王永茂， 李 丹， 魏 靜

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

隨機(jī)利率下基于Tsallis熵及O-U過(guò)程的冪式期權(quán)定價(jià)

王永茂， 李 丹， 魏 靜

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

為了準(zhǔn)確描述股票價(jià)格的變化規(guī)律，對(duì)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，利用具有尖峰厚尾和長(zhǎng)期相依特征的Tsallis熵分布、具有均值回復(fù)性的O-U過(guò)程，建立股票價(jià)格的變化模型，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率服從Vasicek模型下，運(yùn)用隨機(jī)微分和等價(jià)鞅測(cè)度的方法得到了冪式期權(quán)的定價(jià)公式，推廣了經(jīng)典的Black-Scholes定價(jià)理論，擴(kuò)展了已有文獻(xiàn)的結(jié)論.

Tsallis熵； Vasicek模型； O-U過(guò)程； 鞅

0 引言

1973年發(fā)表的Black-Sholes期權(quán)定價(jià)模型[1]是期權(quán)定價(jià)理論的基礎(chǔ)，但是B-S模型的假設(shè)過(guò)于嚴(yán)格，它假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng).幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)行模式意味著資產(chǎn)價(jià)格變化是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，收益率服從正態(tài)分布而且不具有歷史記憶性.然而，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外大量研究表明，資產(chǎn)收益率的分布具有尖峰厚尾的現(xiàn)象和長(zhǎng)期相依的性質(zhì)[2].另外，從長(zhǎng)期來(lái)看，資產(chǎn)價(jià)格的變化有回到其長(zhǎng)期平均值的傾向，不少學(xué)者采用具有均值回復(fù)性的O-U過(guò)程來(lái)刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格的變化規(guī)律，如文獻(xiàn)[3]利用精算方法得到了O-U過(guò)程的歐式期權(quán)的定價(jià)公式.

文獻(xiàn)[4]提出了非廣延Tsallis熵理論.Tsallis熵分布可以用來(lái)描述具有非線性、長(zhǎng)程相互作用和長(zhǎng)期記憶效應(yīng)的復(fù)雜系統(tǒng).文獻(xiàn)[5]利用Tsallis熵分布對(duì)不同國(guó)家的股票收益率進(jìn)行研究，得知Tsallis熵分布可較好的擬合股票的收益率分布. 文獻(xiàn)[6]利用Tsallis熵理論對(duì)我國(guó)股市進(jìn)行了研究，得知我國(guó)股市的價(jià)格過(guò)程并不符合隨機(jī)游走，而是服從反常擴(kuò)散過(guò)程，具有明顯的非線性動(dòng)力系統(tǒng)特征.

考慮到在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中，利率在短時(shí)間內(nèi)往往表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性，但長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，其變化有向均衡水平靠攏的趨勢(shì)，故本文在傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)研究方法的基礎(chǔ)上，采用Vasicek模型來(lái)刻畫(huà)利率的變化規(guī)律，用最大化Tsallis熵分布和O-U過(guò)程來(lái)刻畫(huà)股票價(jià)格的變化規(guī)律，運(yùn)用等價(jià)鞅測(cè)度方法，研究了風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境下冪式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.

1 股票價(jià)格模型

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間的無(wú)摩擦金融市場(chǎng)，假設(shè)市場(chǎng)上存在兩種可交易金融資產(chǎn)：一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券；另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票.假設(shè)在t時(shí)刻的股票價(jià)格S(t)滿足隨機(jī)微分方程

dS(t)=(μ-blnS(t))S(t)dt+σ1S(t)dΩ(t)，

(1)

該概率密度函數(shù)P(Ω,t)滿足非線性Fokker-Planck方程[7]

其對(duì)應(yīng)微觀尺度下的Ito-Langevin方程為

(2)

故在概率測(cè)度Q下，S*(t)為鞅.

2 利率模型

在等價(jià)鞅測(cè)度Q下，市場(chǎng)為風(fēng)險(xiǎn)中性，此時(shí)假設(shè)利率r(t)服從Vasicek模型，即滿足隨機(jī)微分方程

dr(t)=a(θ-r(t))dt+σ2dBQ(t),r(0)=r0,

(3)

其中:{BQ(t)：0≤t≤T}是Q上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，與{WQ(t)：0≤t≤T}獨(dú)立；θ為常數(shù)，表示長(zhǎng)期均衡的利率水平；a為調(diào)整短期和長(zhǎng)期利率關(guān)系的平均回復(fù)率；σ2為利率的波動(dòng)率.

引理4[8]若隨機(jī)利率r(t)服從Vasicek模型，即滿足隨機(jī)微分方程(3)，則有

(4)

3 冪式期權(quán)定價(jià)

本文研究的冪式期權(quán)形式如下：

定理1 若股票價(jià)格S(t)滿足隨機(jī)微分方程(1)，隨機(jī)利率服從Vasicek模型(3)，且股票無(wú)紅利支付，則到期日為T. 執(zhí)行價(jià)格為K的冪式看漲及看跌期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格分別為：

(5)

(6)

其中:

引理2中的(2)式取對(duì)數(shù)，同時(shí)將(4)式代入可得到期權(quán)執(zhí)行的充要條件S(T)>K，等價(jià)于

(7)

由引理3可得

(8)

(9)

將式(8)和(9)代入(7)式可得期權(quán)執(zhí)行的充要條件為

所以有:

對(duì)上述兩式相減則可得冪式看漲期權(quán)定價(jià)式(5)，同理可得該模型下冪式看跌期權(quán)的定價(jià)公式(6).

注 1) 當(dāng)q=1,b=0,λ=1時(shí)，由定理1可得Vasicek利率模型下經(jīng)典B-S模型的歐式期權(quán)定價(jià)公式.

2) 當(dāng)b=0,λ=1時(shí)，由定理1可得Vasicek利率模型下基于最大化Tsallis熵的歐式期權(quán)定價(jià)公式.

3) 當(dāng)q=1,λ=1時(shí)，由定理1可得Vasicek利率模型下基于O-U過(guò)程的歐式期權(quán)定價(jià)公式.

4 結(jié)束語(yǔ)

文章對(duì)傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，結(jié)合具有長(zhǎng)程記憶及統(tǒng)計(jì)反饋性質(zhì)的Tsallis熵分布和具有均值回復(fù)特征的O-U過(guò)程，通過(guò)等價(jià)鞅測(cè)度方法，得出了Vasicek隨機(jī)利率模型下的冪式期權(quán)定價(jià)公式.與文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的結(jié)論相比，本文結(jié)論綜合考慮了Tsallis熵、O-U過(guò)程和隨機(jī)利率對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響，豐富了期權(quán)定價(jià)的相關(guān)結(jié)論.

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[2] 陳倩，李金林，張倫．基于g-h分布的上證指數(shù)收益率分布擬合研究[J]．中國(guó)管理科學(xué)，2008，16：226-230.

[3] 閆海峰，劉三陽(yáng)．股票價(jià)格遵循Ornstein-Uhlenback過(guò)程的期權(quán)定價(jià)[J]．系統(tǒng)過(guò)程學(xué)報(bào)，2003，18(6)：547-551.

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Pricing of Power European Options Based on Tsallis Entropy and O-U Process under Stochastic Interest Rate

WANG Yongmao， LI Dan， WEI Jing

(CollegeofScience，YanshanUniversity，Qinhuangdao066004，China)

The classical Black-Scholes option pricing model was improved in order to accurately describe the fluctuation of stock price.Thus, the distribution of Tsallis entropy, which had fat-tailed and long-term dependent characteristics,and O-U process were selected to describe the law of the stock prices fluctuation. By using the stochastic differential and martingale under the Vasicek interest rate model, the pricing formulas of power European options were obtained. The formulas not only generalized the classical Black-Scholes conclusion, but also corroborated the conclusions in the other literature.

Tsallis entropy； Vasicek interest rate model； O-U process； martingale

2016-10-09

廊坊市科技局科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2016011031)．

王永茂(1958—)，男，河北秦皇島人，教授，主要從事壽險(xiǎn)精算、概率論研究；通信作者：李丹(1989—)，女，山西運(yùn)城人，主要從事保險(xiǎn)定價(jià)理論研究，E-mail:245514309@qq.com.

O211.6；F830.9

A

1671-6841(2017)03-0001-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2016261