杜闖 賈大功 張紅霞 劉鐵根 張以謨

(天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院,光電信息科學(xué)與技術(shù)教育部重點實驗室,天津 300072)

環(huán)形光束錐形衍射出射光場偏振特性及光場調(diào)控?

杜闖 賈大功?張紅霞 劉鐵根 張以謨

(天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院,光電信息科學(xué)與技術(shù)教育部重點實驗室,天津 300072)

(2017年1月8日收到;2017年3月24日收到修改稿)

環(huán)形光束的錐形衍射效應(yīng)對于微粒的操控具有重要的應(yīng)用價值.本文建立了環(huán)狀高斯光束的錐形衍射模型,并基于Berry理論給出了線偏振態(tài)下環(huán)形光束錐形衍射出射光場的計算公式.理論仿真了環(huán)狀光錐形衍射出射光場的偏振特性,得出環(huán)光錐形衍射出射光場的內(nèi)、外亮環(huán)具有相互正交的偏振分布特性.搭建了線偏振態(tài)下環(huán)狀高斯光錐形衍射的實驗系統(tǒng),實驗驗證了出射光場的偏振特性.針對環(huán)形光束錐形衍射出射光場具備的偏振特性,設(shè)計了一種組合偏振片,理論和實驗研究了該組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控.結(jié)果表明,隨著組合偏振片方位角的變化,錐形衍射出射光場的內(nèi)、外環(huán)強度發(fā)生周期性的變化.

雙軸晶體,錐形衍射,環(huán)狀高斯光束,組合偏振片

1 引 言

雙軸晶體的錐形折射效應(yīng)是指當一束光沿著雙軸晶體的一個光軸方向入射時會發(fā)生特殊的折射現(xiàn)象,光束的傳播軌跡呈圓錐形[1?4].Hamilton于1832年預(yù)言了雙軸晶體錐形折射現(xiàn)象,早期相關(guān)理論解釋都是以Fresnel波面為基礎(chǔ)進行展開,但是這些理論只能給出了定性的描述,甚至有些只是理論假設(shè)[5?7].Portigal和Burstein[8]于1969年最早嘗試定量描述錐形折射現(xiàn)象,分析了雙軸晶體光軸附近的光線傳播理論.隨后Berry[9]利用傍軸光學(xué)近似思想,完善并簡化了錐形折射的衍射理論,給出了錐形折射光的解析公式,故又稱錐形折射為錐形衍射.上述錐形衍射理論的發(fā)展為研究環(huán)形光束的錐形衍射現(xiàn)象奠定了理論基礎(chǔ).

隨著激光技術(shù)的發(fā)展,雙軸晶體錐形衍射憑借其獨特的光場調(diào)控能力再度引起了人們的關(guān)注,如利用錐形衍射產(chǎn)生平頂型超高斯光束[10]、實現(xiàn)渦旋光束的產(chǎn)生與消除[11]等.研究過程中發(fā)現(xiàn)由于入射光束形態(tài)不同,其錐形衍射調(diào)控結(jié)果不同,因此不同形態(tài)入射光的錐形衍射出射光場的研究成為該領(lǐng)域的重要研究方向之一,如白光的錐形衍射研究[12]、徑向偏振光和角向偏振光的錐形衍射研究[13]、拉蓋爾-高斯光束的錐形衍射研究[14]、扇形光的錐形衍射研究[15]等.環(huán)形光束作為光鑷技術(shù)的重要調(diào)控光場[16,17],對微粒操控具有重要意義,因此本文對環(huán)形光的錐形衍射效應(yīng)進行研究,以期得到最佳的微粒操控光場.偏振態(tài)作為光場的基本特性之一,對光場的調(diào)控有著直接的影響[18],而且錐形衍射光場的獨特偏振特性也具有重要的應(yīng)用價值,如O’Dwyer等[19]提出了利用偏振光錐形衍射出射光場的缺陷環(huán)進行微球粒子和白血球細胞的捕捉和定位;Peinad等[20]基于錐形衍射出射光場的偏振特性設(shè)計了一種新型的偏振計裝置,能夠高效判別光束的偏振態(tài);Turpin等[21]利用錐形衍射出射光場的偏振特性實現(xiàn)了空間光通信中的偏振復(fù)用與解復(fù)用.因此,本文給出了環(huán)狀高斯光束的錐形衍射理論模型和偏振光入射時的光場強度公式,分析了環(huán)狀光錐形衍射出射光場的偏振特性,并設(shè)計一種特殊的組合偏振片實現(xiàn)了對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控.

2 環(huán)狀光束的錐形衍射效應(yīng)及其偏振特性

2.1 環(huán)光錐形衍射理論

基于Tovar[22]提出的平頂多高斯光束模型,我們給出了一種環(huán)狀高斯光束的模型.在柱坐標系中,光束束腰z=0時的環(huán)狀高斯光光場可以表示為

式中,w為高斯光束的腰斑半徑,n(n=0,1,2,···)表示環(huán)狀高斯光束的階次.為了方便討論,這里暫時忽略(1)式中的振幅常數(shù)因子.當n=0時,(1)式為基模高斯光表達式;當n>0時,(1)式則為環(huán)狀高斯光束計算公式.本文就是以環(huán)形高斯光束作為入射光研究環(huán)光錐形衍射出射光場的偏振特性.

對電場矢量為D0的入射光,沿光軸入射到晶體后,晶體后端面出射光場為

式中:J0為零階貝塞爾函數(shù),a(κ)是入射光的傅里葉變換,各參量具有下式關(guān)系:

其中,d0表示入射光的偏振態(tài),l為晶體的長度,w是入射光束的束腰半徑,r和z為柱面極坐標,z軸的起點是入射光的束腰位置;ρ和ζ為對應(yīng)于r和z的兩個無量綱參數(shù),分別代表錐形衍射出射光的徑向和軸向傳播位置,ζ軸起點為入射光束腰經(jīng)過長l的晶體所成等效像的位置(也稱該位置為焦像面),焦像面處的錐形衍射出射光場是最清晰的;ρ0參量表示晶體出射面處的錐形衍射光場半徑與入射光腰斑半徑的比值,ρ0的大小決定著錐形衍射出射光場的細銳程度;A是直角錐的半頂角,假設(shè)晶體的主軸折射率分別為nx,ny,nz,并且nx

由(1)式可知,環(huán)狀高斯光的傅里葉變換為

將(5)式代入到(2)式可得環(huán)狀高斯光的錐形衍射光場為

其中,I0,Ik,B0,B1分別為如下形式:

通過(7)式可以知道,錐形衍射出射光場由B0和B1兩個分量構(gòu)成,其中B0分量是包含零階貝塞爾函數(shù)的積分式,B1分量是包含一階貝塞爾函數(shù)的積分式.

2.2 環(huán)光錐形衍射光場的偏振特性

由于錐形衍射出射光場的偏振分布主要由入射光的形態(tài)決定,但是出射光場的光強會受到入射光偏振態(tài)的影響[24].按照上述思想,非偏振光束的錐形衍射出射光場經(jīng)過α角的線偏振片后的光強分布,與偏振方向α角的線偏振光的錐形衍射出射光場特性是一樣的.因此,為了分析環(huán)形光束錐形衍射出射光場的偏振特性,我們以具有線偏振臺的環(huán)形光作為入射光束.當入射光為α角的線偏振光時,(6)式中的偏振矩陣可以表示為:則線偏振的環(huán)形光束錐形衍射出射光強為

圖1 (網(wǎng)刊彩色)線偏振的環(huán)狀高斯光錐形衍射出射光場(ρ0=40) (a)α=0?;(b)α=22.5?;(c)α=45?;(d)α =67.5?;(e)α =90?;(f)α =122.5?;(g)α =135?;(h)α =157.5?;(i)偏振分布示意圖Fig.1.(color online)The conical di ff raction patterns with linearly polarized annular Gaussian beam(ρ0=40):(a) α =0?;(b) α =22.5?;(c) α =45?;(d) α =67.5?;(e) α =90?;(f) α =122.5?;(g)α =135?;(h)α =157.5?;(i)the diagram of polarization state.

根據(jù)(8)式可以理論計算不同偏振方向的線偏振環(huán)狀高斯光的錐形衍射出射光在焦相面上的光場分布,其結(jié)果如圖1所示.圖1(a)—(h)分別表示偏振方向為0?,22.5?,45?,67.5?,90?,122.5?,135?和157.5?的線偏振環(huán)狀高斯光束的錐形衍射出射光場分布,計算時使用的環(huán)狀高斯光束階次為20(n=20),ρ0=40.由圖1(a)可知,當入射線偏光偏振方向為0?時,錐形衍射光場中外環(huán)在90?的方位角處光強為零,而內(nèi)環(huán)卻在270?的方位角處光強為零,因此可以得出,內(nèi)環(huán)270?方位角和外環(huán)90?方位角處的偏振態(tài)均與入射線偏振光正交,為豎直偏振;由圖1(e)可知,當入射線偏光偏振方向為90?時,錐形衍射出射光場的外環(huán)在270?的方位角處光強為零,而內(nèi)環(huán)卻在90?的方位角處光強為零,因此可以得出內(nèi)環(huán)90?方位角和外環(huán)270?方位角處的偏振態(tài)均與入射線偏振光正交,為水平偏振.同理,由圖1(b)和(f)、圖1(c)和(g)、圖1(d)和(h)分別可以得出錐形衍射光內(nèi)、外環(huán)在135?和315?,0?和180?,45?和225?方位角處的偏振態(tài).

綜合上述計算結(jié)果可知,環(huán)狀光束錐形衍射出射光場內(nèi)、外環(huán)具有相互正交的偏振分布,如圖1(i)所示,其中藍色箭頭和紅色箭頭分別表示錐形衍射出射光場內(nèi)環(huán)和外環(huán)上各點處的偏振方向.圖2為高斯光束的錐形衍射出射光場偏振分布[10],紅色箭頭表示環(huán)上各點處的偏振方向.由圖1(i)和圖2可知,環(huán)形光和高斯光的錐形衍射出射光場在焦像面上的光強圖均為雙亮環(huán)結(jié)構(gòu).不同的是,環(huán)形光錐形衍射出射光場內(nèi)外環(huán)偏振態(tài)相互正交,而高斯光錐形衍射出射光場內(nèi)外環(huán)偏振態(tài)相同.造成上述出射光場內(nèi)外環(huán)偏振態(tài)分布不同的原因是由入射光的形態(tài)不同.環(huán)形光錐形衍射出射光場的這一特殊偏振特性對雙亮環(huán)的分離及其光場調(diào)控具有重要意義.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)高斯光錐形衍射出射光場在焦相面處偏振分布示意圖Fig.2.(color online)The diagram of polarization characteristic of the conical di ff raction pattern under Gaussian beam.

2.3 實驗與討論

為了驗證上面的理論計算結(jié)果的正確性,我們搭建了相應(yīng)的實驗系統(tǒng).圖3為線偏振環(huán)狀高斯光束的錐形衍射實驗系統(tǒng)原理圖.實驗系統(tǒng)由氦氖激光器、可調(diào)衰減片、擴束透鏡L1、擴束透鏡L2、環(huán)形光闌、起偏器、會聚透鏡L3,KTP晶體和電荷耦合器件(CCD)組成,其中,透鏡L1,L2和L3分別是焦距為10,150,100 mm的平凸透鏡.

實驗中使用如圖4(a)所示的內(nèi)、外半徑分別為r1=9 mm,r2=10 mm的環(huán)形光闌;利用起偏器調(diào)節(jié)入射到晶體的線偏光偏振方向;實驗用的雙軸晶體是尺寸為5 mm×5 mm×10 mm的長方體狀KTP晶體,在切割晶體時,令晶體的一個光軸沿著長方體的一個棱的方向,如圖4(b)所示,C1和C2表示晶體的兩個光軸,其中C1是平行于Ez軸的,圖中贗矢量G代表晶體的方向,G由C1,C2光軸方向決定并垂直于兩光軸所在的平面;實驗時光束沿著Ez軸垂直晶體前表面入射.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)環(huán)狀高斯光束的錐形衍射系統(tǒng)原理圖Fig.3.(color online)Schematic diagram of conical di ff raction under annular Gaussian beam.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)環(huán)形光闌和(b)KTP晶體的切割方向Fig.4.(color online)(a)Annular aperture and(b)the cutting direction of KTP crystal.

圖5 線偏振環(huán)狀光錐形衍射光場實驗圖 (a)α=22.5?;(b)α =67.5?;(c)α =112.5?;(d)α =157.5?Fig.5.The experimental results of conical di ff raction patterns with linearly polarized annular Gaussian beam:(a)α =22.5?;(b)α =67.5?;(c)α =112.5?;(d)α =157.5?.

圖5(a)—(d)分 別 表 示 偏 振 方 向 為22.5?,67.5?,112.5?和157.5?的線偏振環(huán)狀光束錐形衍射出射光場光強分布的實驗結(jié)果.由圖5(a)可知,當入射線偏光偏振方向為22.5?時,錐形衍射出射光場的光外環(huán)在135?的方位角處光強為零,而內(nèi)環(huán)在315?方位角處光強為零,即內(nèi)環(huán)在315?方位角和外環(huán)在135?方位角處的偏振方向均為112.5?;由圖5(c)可得,當入射線偏光偏振方向為112.5?時,錐形衍射出射光場的外環(huán)在315?的方位角處光強為零,而內(nèi)環(huán)在135?方位角處光強為零,即內(nèi)環(huán)在135?方位角和外環(huán)在315?方位角處的偏振方向均為22.5?;因此可以得出,環(huán)形光束錐形衍射出射光場內(nèi)、外環(huán)在相同方位角處的偏振態(tài)相互正交.同理,圖5(b)和圖5(d)也表明偏振方向為67.5?和157.5?線偏振環(huán)狀光束的錐形衍射光場也具有相同規(guī)律.與圖1中計算結(jié)果相比,理論和實驗結(jié)果完全一致,圖5中四幅實驗圖分別與圖1(b),(d),(f)和(h)所示的理論仿真圖一一對應(yīng),環(huán)上消光位置具有很好的一致性.因此可以證明,環(huán)形光束的錐形衍射出射光場內(nèi)、外環(huán)在相同的方位角處具有相互正交的偏振態(tài).

3 組合偏振片對環(huán)光錐形衍射光場的調(diào)控

針對環(huán)狀高斯光錐形衍射光內(nèi)、外環(huán)具有完全正交的偏振分布特性,我們設(shè)計了一種具有特定偏振控制功能的組合偏振片,用于模擬環(huán)形光束錐形衍射出射光場的偏振分布,如圖6所示.該組合偏振片由8塊透振方向均不相同的扇形線偏振片組合而成,圖6中藍色箭頭表示每塊線偏振片的透振方向.此外我們還研究了組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)組合偏振片示意圖Fig.6.(color online)The Schematic diagram of the combined polarizer.

為了分析組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控,我們先計算了錐形衍射光偏振分布的瓊斯矩陣,并以此近似表示組合偏振片的偏振矩陣.根據(jù)錐形衍射光場偏振分布特性,建立如圖7所示的坐標系.圖7中角度?表示環(huán)上任意一點的方位角,α表示環(huán)上?方位角處的偏振方向,則有:α=?/2.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)錐形衍射光偏振分布的瓊斯矩陣模型Fig.7.(color online)The Jones matrix model of the conical di ff racted beam.

由(8)式可知,經(jīng)旋轉(zhuǎn)角為δ的組合偏振片調(diào)制后的環(huán)形光束的錐形衍射出射光場強度為

經(jīng)組合偏振片調(diào)制后的環(huán)形光錐形衍射出射光場的強度分布如圖8所示.其中,左列為理論仿真結(jié)果,右列是與之對應(yīng)的實驗結(jié)果.圖8(a)—(f)分別表示組合偏振片旋轉(zhuǎn)角δ為0?,30?,150?,180?,210?和300?時環(huán)光錐形衍射出射光場分布.由圖8(a)和圖8(g)可以看出,當δ=0?時,錐形衍射出射光場的內(nèi)環(huán)消失了,只剩下外環(huán).這是因為組合偏振片的偏振分布與錐形衍射出射光場的外環(huán)偏振分布完全相同,而與內(nèi)環(huán)偏振分布完全正交,因此內(nèi)環(huán)被徹底消除.隨著δ的不斷增加,錐形衍射出射光場的外環(huán)強度逐漸減弱,而內(nèi)環(huán)強度逐漸增強;當δ=180?時,組合偏振片與圓錐衍射外環(huán)完全正交,而與圓錐衍射內(nèi)環(huán)相同,因此外環(huán)消失,如圖8(d)和圖8(j)所示;同理,隨著δ繼續(xù)增大,圓錐衍射外環(huán)開始逐漸增強,而圓錐衍射內(nèi)環(huán)又逐漸變暗.組合偏振片旋轉(zhuǎn)一周,交替出現(xiàn)內(nèi)環(huán)或外環(huán)的消失現(xiàn)象,實現(xiàn)了對出射光場的調(diào)控.

圖8 組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控(a)—(f)理論圖;(g)—(l)實驗圖;(a),(g) δ=0?;(b),(h)δ =30?;(c),(i)δ=150?;(d),(j)δ =180?;(e),(k)δ=210?;(f),(l)δ=300?Fig.8.The control results of conical di ff racted fi eld using the combined polarizer:(a)–(f)The theoretical results;(g)–(l)the experimental results;(a),(g)δ =0?;(b),(h) δ =30?;(c),(i) δ=150?;(d),(j)δ =180?;(e),(k)δ=210?;(f),(l)δ =300?.

實驗中由于組合偏振片由多片偏振片拼接而成,受限于加工工藝不完善,相鄰偏振片間存在縫隙,因此出現(xiàn)圖8右列所示亮環(huán)不連續(xù)的現(xiàn)象.盡管存在亮環(huán)不連續(xù)問題,但是實驗中錐形衍射出射光場中雙環(huán)的強度變化趨勢與理論仿真結(jié)果完全一致,證實了組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控作用.組合偏振片對環(huán)光錐形衍射出射光場的特殊調(diào)控特性使得易于獲得單個錐形衍射內(nèi)環(huán)或外環(huán),這種調(diào)控機制在光波的偏振復(fù)用與解復(fù)用方面具有重要的應(yīng)用價值;此外,該光場調(diào)控機制在生物醫(yī)學(xué)中的粒子操控以及光通信中的光開關(guān)等方面具有比較好的應(yīng)用前景.

4 結(jié) 論

本文給出了環(huán)狀高斯光束錐形衍射出射光場的光強公式,并從理論和實驗兩方面分析了環(huán)光錐形衍射出射光場的偏振特性.結(jié)果表明,環(huán)形光的錐形衍射出射光場為同心雙環(huán)結(jié)構(gòu),并且內(nèi)、外亮環(huán)具有正交的偏振分布.為實現(xiàn)對環(huán)光錐形衍射出射光場的調(diào)控,設(shè)計了一種由8塊不同透振方向的扇形偏振片組成的組合偏振片,通過改變組合偏振片的旋轉(zhuǎn)角,可以實現(xiàn)環(huán)光錐形衍射出射光場的周期性變化.并且當組合偏振片的旋轉(zhuǎn)角δ分別為0?和180?時,可以分別消去錐形衍射光場的內(nèi)環(huán)和外環(huán),得到只有一個亮環(huán)的錐形衍射出射光場.通過組合偏振片的調(diào)控,得到一組內(nèi)外環(huán)強度比可調(diào)的環(huán)形光場,該可調(diào)光場在光束整形、光鑷、光開光、光波分復(fù)用等方面有較好的應(yīng)用價值,推動了錐形衍射理論及應(yīng)用的發(fā)展.

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PACS:42.25.–p,42.25.Fx,42.25.Lc,42.25.JaDOI:10.7498/aps.66.124202

Polarization characteristic and control of the conical di ff racted output fi eld under annular beam?

Du Chuang Jia Da-Gong?Zhang Hong-Xia Liu Tie-Gen Zhang Yi-Mo

(Key Laboratory of Opto-electronics Information Technology,Ministry of Education,School of Precision Instrument and Opto-Electronics Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

8 January 2017;revised manuscript

24 March 2017)

Conical di ff raction,a unique optical phenomenon in biaxial crystal,has important applications for the manipulation of particles.In this paper,a new model of annular Gaussian beam is constructed based on the Tovar’s fl at-topped multi-Gaussian laser beams.The conical di ff raction of annular Gaussian beam is calculated using Belsky-Khapalyuk-Berry theory.The polarization characteristics of conical di ff racted output beams under the annular Gaussian beam are theoretically calculated and experimentally demonstrated by means of the linearly polarized annular Gaussian beams with di ff erent polarization directions.It is found that the same azimuth angles of the inner and outer rings of the conical di ff racted output beams have orthogonal polarization characteristics.A combined polarizer(CP)composed of eight polarizing segments with di ff erent speci fi c pass axes of polarization is presented to simulate the polarization characteristic of the optical fi eld of conical di ff raction.Furthermore the calculations for output- fi eld control of conical di ff raction under the annular beam by using the proposed CP are compared with the experimental results.The results show that the intensities of both the inner and outer rings are periodically varied with CP azimuth angle.And when the azimuth angle of CP is 0?,only the conical di ff racted outer ring is remained,while only the inner ring of conical di ff raction is remained for 180?.This tunable conical di ff racted fi eld has important applications in optical tweezers and wavelength division multiplexing.

biaxial crystal,conical di ff raction,annular Gaussian beam,combined polarizer

10.7498/aps.66.124202

?國家自然科學(xué)基金(批準號:61377077)和國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(批準號:2014CB340103)資助的課題.

?通信作者.E-mail:dagongjia@tju.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61377077)and the National Basic Research Program of China(Grant No.2014CB340103).

?Corresponding author.E-mail:dagongjia@tju.edu.cn