廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國東

做中玩 玩中學(xué)—以幾何畫板培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究能力為例

廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 蘇國東

一、問題提出

近年來,幾何畫板得到了越來越多一線教師的重視和青睞.目前國內(nèi)外對幾何畫板技術(shù)的研究相對較多且較為深入,許多優(yōu)秀教師積極參與幾何畫板的教學(xué)探究.但在網(wǎng)上搜索多篇關(guān)于幾何畫板的文章,以及對部分數(shù)學(xué)教師調(diào)查后發(fā)現(xiàn),大多數(shù)教師使用幾何畫板都是用于如何突破教學(xué)重難點,或較其他工具更高效呈現(xiàn)問題為主,即多注重教師的“教”,很少為幫助學(xué)生的“學(xué)”而設(shè)計.教師把幾何畫板作為課堂教學(xué)的演示工具,甚至在制作課件上花費了大量時間,但學(xué)生只能看到教師的制作成果,而不能親自參與其中動手研究,無法在此過程中自主發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題,無法很好地體現(xiàn)幾何畫板的應(yīng)用價值.

事實上,幾何畫板強大的交互性為學(xué)生的學(xué)習(xí)探究提供了可能.讓學(xué)生了解、學(xué)會運用幾何畫板,使幾何畫板成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)的軟件平臺是十分必要的.隨著計算機的普及,學(xué)生對電腦操作日益熟練,讓學(xué)生自己操作幾何畫板研究數(shù)學(xué)問題是可行的.把“學(xué)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”,再變?yōu)椤巴鏀?shù)學(xué)”,在做中玩,在玩中學(xué),這將進一步發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,也將極大培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力和創(chuàng)新意識.

二、幾何畫板對學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究能力的培養(yǎng)

(一)體現(xiàn)學(xué)習(xí)自主,轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

幾何畫板給學(xué)生創(chuàng)造一個進行數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)的平臺,學(xué)生可以隨意拖動圖形,觀察、探索、猜想并驗證,有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性,充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念.也因此,幾何畫板給學(xué)生的自主學(xué)習(xí),如預(yù)習(xí)、課后習(xí)題解答、問題的深入探討及拓展帶來了巨大的改變.在傳統(tǒng)教學(xué)中,學(xué)生較多是通過閱讀教材資料等方式預(yù)習(xí)新內(nèi)容,通過紙筆練習(xí)完成課后作業(yè).然而有了幾何畫板,學(xué)生就可以用它在預(yù)習(xí)時進行簡單的自主探索,再在課堂上定性的證明也就相對容易,課后習(xí)題的解答也可通過幾何畫板得以驗證,對堂上沒聽懂的問題更是可以把課件帶回家反復(fù)學(xué)習(xí)直至搞懂.

例如,在課前預(yù)習(xí)“等腰三角形三線合一”這一性質(zhì)時,學(xué)生可先作出一個普通三角形的一組高、中線和角平分線,然后用鼠標改變?nèi)切涡螤?使其逐漸變成等腰三角形,這時“三線”也逐漸合一,學(xué)生不僅知道了三線合一這一結(jié)論,還能了解這個合一的過程.這樣,學(xué)生通過幾何畫板預(yù)習(xí)讓自己在原有基礎(chǔ)上有所提高,為正式課堂的教與學(xué)做好準備.

圖1

(二)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,提高動手能力

興趣是最好的老師.幾何畫板有著強大的交互功能,集圖、文、色一體,表象鮮明,只要輕輕拖動就能產(chǎn)生圖形變化,探索想要的結(jié)果.大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與動手能力,實現(xiàn)從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

圖2

例如,在教授二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù) a、b、c對圖象的影響這一內(nèi)容時,在傳統(tǒng)的課堂中,動點不動、位置不變、度量不準,只能教師說、學(xué)生聽,難以理解和記憶.但引進了幾何畫板后,教師可以先制作好課件,設(shè)置好參數(shù)a、b、c,繪制好相應(yīng)的二次函數(shù)曲線y=ax2+bx+c,然后讓學(xué)生動手操作探究.學(xué)生操作鼠標分別拖動改變a、b、c的值,觀察出現(xiàn)的不同圖象即可獲得結(jié)論,迅速突破了教學(xué)重難點.這樣既培養(yǎng)和提高了學(xué)生的動手能力,讓學(xué)生主動獲得新知,更讓學(xué)生對二次函數(shù)圖象的豐富變化產(chǎn)生了濃厚的興趣.

(三)經(jīng)歷猜想驗證,點燃研究熱情

數(shù)學(xué)猜想是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)時的一種策略,是科學(xué)研究中常用的一種思想方法,它是一種推理,更是一種數(shù)學(xué)想象.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中適當?shù)匾脒@種思想方法,讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問題—假設(shè)猜想—檢驗證明—歸納總結(jié)”的知識形成過程,可以有效地增強學(xué)生主動探索和獲取數(shù)學(xué)知識的能力,促進學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

圖3

例如：在學(xué)習(xí)完點與圓、直線與圓的位置關(guān)系后,可向?qū)W生呈現(xiàn)例子：以長、寬分別為4、3的矩形ABCD的頂點A為圓心作圓,此時我們可以提出什么問題?學(xué)生認為可以研究：當圓的半徑如何變化時,點B、C、D、邊BC、CD所在的直線與圓各會產(chǎn)生哪些位置關(guān)系.學(xué)生紛紛利用幾何畫板做出給定矩形,再用畫圓工具以A為圓心拖出一個圓,拖動圓周上的控制點即可觀察圖形的動態(tài)變化以及圖形間的關(guān)系.由于軟件作圖非常精確,學(xué)生通過圖形迅速寫出了各種情況的位置關(guān)系及對應(yīng)半徑的范圍.如何嚴格證明猜想正確?只要計算圓心到點、圓心到直線的距離即可,而這些距離都可以用幾何畫板做出、用“度量”功能得出,數(shù)值還能跟隨鼠標拖動實時變化.在這過程中,學(xué)生不但習(xí)得了猜想驗證的數(shù)學(xué)思想方法,而且掌握的結(jié)論有普遍性,通性通法易于推廣.學(xué)生今后再遇到這類動態(tài)問題時,都能回憶起用幾何畫板親歷猜想驗證的過程,做到知識上的遷移,數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有了明顯提升.

(四)訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想不僅會對數(shù)學(xué)思維活動、數(shù)學(xué)審美活動起著指導(dǎo)作用,而且會對個體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響,形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移,實現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍.幾何畫板本身蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想,教師在利用幾何畫板教學(xué)和教會學(xué)生用幾何畫板制作課件的實踐中要滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法去解決、思考實際問題,從而鍛煉學(xué)生創(chuàng)新思維,達到創(chuàng)新教育的目的.

圖4

例如筆者讓學(xué)生探究這個問題：長方形ABCD中,AB=4,四邊形AFCE是邊長為5的菱形．P、Q分別從A、C出發(fā)沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即P自A→F→B→A停止,Q自C→D→E→C停止.點P、Q的運動路程分別為a、b,且A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.題目沒有給出速度與時間,P、Q的路程沒有直接聯(lián)系,難以切入.如果采用黑板教學(xué),可想而知難度有多大.但若使用幾何畫板,就能把難題展現(xiàn)的如此清晰簡潔.在幾何畫板中啟用“跟蹤點的軌跡”功能,當拖動這兩點時,它們經(jīng)過的路程會用紅色表示.這時讓學(xué)生上臺操作講解,學(xué)生發(fā)現(xiàn)拖動Q到CD上,P到AB上時,只要AP=CQ,四個紅點A、C、P、Q就能構(gòu)成平行四邊形(如圖4).把CQ補到AP處即有a+b=3+4+5=12,即△ABF的周長.這個過程的核心是什么,是學(xué)生尋找到了形成平行四邊形的特殊時刻,拖動的過多或過少都不行,這就滲透了動態(tài)問題中“化動為靜”的思想方法.問題解決完畢了嗎?學(xué)生認為既然P、Q落在這一組平行邊上可以成立,那應(yīng)該還可以落在兩三角形另兩組平行邊上,到底行不行?只要動動鼠標嘗試即可,馬上讓另兩名學(xué)生上臺操作拖動P、Q推出了其他兩邊的情況(如圖5、6).因為三角形有三邊,又有了第一種情況做基礎(chǔ),所以“分類討論”和“類比思想”順理成章的通過幾何畫板體現(xiàn)了出來,滲透到了學(xué)生的解題思路中.

圖5

圖6

(五)實現(xiàn)探究試驗,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

俗話說“眼過千遍不如手做一遍”,近年來“數(shù)學(xué)實驗”被越來越多的提及,它改變了以往教師講數(shù)學(xué)、學(xué)生聽數(shù)學(xué)的模式,讓學(xué)生親自動手做數(shù)學(xué)實驗,反復(fù)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)新知.幾何畫板為數(shù)學(xué)實驗提供了必要的工具和手段,利用它可以開展數(shù)學(xué)觀察實驗、驗證性實驗和探索性實驗.幾何畫板不僅讓學(xué)生認識到計算機等信息技術(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展不可或缺的工具,也給他們提供了一個發(fā)展奇思妙想的虛擬實驗室,使他們從被動學(xué)習(xí)到主動學(xué)習(xí),再到創(chuàng)造性學(xué)習(xí),從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”再到“玩數(shù)學(xué)”,激發(fā)他們的研究熱情.

廣州市每年都會舉辦“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)——廣州市初中生數(shù)學(xué)創(chuàng)新作品評比”活動,鼓勵學(xué)生多做數(shù)學(xué)實驗,多研究數(shù)學(xué)課題,加強數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.參賽的部分作品借助了幾何畫板作為載體,學(xué)生在展示過程中都能熟練操作幾何畫板作為他們探究實驗的平臺.比如2014年筆者指導(dǎo)的學(xué)生作品《照明設(shè)備的三種選擇經(jīng)濟性對比研究》就用到了幾何畫板演示不同情況下函數(shù)的變化對比,2015年更是大量涌現(xiàn)了如《幾何畫板在圖案設(shè)計中的應(yīng)用》、《恒定直徑圖形中曲邊五邊形的探究與應(yīng)用》等優(yōu)秀作品,足以證明幾何畫板的實驗創(chuàng)新價值.

三、“做中玩玩中學(xué)”的實踐與探索

筆者在初二開設(shè)了名為《玩轉(zhuǎn)幾何畫板解決數(shù)學(xué)難題》的校本課程,旨在探索幾何畫板對學(xué)生探究并解決數(shù)學(xué)難題及思維培養(yǎng)的巨大功能,課程分為四幾個階段：

第一階段教師確定選題的幾種類型,制作幾何畫板課件進行高效教學(xué),并請學(xué)生上臺自主操作軟件進行講題展示,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與興趣.學(xué)生對幾何畫板高度認可,認為課堂上很有必要借助幾何畫板進行教學(xué).

第二階段開始借用計算機房對學(xué)生進行上機培訓(xùn),教會學(xué)生幾何畫板軟件的使用方法,學(xué)生人手一臺計算機自主操作.學(xué)生對電腦操作都相當熟練,學(xué)習(xí)新軟件不但沒有困難,而且興趣濃厚,求知欲旺盛.后階段再以小組為單位精選題目,制作出幾何畫板課件.學(xué)生利用幾何畫板自主發(fā)現(xiàn)問題,自主學(xué)習(xí)探究,自主收獲成功.

第三階段以學(xué)生授課的新形式展示學(xué)習(xí)效果,利用制作的課件進行授課.學(xué)生操作幾何畫板配合電子白板講解.臺下學(xué)生通過自己的計算機隨時同步操作,體會解題思路,也可舉手提問或上臺操作,講解他個人的思路.幾何畫板真正成為了學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)和交流的平臺,成為了數(shù)學(xué)創(chuàng)新研究的虛擬實驗室.

第四階段回歸實際,在平常的紙筆練習(xí)中,學(xué)生在頭腦中形成幾何畫板的動態(tài)過程,突破難點,提升數(shù)學(xué)思維能力.從筆試檢測和各類壓軸題答題情況和成績分析得知,參加校本課程的學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、動態(tài)問題、解題熱情和信心等方面都優(yōu)于其他學(xué)生,數(shù)學(xué)技能掌握水平、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和技能解決問題的能力有了極大提高.

四、應(yīng)注意的問題

首先,教師要注意精心篩選、組織適合用幾何畫板教學(xué)或?qū)W生自主探究的數(shù)學(xué)內(nèi)容,不能一概而論,對數(shù)學(xué)內(nèi)容的目的、作用、對學(xué)生能力的培養(yǎng)點要有預(yù)見性.還要處理好常規(guī)教學(xué)和幾何畫板教學(xué)的關(guān)系,特別是教學(xué)任務(wù)與實驗操作所花的時間的關(guān)系,避免出現(xiàn)失衡.其次,目前的部分中學(xué)生主動探究意識不強,沒有認真鉆研問題的習(xí)慣,質(zhì)疑與創(chuàng)新能力、理論聯(lián)系實際能力較弱,對培養(yǎng)效果有一定影響,需要教師對學(xué)情有正確分析以及精心的設(shè)計引導(dǎo),有針對性的、有梯度的布置探究任務(wù).第三,教師的信息技術(shù)能力有限,一定程度上會制約教學(xué)任務(wù)的全面開展,所以教師要利用課余時間認真學(xué)習(xí)幾何畫板的操作.第三,學(xué)校教學(xué)設(shè)備資源有限,在普通教室授課難以做到人手一臺計算機,只能讓學(xué)生上臺操作講臺電腦來實現(xiàn).如果要讓學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)或問題實驗探究只能借用計算機房,一般可以先安排好每周課時任務(wù),一周借用一到兩次機房進行教學(xué)探究,或者學(xué)生利用放學(xué)后在家時間進行.

用好幾何畫板,發(fā)揮學(xué)生的主體作用,把“學(xué)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”,再變?yōu)椤巴鏀?shù)學(xué)”,對培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)、鉆研探究的精神品質(zhì)有著積極的促進作用.

[1]李啟柱,數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的實質(zhì)及其主要特征[J],數(shù)學(xué)通訊,2001,(5).

[2]胡晉賓,基于《幾何畫板》的計算機輔助數(shù)學(xué)教學(xué)[D],南京：南京師范大學(xué)課程與教學(xué)論(數(shù)學(xué)),2002.

[3]劉丹,幾何畫板在高中數(shù)學(xué)新課改中對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)研究[D],云南：云南師范大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心,2009.