尺度上的粒間力傳遞方式。由于外部荷載和環(huán)境改變，粒間膠結(jié)可能發(fā)生破損引起顆粒重新排列，從而導(dǎo)致膠結(jié)巖土材料具有獨(dú)特的宏觀變形與強(qiáng)度特性[2-4]。合理描述膠結(jié)顆粒微觀接觸力學(xué)行為成為發(fā)展膠結(jié)巖土材料離散元模擬方法的關(guān)鍵[5]，而描述膠結(jié)顆粒承載能力的微觀膠結(jié)破壞準(zhǔn)則是其重要組成部分。

目前，已有學(xué)者采用微觀模型試驗(yàn)研究了膠結(jié)顆粒接觸強(qiáng)度的影響因素，并在二維試驗(yàn)條件下證實(shí)膠結(jié)尺寸對膠結(jié)接觸強(qiáng)度的重要影響[6-13]。為了在更加可控的試驗(yàn)條件下得到膠結(jié)接觸強(qiáng)度與粒間膠結(jié)幾何參數(shù)的定量關(guān)系，劉芳等[14-15]采用有限元或離散元數(shù)值試驗(yàn)方法研究了二維理想圓盤膠結(jié)顆粒的法向接觸行為規(guī)律，并且獲得二維膠結(jié)法向接觸強(qiáng)度的定量估算方法。在更加接近真實(shí)情況的三維膠結(jié)顆粒模擬方面，Z.F.SHEN等[16]采用離散元法研究了三維條件下脆性膠結(jié)顆粒在不同復(fù)雜加載條件下的力學(xué)響應(yīng)和破壞準(zhǔn)則。相對于二維顆粒接觸行為研究而言，三維顆粒接觸行為的研究仍顯不足。

因此，筆者在前期二維膠結(jié)顆粒接觸數(shù)值試驗(yàn)研究基礎(chǔ)上[14]，采用有限元方法模擬三維球形膠結(jié)顆粒的法向接觸力學(xué)試驗(yàn)，進(jìn)一步研究法向壓縮和拉伸加載條件下的三維膠結(jié)顆粒接觸破壞規(guī)律及尺寸效應(yīng)，以期獲得三維條件下球形膠結(jié)顆粒法向接觸抗壓和抗拉強(qiáng)度的定量估算方法。

1 有限元模型

筆者采用的膠結(jié)顆粒模型如圖1。土顆粒近似為理想圓球，直徑為Ds，為了便于在有限元模擬中施加荷載，取半球考慮。顆粒間附著膠結(jié)物，粒間膠結(jié)寬度為Db，粒間膠結(jié)最小厚度為Hb，粒間膠結(jié)的幾何特征通過兩個無量綱物理量來描述，即直徑比ξ=Ds/Db和膠結(jié)厚寬比η=Hb/Db，其中ξ表征膠結(jié)物與顆粒接觸面的彎曲程度，sinθ=1/ξ，角度θ的定義見圖1，取值在0°到90°之間。在本研究中，為了便于與三維離散元模擬結(jié)果[16]進(jìn)行對比，Db取定值6 mm，ξ在2～5范圍變化，η在0.2～0.5范圍變化。

圖1 顆粒的模型示意Fig. 1 A schematic illustration of the particle model

筆者采用有限元程序ABAQUS對圖1所示的模型進(jìn)行數(shù)值建模。由于土顆粒剛度一般遠(yuǎn)大于粒間膠結(jié)材料剛度，為簡化分析，采用解析剛體模擬顆粒，不需要進(jìn)行單元劃分，下部剛體參考點(diǎn)施加固端約束，上部剛體的參考點(diǎn)施加相應(yīng)的位移和荷載條件。圖2為其中一個算例粒間膠結(jié)部分的單元網(wǎng)格圖(節(jié)點(diǎn)數(shù)1 325，單元數(shù)960)，單元類型為C3D8R。膠結(jié)物與顆粒之間的接觸設(shè)定為綁定約束，即假定接觸破壞產(chǎn)生在膠結(jié)物內(nèi)部而不是顆粒和膠結(jié)物界面。

圖2 粒間膠結(jié)物的有限元網(wǎng)格Fig. 2 The finite element mesh of the inter-particle cementation

數(shù)值模擬中，通過位移控制進(jìn)行法向荷載施加，即在上部剛體參考點(diǎn)施加法向的正/負(fù)位移模擬顆粒受拉/壓載荷方式，直至計算不收斂，從而得到膠結(jié)物的峰值拉伸荷載Rnt和峰值壓縮荷載Rnc，分別定義為膠結(jié)顆粒的抗拉和抗壓強(qiáng)度。

2 粒間膠結(jié)的材料模型及參數(shù)標(biāo)定

粒間膠結(jié)物的材料模型采用ABAQUS程序自帶的混凝土塑性損傷模型(即CDP模型)[17]，以模擬土顆粒間的脆性膠結(jié)。模型參數(shù)根據(jù)Z.F.SHEN等的文獻(xiàn)中粒間膠結(jié)物材料試驗(yàn)的離散元模擬曲線進(jìn)行標(biāo)定[16]。參數(shù)標(biāo)定結(jié)果匯總見表1。

表1 粒間膠結(jié)物的材料模型參數(shù)

CDP模型中用戶自定義部分的屈服應(yīng)力-非彈性應(yīng)變、損傷-非彈性應(yīng)變的取值由GB 50010—2011《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》的經(jīng)驗(yàn)公式計算得到。圖3為粒間膠結(jié)物材料單元試驗(yàn)的有限元模擬結(jié)果與離散元模擬結(jié)果的對比，有限元計算中所采用的本構(gòu)模型參數(shù)見表1。單軸壓縮試驗(yàn)有限元結(jié)果與離散元結(jié)果吻合較好，單軸拉伸試驗(yàn)中，受本構(gòu)模型所限，有限元模擬所得到的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈現(xiàn)更為顯著的彈脆性，但峰值拉應(yīng)力與離散元模擬結(jié)果在量級上比較接近。

圖3 材料參數(shù)標(biāo)定Fig. 3 Material parameters calibration

3 壓縮試驗(yàn)的數(shù)值模擬結(jié)果

3.1 法向荷載響應(yīng)曲線

圖4和圖5為不同膠結(jié)尺寸下壓縮試驗(yàn)數(shù)值模擬所得到的法向力與平均應(yīng)變(即δ/Hb，δ為粒間法向位移)的關(guān)系。由圖4可見，隨著膠結(jié)直徑比ξ增大，法向力峰值略有增加；當(dāng)ξ=2時，峰后法向荷載陡然下降到殘余值，呈現(xiàn)脆性破壞，當(dāng)ξ逐漸增加時破壞模式由脆性轉(zhuǎn)為彈塑性破壞；有限元和離散元結(jié)果在峰值荷載、峰值荷載位移和破壞模式方面均比較接近。由圖5可見，隨著膠結(jié)厚寬比η的增加，法向力峰值明顯降低，有限元和離散元模擬結(jié)果基本一致。

圖4 不同膠結(jié)直徑比下法向壓縮荷載與位移關(guān)系Fig. 4 Relationship between normal compressive loading and displacement at different diameter ratios of the bond

圖5 不同厚寬比下的法向壓縮荷載與位移關(guān)系Fig. 5 Relationship between normal compressive loading and displacement at different thickness-to-width ratios of the bond

3.2 考慮尺寸的法向抗壓強(qiáng)度估算公式

膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度Rc定義為壓縮試驗(yàn)中的峰值荷載，根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，Rc與粒間膠結(jié)尺寸和顆粒大小有關(guān)，即具有尺寸效應(yīng)。

若將Rc進(jìn)行無量綱化，可根據(jù)F.LIU等[15]定義膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度因子如下：

(1)

根據(jù)式(1)可計算不同尺寸下有限元數(shù)值試驗(yàn)所得到的膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度因子，繪制其與膠結(jié)尺寸參數(shù)的關(guān)系曲線。圖6為χc/(1+sinθ)與膠結(jié)厚寬比η的關(guān)系曲線。

圖6 抗壓強(qiáng)度因子與粒間膠結(jié)厚寬比關(guān)系Fig. 6 χc-η relationship obtained in FEM

由圖6可見，變量χc/(1+sinθ)與η具有較好歸一化關(guān)系，可通過冪函數(shù)進(jìn)行擬合，即χc/(1+sinθ)=η-0.47。因此，膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度可用式(2)進(jìn)行估算：

Rc=αηcαθc(Aσc)

(2)

式中：αηc和αθc分別為粒間膠結(jié)物的厚寬比系數(shù)和界面形狀系數(shù)，根據(jù)本次有限元數(shù)值試驗(yàn)的擬合結(jié)果，αηc=η-0.47，αθc=1/(1+sinθ)。

圖7為粒間膠結(jié)物法向應(yīng)變分別達(dá)到1.2εp,2εp和εmax時膠結(jié)物軸向垂直截面等效塑性應(yīng)變的發(fā)展情況，其中εp為法向力達(dá)到峰值時的應(yīng)變值，εmax為加載結(jié)束時的應(yīng)變值。

圖7 膠結(jié)物軸對稱面上等效塑性應(yīng)變發(fā)展過程Fig. 7 Development of plastic strain at the axial-symmetric cross-section of the inter-particle cementation

由圖7可見，膠結(jié)物外邊緣首先發(fā)生塑性變形，然后向內(nèi)部擴(kuò)展，這與試驗(yàn)所觀測到的破壞首先以外緣破碎形式發(fā)生[13]是一致的。對比圖7(a)～(c)和圖7(g)～(i)，隨著η增加，塑性區(qū)更容易貫通，因此膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度有所降低；當(dāng)應(yīng)變達(dá)到εmax時，η=0.5情況下，膠結(jié)物塑性區(qū)已基本貫通形成剪切帶，而η=0.3情況下，受接觸面端部約束比較明顯，膠結(jié)物塑性區(qū)仍未貫通。對比圖7(a)～(c)和圖7(d)～(f)，隨著ξ增加，塑性區(qū)擴(kuò)展速度減緩，表明顆粒與膠結(jié)物接觸界面越接近平面，接觸面端部約束越明顯，越有利于提高膠結(jié)顆粒法向抗壓強(qiáng)度。

圖8為加載過程中膠結(jié)物水平中心截面法向應(yīng)力的變化情況，膠結(jié)中心點(diǎn)為橫坐標(biāo)原點(diǎn)。由圖8可見，當(dāng)法向荷載達(dá)到峰值之前，截面各點(diǎn)法向應(yīng)力均有所增加，中心處應(yīng)力值高于邊緣處；隨后，邊緣處產(chǎn)生塑性變形破壞，邊緣處應(yīng)力陡然跌落，而中心處仍然處于彈性區(qū)，應(yīng)力驟然上升。對于η=0.5的情況〔見圖8(c)〕，當(dāng)應(yīng)變達(dá)到εmax時，膠結(jié)物塑性區(qū)已基本貫通，中心處也產(chǎn)生塑性變形破壞，截面各點(diǎn)均發(fā)生應(yīng)力降低；而η=0.3的情況〔見圖8(a)和(b)〕，中心處塑性區(qū)未貫通，中心處仍有較大應(yīng)力值。

4 拉伸試驗(yàn)的數(shù)值模擬結(jié)果

4.1 法向荷載響應(yīng)曲線

圖9和圖10為不同膠結(jié)尺寸下拉伸試驗(yàn)數(shù)值模擬所得到的法向拉伸荷載與平均拉伸應(yīng)變(即δ/Hb)的關(guān)系。由圖9，圖10可見，區(qū)別于壓縮試驗(yàn)，粒間膠結(jié)在拉伸情況下發(fā)生脆性破壞；與壓縮試驗(yàn)類似，拉伸荷載峰值隨著膠結(jié)直徑比ξ增大和膠結(jié)厚寬比η減小而增加，但是尺寸影響不如壓縮試驗(yàn)顯著。有限元和離散元結(jié)果在峰值荷載、峰值荷載位移和破壞模式方面均比較接近。

圖9 不同膠結(jié)直徑比下法向拉伸荷載與位移關(guān)系Fig. 9 Relationship between normal tensile loading and displacement at different diameter ratios of the bond

圖10 不同膠結(jié)厚寬比下法向拉伸荷載與位移關(guān)系Fig. 10 Relationship between normal tensile loading and displacement at different thickness-to-width ratios of the bond

4.2 法向抗拉強(qiáng)度及尺寸效應(yīng)

與前述類似，膠結(jié)顆粒法向抗拉強(qiáng)度Rt可定義為拉伸試驗(yàn)中的峰值拉伸荷載，相應(yīng)地，可定義無量綱的膠結(jié)顆粒法向抗拉強(qiáng)度因子如下：

(3)

式中：σt為膠結(jié)材料單軸抗拉峰值應(yīng)力，在本分析中σt=13.8 MPa(見圖3的單軸拉伸試驗(yàn)?zāi)M結(jié)果)。

圖11為χt與膠結(jié)厚寬比η的關(guān)系曲線，χt隨著η增加略有增加，趨近于1，若采用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可得到最佳擬合方程為χt=e-0.036/η。因此，膠結(jié)顆粒法向抗拉強(qiáng)度可用以式(4)進(jìn)行估算：

Rt=αηtαθt(Aσt)

(4)

式中：αηt和αθt分別為粒間膠結(jié)物的厚寬比系數(shù)和界面形狀系數(shù)，αθt近似為1.0，根據(jù)本次有限元數(shù)值試驗(yàn)的擬合結(jié)果：αηt=e-0.036/η。

圖11 抗拉強(qiáng)度因子與粒間膠結(jié)厚寬比關(guān)系Fig. 11 χt-η relationship obtained in FEM

圖12為加載過程中膠結(jié)物水平中心截面法向拉應(yīng)力分布情況，膠結(jié)中心點(diǎn)為橫坐標(biāo)原點(diǎn)。由圖12可見，隨著法向拉伸荷載增加，截面各點(diǎn)法向應(yīng)力均有所增加，中心處應(yīng)力值高于邊緣處，但是中心與邊緣處應(yīng)力區(qū)別不如壓縮試驗(yàn)顯著，說明在拉伸荷載條件下，顆粒與膠結(jié)物接觸界面約束效應(yīng)并不顯著。對比圖12(a)和圖12(c),隨著η增加，應(yīng)力分布趨于均勻，表明當(dāng)膠結(jié)厚度超過一定范圍內(nèi)，端部約束影響不明顯。對比圖12(a)和圖12(b), 隨著ξ增加，應(yīng)力分布區(qū)別不大，表明在拉伸荷載條件下，界面形狀影響可忽略不計。

圖12 膠結(jié)物水平中心截面上法向拉應(yīng)力分布Fig. 12 Distribution of normal tensile stress at the horizontal central cross-section of the inter-particle cementation

5 結(jié) 論

為了研究膠結(jié)顆粒接觸破壞規(guī)律及尺寸效應(yīng)的影響，筆者對壓縮和拉伸加載條件下的三維球形膠結(jié)顆粒進(jìn)行了有限元數(shù)值試驗(yàn)。研究了不同直徑比和厚寬比條件下膠結(jié)物抗拉壓強(qiáng)度的變化規(guī)律，并得到考慮膠結(jié)物尺寸的膠結(jié)顆?？箟汉涂估瓘?qiáng)度的估算公式，得到以下主要結(jié)論：

1)膠結(jié)球形顆粒法向抗壓強(qiáng)度與粒間膠結(jié)物的幾何特征顯著相關(guān)，該特征可以通過兩個無量綱物理量進(jìn)行描述，即膠結(jié)厚寬比η和直徑比ξ。膠結(jié)球形顆粒法向抗壓強(qiáng)度隨著η減小和ξ增加而增加，η的影響占主導(dǎo)，可以采用式(2)進(jìn)行估算。

2)膠結(jié)球形顆粒法向抗拉強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)不是特別顯著，隨著η減小和ξ增加而略有增加，可采用式(4)進(jìn)行估算，為簡化起見可忽略ξ的影響。

需要指出的是，估算公式式(2)和式(4)所涉及的擬合公式與膠結(jié)物的材料參數(shù)有關(guān)，是否適合其它膠結(jié)材料還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證工作。顆粒膠結(jié)法向接觸的尺寸效應(yīng)不僅限于顆粒與膠結(jié)物的直徑比和膠結(jié)物的厚寬比兩個方面，還包括膠結(jié)顆粒之間的尺寸比，筆者只考慮了簡單的等同雙球的情況，在后續(xù)的研究中需進(jìn)一步的完善。

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(責(zé)任編輯：譚緒凱)

Formulas for Estimating Size-Dependent Normal Contact Resistance of 3D Bonded Spheres

LIU Fang1, 2, 3, ZHOU Xiangnan2, 3, JIANG Mingjing1, 2, 3

(1. State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, P. R. China; 2. Department of Underground Architecture & Engineering, School of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, P. R. China; 3. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, P. R. China)

The presence of inter-particle bonds leads to the unique macroscopic deformation and strength characteristics of natural structural soils. In order to study 3D cement particle contact failure regularity and size effect under the normal loading conditions, the contact mechanics test of ideal spherical particle cementation was simulated by finite element method. The results of the finite element simulation and those of discrete element simulation were compared. The finite element method was used to simulate normal contact response of two spheres sandwiching cementation in order to reveal the size effect on normal resistance of bonded spheres. The simulation results of finite element were compared with those of discrete element. The rule of compression/tension resistance of the bonded spheres was analyzed under different values of two dimensionless geometric parameters of the bond, i.e., diameter ratio and thickness-to-width ratio of the bond. Quantitative relationships between contact strength and cement size parameters were obtained. The results show that the compressive resistance of the bonded spheres is highly affected by the diameter ratio and the thickness-to-width ratio of the cementaneous material, and the thickness-to-width ratio plays a dominant role. The compressive resistance of the bonded spheres significantly decreases as the thickness-to-width ratio of the bond increases, while the size effect of the cement particle tensile strength is not significant.

geotechnical engineering; cementaneous material; contact mechanics; finite element simulation; size effect

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.11

2016-02-05；

2016-12-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(415722675；51239010；51579178)；國家科技支撐計劃課題(2013BAB06B02)；流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題(2015ZY05)

劉 芳(1978—)，女，廣東河源人，副教授，博士，主要從事巖土力學(xué)與工程方面的研究。E-mail：liufang@#edu.cn。

TU43

A

1674-0696(2017)07-066-07