廣東省廣州市培正中學(xué)(510080) 湯儉

廣東省廣州市越秀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校(510080) 吳平生

基于數(shù)據(jù)分析下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)探索與反思*—以《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課為例

廣東省廣州市培正中學(xué)(510080) 湯儉

廣東省廣州市越秀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校(510080) 吳平生

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來,數(shù)據(jù)分析正影響著傳統(tǒng)教學(xué)．如何借助數(shù)據(jù)分析的方法和手段,精準(zhǔn)地找到學(xué)生學(xué)習(xí)的困難,為學(xué)生的課前、課中、課后的學(xué)習(xí)提供有效的服務(wù),是筆者一直在思考的問題．在復(fù)習(xí)課中,以數(shù)據(jù)分析得到的反饋情況作為復(fù)習(xí)的起點(diǎn),以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué),以數(shù)據(jù)反饋來促進(jìn)教學(xué)方式與學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,是一種有益的嘗試．基于以上設(shè)想,筆者以《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課為例開展數(shù)據(jù)分析下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課例研究．

一、基于數(shù)據(jù)分析下的《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課構(gòu)想

為了將數(shù)據(jù)分析應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué),在課前,我嘗試用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況,確定適合學(xué)生實(shí)際情況的復(fù)習(xí)目標(biāo)．在課中,我嘗試通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)對(duì)比,找出前后測(cè)出現(xiàn)的知識(shí)缺陷,有針對(duì)性地點(diǎn)評(píng),找出共性問題,設(shè)置變式拓展問題．在課后,我嘗試根據(jù)前后測(cè)形成的錯(cuò)題本,推送分層作業(yè),為學(xué)生的“再次學(xué)習(xí)”創(chuàng)造條件．

本節(jié)復(fù)習(xí)課流程圖如下：(前后測(cè)內(nèi)容參見附錄1與附錄2)

圖1

【說明】在本節(jié)復(fù)習(xí)課的課前、課中和課后,學(xué)生所做的練習(xí)都是利用神算子數(shù)學(xué)網(wǎng)站同步布置,課中使用的數(shù)據(jù)都是基于神算子數(shù)學(xué)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)分析功能而進(jìn)行的．在本節(jié)復(fù)習(xí)課中,學(xué)生帶手機(jī)或者IPAD等電子產(chǎn)品通過登錄神算子數(shù)學(xué)網(wǎng)站完成后測(cè),課后也是利用神算子數(shù)學(xué)網(wǎng)站推送分層作業(yè)．

二、基于數(shù)據(jù)分析下的《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課實(shí)踐

(一)內(nèi)容分析

本節(jié)復(fù)習(xí)課是以2014年人教版九上數(shù)學(xué)教材第24章《圓》第2節(jié)作為教學(xué)內(nèi)容．本單元中,圓的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理比較多,圖形變化也比較豐富,直線與圓的位置關(guān)系是核心內(nèi)容,圓的切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理是重點(diǎn)內(nèi)容,本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等．

(二)學(xué)情分析

筆者所教班學(xué)生對(duì)本單元的基礎(chǔ)知識(shí)掌握得較好,但容易混淆圓的切線的判定與性質(zhì)中的條件與結(jié)論,綜合應(yīng)用能力不強(qiáng)．通過作業(yè)的反饋,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力有待提高．

(三)教學(xué)目標(biāo)

1.復(fù)習(xí)目標(biāo)：

2.復(fù)習(xí)重點(diǎn)：圓的切線的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

3.復(fù)習(xí)難點(diǎn)：用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合的思想方法分析直線與圓的位置關(guān)系．

(四)教學(xué)實(shí)施

1.以題帶點(diǎn),觸類旁通——基于數(shù)據(jù)分析下的學(xué)情分析與診斷

(1)設(shè)計(jì)前測(cè)與后測(cè)內(nèi)容

為了準(zhǔn)確把握學(xué)生的復(fù)習(xí)基礎(chǔ),我根據(jù)平時(shí)的課堂反饋和作業(yè)批改情況整理了前測(cè)內(nèi)容,并提前一天在神算子網(wǎng)站布置．上課前一天晚上我獲得前測(cè)內(nèi)容的反饋數(shù)據(jù),并在前測(cè)內(nèi)容的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了后測(cè)內(nèi)容．上課時(shí),我根據(jù)前測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)前測(cè)內(nèi)容進(jìn)行了講評(píng)．并讓學(xué)生在當(dāng)天課堂上完成后測(cè)內(nèi)容．

(2)實(shí)驗(yàn)班各類數(shù)據(jù)分析

【前后測(cè)及格人數(shù)對(duì)比表1】

圖2

圖3

【前后測(cè)各分?jǐn)?shù)段對(duì)比表2】

圖4

圖5

【說明】通過條形圖,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的前后測(cè)發(fā)生了可喜的變化,及格人數(shù)明顯增加,平均分有顯著提高．

【前后測(cè)每小題得分率對(duì)比表3】

圖6

【說明】前后測(cè)的題目涉及的知識(shí)點(diǎn)基本一致,只是在題目的表現(xiàn)形式上、圖形的變化上、能力的要求上有所提高．通過統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn),整體正確率有了一定提高,后測(cè)第4小題的得分率達(dá)到100%．在講評(píng)了前測(cè)第5小題的基礎(chǔ)上,我欣喜地看到學(xué)生做后測(cè)第5小題的得分率有了很大的提高．但是后測(cè)第1小題,考查直線與圓的位置關(guān)系,由于點(diǎn)的位置不確定,需要分類討論,不少學(xué)生漏解,另外由于本小題有兩個(gè)空,有些學(xué)生只做對(duì)第一空,做錯(cuò)第二空,系統(tǒng)判錯(cuò),導(dǎo)致得分率降低．第3小題的正確率也由100%下降到88.2%．通過數(shù)據(jù)的對(duì)比,我們可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的教學(xué)效果和學(xué)生的掌握情況,為更好地開展下一環(huán)節(jié)教學(xué)提供科學(xué)的依據(jù)．

2.以變促能,舉一反三——基于數(shù)據(jù)分析下的變式教學(xué)與拓展探究

(1)梳理框圖,提煉重點(diǎn)

幫助學(xué)生梳理本單元的知識(shí)框圖,建立知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化,是本節(jié)復(fù)習(xí)課的基本目標(biāo)之一．為此,我與學(xué)生一起找出本單元的知識(shí)脈絡(luò)和研究方法．

圖7

知識(shí)脈絡(luò)：點(diǎn)與圓——直線與圓——三角形與圓．

研究方法：比較d與r的大?。?/p>

圓的切線的判別方法：定義法;距離法：無交點(diǎn),作垂直,證半徑;判定定理法：有交點(diǎn),連半徑,證垂直．

蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合,分類討論,轉(zhuǎn)化化歸．

(2)變式訓(xùn)練,促進(jìn)遷移

根據(jù)課前的診斷數(shù)據(jù),我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圓的切線的判斷方法的理解不是很到位,為此給出了以下變式．

原題：如圖8,在 △ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．證明：DE是⊙O的切線．

圖8

【說明】本題采用小組討論的形式,通過學(xué)生之間的交流與討論,一共收集到三種不同的解題方法．基本方法是連接OD,證明DE⊥OD．

變式：如圖9,若點(diǎn)O在AB邊上的位置改變了,半徑為OB,但AB不是⊙O的直徑,BC與⊙O相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．試問DE還是⊙O的切線嗎?為什么?

圖9

【說明】通過幾何畫板的演示,發(fā)現(xiàn)DE仍是⊙O的切線．證明方法不變,還是連接OD,證明DE⊥OD．通過變式練習(xí),讓學(xué)生感受到雖然圓心的位置、圓的半徑發(fā)生變化,但直線與圓相切的位置關(guān)系不變,證明圓的切線的方法也沒變,從而與學(xué)生一起歸納出證明圓的切線的兩種常見方法：連半徑,證垂直;作垂直,證半徑．讓學(xué)生領(lǐng)悟“動(dòng)中求靜,變中求定”是解決運(yùn)動(dòng)變化問題的基本思路,為下一環(huán)節(jié)作好鋪墊．

(3)例題分析,引申拓展

根據(jù)課前的診斷數(shù)據(jù),我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)變化和分類討論意識(shí)較弱,因此我設(shè)置了一道有關(guān)運(yùn)動(dòng)變化的例題,以加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)．

圖10

(I)在移動(dòng)過程中,⊙O與△ABC的三條邊相切幾次?

(II)當(dāng)t為何值時(shí),⊙O與AC相切?

【說明】用幾何畫板動(dòng)畫演示,解題過程略．

3.以錯(cuò)促思,提升自我——基于數(shù)據(jù)分析下的師生課堂生成

(1)動(dòng)態(tài)課堂,精彩紛呈

在傳統(tǒng)教學(xué)中,我們主要通過舉手或者教師巡堂的方式來獲取學(xué)生課堂的反饋信息,有些片面和模糊．但利用數(shù)據(jù)分析,可以精準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)出學(xué)生的正確率,記錄下學(xué)生的做題痕跡,自動(dòng)分類出學(xué)生的典型錯(cuò)誤,實(shí)時(shí)進(jìn)行教學(xué)上的調(diào)整．比如在發(fā)現(xiàn)第1小題的得分率下降后,我利用了網(wǎng)站中的數(shù)據(jù)分析功能,在出現(xiàn)典型錯(cuò)誤的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位學(xué)生(這時(shí)學(xué)生的錯(cuò)題本也相應(yīng)形成),根據(jù)她的做題情況,請(qǐng)學(xué)生說出自己的分析過程和出錯(cuò)的原因,請(qǐng)大家一起來糾錯(cuò)和改正,并順勢(shì)提煉本題的核心知識(shí)點(diǎn)．在師生互動(dòng)糾錯(cuò)的過程中,學(xué)生的情緒被我充分調(diào)動(dòng)起來,這時(shí)我發(fā)現(xiàn)第5小題的得分率顯著提高,就請(qǐng)學(xué)生做小老師,這時(shí)有一個(gè)學(xué)生舉手提出問題：“若把線段變成直線,情況如何?”我便順勢(shì)把“線段BP”改成“直線BP”讓學(xué)生討論,拓展了學(xué)生思維．

(2)建立錯(cuò)題本,推送分層作業(yè)

傳統(tǒng)的作業(yè)都是老師預(yù)先準(zhǔn)備好,教師通過統(tǒng)一的作業(yè)來檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況．但在數(shù)據(jù)分析下,教師可結(jié)合前后測(cè)的數(shù)據(jù)反饋和學(xué)生課堂做題情況從試題庫推送分層作業(yè),不同類型的學(xué)生會(huì)收到適合自己的作業(yè)．若有錯(cuò)題,題目會(huì)自動(dòng)進(jìn)入學(xué)生的錯(cuò)題本中,學(xué)生一方面可以通過網(wǎng)絡(luò)隨時(shí)隨地進(jìn)行錯(cuò)題反饋,另一方面可以利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的功能了解自己的掌握情況和在班上的學(xué)習(xí)排名,這樣每一個(gè)學(xué)生都在適合自己的作業(yè)中取得成功,獲得輕松、愉悅、滿足的學(xué)習(xí)體驗(yàn)．

三、教后思考

1.運(yùn)用數(shù)據(jù)分析可以提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率與效果

在本節(jié)課例研究中,我選擇了一個(gè)班是傳統(tǒng)教學(xué),另一個(gè)班是實(shí)驗(yàn)教學(xué)．通過兩個(gè)班的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)班的課堂教學(xué)效果比常規(guī)班好一些．相比之下,實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生反饋數(shù)據(jù)由計(jì)算機(jī)同步自動(dòng)完成,獲得的是實(shí)時(shí)精確數(shù)據(jù),讓教師從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中解放出來,提高了教學(xué)效率．教師可以隨時(shí)處理“生成”數(shù)據(jù),精準(zhǔn)點(diǎn)評(píng),提高了教學(xué)診斷的實(shí)時(shí)性與精準(zhǔn)性．

【實(shí)驗(yàn)班與常規(guī)班統(tǒng)計(jì)對(duì)比表】：

【對(duì)比表1】

圖11

【對(duì)比表2】

圖12

【對(duì)比表3】

圖13

【對(duì)比表4】

圖14

圖15

【說明】前后測(cè)成績滿分均為70分,常規(guī)班的數(shù)據(jù)是由神算子網(wǎng)絡(luò)公司利用學(xué)生的做題試卷課后完成統(tǒng)計(jì)分析．從實(shí)驗(yàn)班與常規(guī)班前后測(cè)的成績對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)班的成績進(jìn)步較大,平均分由57.6分提高到了62.6分,常規(guī)班的成績由57.8分下降到53.8分．在前測(cè)中,實(shí)驗(yàn)班與常規(guī)班的及格人數(shù)相差1人,但在后測(cè)中,實(shí)驗(yàn)班合格人數(shù)進(jìn)步明顯,比常規(guī)班多了7人(見對(duì)比表1與表2);在前測(cè)中,實(shí)驗(yàn)班的第1至4小題的得分率都比常規(guī)班高,但實(shí)驗(yàn)班第5小題的正確率比常規(guī)班低17%(見對(duì)比表3);在后測(cè)中,實(shí)驗(yàn)班每小題的表現(xiàn)比常規(guī)班優(yōu)勢(shì)更明顯,優(yōu)勢(shì)基本在10%以上(見對(duì)比表4)．

2.基于數(shù)據(jù)分析下開展復(fù)習(xí)教學(xué)需要教師提高課堂調(diào)控能力

在本節(jié)課例研究中,我們發(fā)現(xiàn)教學(xué)的順利進(jìn)行離不開網(wǎng)絡(luò)的幫助,如前后測(cè)的正確率統(tǒng)計(jì),成績分布圖,滿分人數(shù)統(tǒng)計(jì),每個(gè)分?jǐn)?shù)段的統(tǒng)計(jì)等．如果網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)問題,會(huì)影響整節(jié)課的順利開展．在本節(jié)課上,我正準(zhǔn)備上課時(shí)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生了意外,連不上網(wǎng),耽誤了將近10分鐘,嚴(yán)重影響了我的上課情緒和打亂了我的上課節(jié)奏．通過這個(gè)例子說明,我們借助網(wǎng)絡(luò)來開展教學(xué),要做好充分的思想和技術(shù)準(zhǔn)備,師生要提前檢查好網(wǎng)絡(luò)設(shè)備,熟悉好網(wǎng)絡(luò)功能鍵,安排好學(xué)生探究活動(dòng)時(shí)間,突出教學(xué)重點(diǎn),以便有效達(dá)成教學(xué)目標(biāo)．

3.運(yùn)用數(shù)據(jù)分析進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)要注意“效”和“度”

基于數(shù)據(jù)分析開展復(fù)習(xí)課教學(xué)有助于教師精準(zhǔn)了解學(xué)情,為實(shí)施分層教學(xué)提供科學(xué)依據(jù),但一味追求數(shù)據(jù)分析的所謂“精準(zhǔn)”,有可能出現(xiàn)適得其反的效果．在本節(jié)課例中,筆者根據(jù)數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)出的結(jié)果,圍繞學(xué)生出錯(cuò)的題目進(jìn)行變式引申,講在學(xué)生的薄弱點(diǎn)和易錯(cuò)處,受到學(xué)生歡迎,但感覺被題目牽著鼻子走,有就題論題之嫌,總覺得沒有幫助學(xué)生揭示與領(lǐng)悟題目之間的聯(lián)系與蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法,只是一味告知學(xué)生,教學(xué)效果不是很滿意．本節(jié)課的前后測(cè)主要反映了近遷移的學(xué)習(xí)效果,但遠(yuǎn)遷移的學(xué)習(xí)效果還有待驗(yàn)證．如何借助數(shù)據(jù)分析來提高復(fù)習(xí)課的效果和廣度,仍需不斷探索．

附錄1：《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課前測(cè)內(nèi)容

1.⊙O的半徑為10 cm,點(diǎn)P到圓心的距離為8 cm,則點(diǎn)P在⊙O___.

(選擇字母填空,A：內(nèi),B：上,C：外)

2.在 △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.

(1)若以C為圓心,r=2為半徑作圓,則直線AB與⊙C的位置關(guān)系是___.

(2)若以C為圓心,r=2.4為半徑作圓,則直線AB與⊙C的位置關(guān)系是___.

(3)若以C為圓心,r=3為半徑作圓,則直線AB與⊙C的位置關(guān)系是___.

(選擇字母填空,A：相切,B：相離,C：相交)

3.如圖15,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,且AB=BC,則 ∠A=___.

4.如圖16,PA,PB是⊙O的切線,點(diǎn)A,B為切點(diǎn),AC是 ⊙O 的直徑,AC=6,∠CAB=30°,則 ∠P=___°,AP=___.

5.如圖17,∠APB=30°,點(diǎn)O是射線PB上一點(diǎn),OP=5cm,若以點(diǎn)O為圓心,半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動(dòng),當(dāng)⊙O與PA相切時(shí),圓心O移動(dòng)的距離是___.

圖16

圖17

圖18

圖19

附錄2：《與圓有關(guān)的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)課后測(cè)內(nèi)容

1.已知⊙O的半徑為5,直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=5,則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是___,直線l與⊙O的位置關(guān)系是___.

(選擇字母填空,A：在圓上,B：在圓內(nèi),C：在圓外,D：相切,E：相交,F：相切或相交)

2.已知等腰三角形ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,以A為圓心,13cm為半徑的圓與直線BC的位置關(guān)系是___.

(選擇字母填空,A：相離,B：相交,C：相切)

圖20

圖21

3.如圖18,CA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,點(diǎn)B在⊙O上,如果 ∠CAB=55°,則 ∠AOB=___°.

4.如圖19,PA,PB是⊙O的切線,點(diǎn)A,B為切點(diǎn),AC是⊙O的直徑,∠APB=50°,則∠PAB=___°,∠CAB=_____°.

5.如圖20,∠APB=30°,點(diǎn)O 在PB 上,⊙O的半徑為1cm,OP=6cm.若⊙O在線段BP上沿BP方向以每秒2cm的速度平移,當(dāng)圓心O平移____秒時(shí),⊙O與直線PA相切．

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[2]徐強(qiáng)．新課程理念下數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)范式和解讀[J]．中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2007(5)．

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廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題“基于不同課型的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略整合研究”(課題批準(zhǔn)號(hào)：2014YQJK018);廣州市越秀區(qū)科信局課題“基于自主學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效學(xué)習(xí)策略研究”(課題批準(zhǔn)號(hào)：2015-JY-009)