許水清，柴 毅，馮 莉

(重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400044)

線性正則變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用

許水清，柴 毅，馮 莉

(重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400044)

線性正則變換作為Fourier變換和分?jǐn)?shù)階Fourier變換的廣義形式，具有更強(qiáng)的靈活性，在非平穩(wěn)信號(hào)處理中具有獨(dú)特的優(yōu)勢，已經(jīng)在信號(hào)處理領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注。首先闡述了線性正則變換的基本定義與性質(zhì)，然后著重介紹了在信號(hào)處理中的應(yīng)用，最后對(duì)當(dāng)前線性正則變換在故障診斷中的應(yīng)用進(jìn)行了探討。

線性正則變換；信號(hào)處理；故障診斷

線性正則變換(linear canonical transform, LCT)，又被稱作為ABCD變換[1]、廣義Fresnel變換[2]、擴(kuò)展分?jǐn)?shù)階Fourier變換[3]等。相對(duì)Fourier變換和分?jǐn)?shù)階Fourier變換，LCT具有3個(gè)自由參數(shù)，使得傳統(tǒng)Fourier變換域和分?jǐn)?shù)階Fourier變換域的非帶限信號(hào)可能為某個(gè)參數(shù)下LCT域的帶限信號(hào)。并且使LCT可以看作時(shí)頻平面上的仿射變換關(guān)系，這種關(guān)系與分?jǐn)?shù)階Fourier變換在時(shí)頻面上的旋轉(zhuǎn)關(guān)系相比，不僅包括旋轉(zhuǎn)關(guān)系，還包括壓縮和拉伸等關(guān)系，同時(shí)在時(shí)頻平面上的總支撐域保持不變[1]。因此LCT具有更多的靈活性，在信號(hào)處理領(lǐng)域具有強(qiáng)大的潛力。

早在20世紀(jì)70年代，LCT由Monshinsky和Collins[1-2]分別提出，與分?jǐn)?shù)階Fourier變換一樣，LCT最初也是被應(yīng)用到微分方程求解和光學(xué)系統(tǒng)中[3]。 隨著分?jǐn)?shù)階Fourier變換在信號(hào)處理領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，LCT在信號(hào)處理中的應(yīng)用也逐漸引起國內(nèi)外學(xué)者的重視，并在國內(nèi)外頂級(jí)期刊《IEEE Transactions on Signal Processing》和《電子學(xué)報(bào)》等發(fā)表了一系列高水平論文。其中具有代表性的有：Barshan等[4]在1997年首次討論了LCT域的最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)問題；其后，Pei等[5]從2002年起先后探討了LCT的特征值、特征函數(shù)、二維LCT以及在時(shí)頻分析上的應(yīng)用；Hennelly，Healy和Ozaktas等[6-8]從2005年起關(guān)注了離散LCT及其快速計(jì)算問題，提出了LCT的快速算法；而Stern[9-10]則在2006年首次研究了LCT域信號(hào)的采樣問題。

在國內(nèi)，雖然對(duì)LCT的研究相對(duì)較晚，但許多專家學(xué)者從不同角度對(duì)LCT進(jìn)行了深入的研究，成果各具特色。北京理工大學(xué)的陶然和李炳照等[11-12]在2006年首次在國內(nèi)期刊上介紹了LCT，并對(duì)LCT的卷積定理、框架理論和采樣理論等進(jìn)行了深入的研究；西安電子科技大學(xué)的魏德運(yùn)等[13-15]則關(guān)注LCT域的多通道采樣理論以及在圖像超分辨率上的應(yīng)用；哈爾濱工業(yè)大學(xué)的史軍等[16-18]關(guān)注LCT域不確定性原理和不受帶寬限制的采樣定理等；電子科技大學(xué)的向強(qiáng)等[19-20]主要研究LCT與模糊函數(shù)、Winger分布等時(shí)頻分布之間的關(guān)系；四川大學(xué)的張志超等[21-22]主要研究基于LCT域的新的時(shí)頻分布，如LCT域模糊函數(shù)、Gabor變換等。此外，徐冠雷[23]、趙輝[24-25]、柴毅[26-30]等知名學(xué)者也在各自的研究成果中體現(xiàn)對(duì)LCT的重視和探索。

國內(nèi)外專家學(xué)者的研究成果極大地推動(dòng)了LCT理論體系的發(fā)展與完善，展現(xiàn)了LCT在信號(hào)處理領(lǐng)域強(qiáng)大的作用與潛力。在此基礎(chǔ)上，以LCT在信號(hào)處理領(lǐng)域的應(yīng)用為主線，闡述LCT的基本性質(zhì)、LCT域算子與變換、離散LCT及其快速算法等一系列最新理論成果，描述了LCT在信號(hào)處理中的國內(nèi)外最新研究進(jìn)展，探討LCT目前存在的問題，展望未來的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

1 線性正則變換

1.1 線性正則變換的定義

(1)

(2)

1.2 線性正則域算子與變換

LCT作為一個(gè)統(tǒng)一的時(shí)頻分析工具，其在時(shí)頻平面上的仿射變換具有強(qiáng)大的靈活性。因此許多專家學(xué)者定義了一些有用的LCT域算子與變換, 為LCT域信號(hào)的分析與處理提供了有力支撐。

LCT域算子是指在LCT體系下的信號(hào)分析運(yùn)算算子，如LCT域卷積與相關(guān)等。卷積和相關(guān)是兩個(gè)重要的基礎(chǔ)概念，已經(jīng)在傳統(tǒng)Fourier域信號(hào)處理系統(tǒng)、圖像處理以及模式識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用與研究。作為傳統(tǒng)Fourier變換的進(jìn)一步推廣，文獻(xiàn)[31]根據(jù)LCT與Fourier變換的關(guān)系提出了LCT域卷積定理。除了這種LCT域卷積與相關(guān)算子，許多學(xué)者從不同的角度提出了不同形式的LCT域卷積與相關(guān)算子[15,32-33]。

LCT域變換是指在LCT基礎(chǔ)上得到的新的信號(hào)分析工具，主要是傳統(tǒng)Fourier體系下的信號(hào)分析工具擴(kuò)展到LCT域。目前許多專家學(xué)者從不同的角度研究了LCT域Hilbert變換[34]、LCT域Winger分布[35]、LCT域模糊函數(shù)[36]、LCT域正弦與余弦變換[37]、LCT域哈利特變換[37]、LCT域Gabor變換[38]、LCT域小波包變換[39]以及短時(shí)LCT[40]等，這些變換豐富了LCT的理論體系并提供了新的信號(hào)處理與分析方法，在信號(hào)處理中具有重要的應(yīng)用。

1.3 離散線性正則變換與快速算法

離散化方法和快速算法是LCT能否在實(shí)際工程廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵。由LCT的定義可知，相比傳統(tǒng)的Fourier變換，LCT具有3個(gè)自由參數(shù)，更加靈活同時(shí)也更加復(fù)雜，這給LCT的離散化方法和快速算法的帶來了具大的挑戰(zhàn)性與困難，一直是LCT研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。

理想的離散線性正則變換不僅能夠保留連續(xù)LCT的性質(zhì)，還應(yīng)該具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。類似離散Fourier變換的思想和方法，文獻(xiàn)[41]首先通過對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)，對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行LCT變換，定義了離散線性正則變換。這種離散化算法雖然是最簡單的，但卻丟失了LCT的酉變換性質(zhì)。為了彌補(bǔ)以上不足，文獻(xiàn)[42]首先對(duì)輸入輸出信號(hào)進(jìn)行采樣，并通過限定輸入輸出采樣間隔來獲得新的離散線性正則變換。除了以上兩種采樣型離散線性正則變換外，Oktem等[8]提出一種與信號(hào)采樣周期無關(guān)的離散線性正則變換，這種定義形式下的離散線性正則變換在不知道連續(xù)信號(hào)的采樣間隔的情況下具有一定的優(yōu)勢。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，低運(yùn)算量的快速算法是一個(gè)變換方法在實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵。正如快速Fourier變換極大地推動(dòng)了Fourier變換在工程中的應(yīng)用一樣，LCT的快速算法將是LCT在實(shí)際工程領(lǐng)域成功應(yīng)用的關(guān)鍵。由LCT的定義可知，一個(gè)長度為N的離散序列，直接積分計(jì)算的算法復(fù)雜度為O(N2)，而不是類似快速Fourier變換算法的O(NlogN)，給LCT在實(shí)際工程中的廣泛應(yīng)用帶來巨大的挑戰(zhàn)。近年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種LCT的快速算法，主要有基于離散線性正則變換的快速算法[43]、分解型快速算法[44-45]、混合型快速算法[46]。除了以上三種類型的快速算法，還有基于特征函數(shù)的快速算法[47]、基于Hermite多項(xiàng)式的快速算法[48]等。這些數(shù)值計(jì)算方法給LCT的快速算法提供了新的思路，為LCT在實(shí)際工程中的廣泛應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。

2 線性正則變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用

近年來，LCT理論體系得到不斷完善，在信號(hào)處理中的應(yīng)用也逐漸展開。然而由于LCT的研究尚處于起步階段，LCT在信號(hào)處理中的應(yīng)用還沒有分?jǐn)?shù)階Fourier變換那么廣泛。目前，LCT已經(jīng)被應(yīng)用在信號(hào)處理、光學(xué)、解微分方程等領(lǐng)域(圖1)，本文主要介紹LCT在采樣、濾波、信號(hào)檢測、時(shí)頻分析等信號(hào)處理中的應(yīng)用。

1) 信號(hào)調(diào)制

在傳統(tǒng)信號(hào)處理中，信號(hào)的調(diào)制是建立在Fourier變換的基礎(chǔ)上，但當(dāng)信號(hào)在頻域?yàn)榉菐扌盘?hào)，而在LCT域?yàn)閹扌盘?hào)時(shí)，利用LCT進(jìn)行信號(hào)調(diào)制往往能夠取得更理想的效果。文獻(xiàn)[5]介紹了線性正則域信號(hào)的調(diào)制過程，首先選取合適的LCT參數(shù)(a,b,c,d)，使輸入信號(hào)gn(t)為線性正則域帶限信號(hào)。其次，對(duì)輸入信號(hào)作參數(shù)為(-c,-d,a,b)的線性正則變換，得到fn(t)。最后利用傳統(tǒng)的調(diào)制方法對(duì)fn(t)進(jìn)行調(diào)制，得到對(duì)輸入信號(hào)gn(t)的調(diào)制。這種基于LCT的信號(hào)調(diào)制過程，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的調(diào)制有獨(dú)特優(yōu)勢，尤其是對(duì)雷達(dá)信號(hào)和聲信號(hào)。此外，當(dāng)輸入信號(hào)為實(shí)信號(hào)時(shí)，調(diào)制過程還可以利用LCT域Hilbert變換來產(chǎn)生LCT域解析信號(hào)節(jié)省帶寬，有利于信號(hào)的快速傳輸[49]。

圖1 線性正則變換的應(yīng)用

2) 瞬時(shí)頻率估計(jì)

信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)是現(xiàn)代信號(hào)處理中的一個(gè)基本問題，在通信、雷達(dá)和生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域起著重要的作用，尤其是非平穩(wěn)信號(hào)的瞬時(shí)頻率估計(jì)一直是研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。文獻(xiàn)[50]根據(jù)LCT在非平穩(wěn)信號(hào)分析與處理方面的獨(dú)特優(yōu)勢，提出利用LCT的功率譜和和信號(hào)的相位倒數(shù)來估計(jì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，獲得了以下瞬時(shí)頻率估計(jì)公式：

(3)

圖2 輸入信號(hào)的時(shí)頻分布

3) 線性正則域?yàn)V波

作為傳統(tǒng)乘性濾波器的進(jìn)一步推廣，文獻(xiàn)[31]首先根據(jù)LCT域卷積理論，得到LCT域乘性濾波器，濾波器輸出為：

mout(t)=LA-1[LA(min(t))·HA(u)]。

(4)

這里HA(u)為濾波器的傳遞函數(shù)，當(dāng)設(shè)計(jì)不同的HA(u)時(shí)，可以獲得不同形式的濾波器，如帶通、帶阻等。文獻(xiàn)[31]進(jìn)一步介紹了LCT域乘性濾波器能夠解決一些傳統(tǒng)濾波器不能解決的問題，例如輸入信號(hào)min(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)，n1(t)和n2(t)為噪聲，其時(shí)頻分布如圖2所示。

由其時(shí)頻分布可以看出，s(t)和噪聲在時(shí)頻面上存在耦合，傳統(tǒng)的時(shí)頻方法不能夠?qū)⑿盘?hào)很好的分離出來，而由LCT與時(shí)頻分布之間的關(guān)系知，可以利用改變LCT的參數(shù)來實(shí)現(xiàn)時(shí)頻平面的分割，即通過兩個(gè)參數(shù)分別為a1/b1=w1/t1,a2/b2=w2/t2的LCT域?yàn)V波就可以完全去掉噪聲，獲得原信號(hào)s(t)。文獻(xiàn)[32]等基于不同的LCT域卷積定義，也研究了LCT域乘性濾波，其實(shí)質(zhì)是一樣的。

文獻(xiàn)[51]則提出了最小均方誤差準(zhǔn)則下的LCT域Wiener濾波，假設(shè)輸入信號(hào)x(t)=s(t)+n(t)，令式(4)中的傳遞函數(shù)為

HA(u)=RS,X(u,u)/RX,X(v,v)。

(5)

其中：

(6)

Rsx(t,σ)為s(t)和x(t)的互相關(guān)函數(shù)，Rxx(t,σ)為x(t)的自相關(guān)函數(shù)。其思想是通過計(jì)算最小均方誤差來確定最佳的參數(shù)A，然后代入式(5)獲得LCT域Wiener濾波的傳遞函數(shù)。由于LCT域Wiener濾波是從信號(hào)的相關(guān)函數(shù)出發(fā)獲得的，具有更廣泛的普適性。此外，文獻(xiàn)[52]等也進(jìn)一步討論了LCT域多通道濾波器和雙通道仿酉濾波器的設(shè)計(jì)問題，并通過實(shí)驗(yàn)證明了基于LCT的濾波器在信號(hào)分離與濾波方面的優(yōu)越性。

4) 在雷達(dá)中的應(yīng)用

根據(jù)LCT在處理非平穩(wěn)信號(hào)上的優(yōu)勢，文獻(xiàn)[53]介紹了LCT在雷達(dá)系統(tǒng)中的應(yīng)用，首先假設(shè)兩個(gè)球盤A和B之間的距離為D，其半徑和區(qū)域分布函數(shù)分別是RA,RB和FA(x,y),FB(s,h)。然后根據(jù)雷達(dá)的性質(zhì)，可以得到FA(x,y)和FB(s,h)之間的關(guān)系為：

(7)

其中

(8)

(9)

5) 圖像處理

圖3 基于LCT的圖像加密過程

LCT在圖像處理方面的應(yīng)用主要包括圖像的水印與加密、空間移變模式識(shí)別和非對(duì)稱模式識(shí)別[5]。分?jǐn)?shù)階Fourier變換已經(jīng)廣泛應(yīng)用到圖像加密中，由于LCT具有4個(gè)參數(shù)，因此利用LCT做圖像加密比分?jǐn)?shù)階Fourier變換更有優(yōu)勢，安全度更高。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于LCT的圖像加密算法(如圖3所示)。

首先對(duì)原始圖像數(shù)據(jù)乘以密鑰e1(t)，然后對(duì)獲得的數(shù)據(jù)做LCT，其次把得到的LCT在乘以密鑰e2(t)來完成加密。解密的過程與加密的過程相反，必須知道e1(t),e2(t)和LCT的參數(shù)才能完成解密過程。由于LCT相比分?jǐn)?shù)階Fourier變換和Fourier變換，具有更多的參數(shù)，因此這種加密算法具有更高安全度的加密效果。在上述基本加密算法基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)進(jìn)一步提出級(jí)聯(lián)多個(gè)LCT，使用不同的LCT參數(shù)等許多不同的加密算法。類似圖像的加密過程，文獻(xiàn)[55]提出了一種基于LCT的數(shù)字水印算法以更好地提高水印算法的安全性和增加水印的容量。除了在圖像加密與水印上的應(yīng)用，文獻(xiàn)[56]等分別進(jìn)一步研究了把LCT域相關(guān)應(yīng)用到空間移變模式識(shí)別和利用LCT域Hilbert變換進(jìn)行非對(duì)稱邊緣檢測，并通過一系列仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了LCT在圖像處理上的優(yōu)勢。

6) 語音信號(hào)分析

語音信號(hào)具有非平穩(wěn)性，其頻率是不斷發(fā)生變化的。常見的語音信號(hào)模型有正弦信號(hào)模型、Chirp信號(hào)模型、AM-FM模型等[57]。由于LCT具有3個(gè)自由參數(shù)，在處理非平穩(wěn)信號(hào)上具有獨(dú)特優(yōu)勢，文獻(xiàn)[57]在多分量AM-FM的語音信號(hào)模型的基礎(chǔ)上，提出基于LCT的兩種語音信號(hào)分析與重構(gòu)方法。第一種方法是根據(jù)AM-FM語音信號(hào)模型中的語音信號(hào)與干擾的Gauss信號(hào)在線性正則域具有不同的能量聚集性質(zhì)，設(shè)計(jì)合理的LCT域?yàn)V波器濾掉大部分噪聲能量，隨后利用LCT的逆變換恢復(fù)原始語音信號(hào)，實(shí)現(xiàn)語音信號(hào)的去噪。第二種方法是根據(jù)AM-FM的語音信號(hào)模型具有多分量Chirp模型的形式，在多分量Chirp模型的檢測和參數(shù)估計(jì)中，為了避免強(qiáng)Chirp分量對(duì)弱Chirp分量的干擾，首先設(shè)置一個(gè)門限，利用擬牛頓方法進(jìn)行思維峰值搜索來獲得最大峰值點(diǎn)的記錄值。然后可以利用單分量AM-FM模型的檢測和參數(shù)估計(jì)方法檢測估計(jì)出最強(qiáng)Chirp分量，這樣AM-FM模型中的第一強(qiáng)分量能夠被重構(gòu)出來，其后在LCT域設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)濾波器來濾除最強(qiáng)Chirp分量，并利用LCT的逆變換獲得AM-FM模型中的第二強(qiáng)分量，重復(fù)以上過程直到檢測出的分量低于設(shè)置的門限值，恢復(fù)原始語音信號(hào)。在這兩種方法的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)進(jìn)一步通過仿真和真實(shí)語音信號(hào)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于LCT的語音信號(hào)分析與重構(gòu)方法比傳統(tǒng)的ML方法、PPT方法和Dechirp方法具有更好的效果。

7) 在故障診斷上的應(yīng)用

圖4 電機(jī)電流特征分析診斷系統(tǒng)

基于信號(hào)處理技術(shù)的故障診斷主要是對(duì)系統(tǒng)中測得的各種信號(hào)進(jìn)行分析和處理，提取與故障相關(guān)的時(shí)域特征和頻域特征，進(jìn)行故障診斷[58-59]。LCT作為一種新穎的信號(hào)分析工具，在非平穩(wěn)信號(hào)的特征提取中具有獨(dú)特優(yōu)勢。因此可以通過對(duì)信號(hào)的LCT域頻譜進(jìn)行譜分析來診斷故障。例如當(dāng)異步電機(jī)發(fā)生故障時(shí)，其輸出的故障諧波往往是非平穩(wěn)信號(hào)，利用LCT在非平穩(wěn)信號(hào)處理上的優(yōu)勢，提出如圖4所示的異步電機(jī)故障診斷系統(tǒng)，為異步電機(jī)的故障診斷提供新的思路。

除了以上介紹的應(yīng)用，LCT還在采樣時(shí)刻未知的信號(hào)重構(gòu)、通信系統(tǒng)、GRIN系統(tǒng)等方面具有廣泛的應(yīng)用。例如文獻(xiàn)[60]介紹了利用LCT級(jí)數(shù)來重構(gòu)采樣時(shí)刻未知的信號(hào)、尤其是非平穩(wěn)、非Gauss類采樣信號(hào)；文獻(xiàn)[11]介紹了LCT應(yīng)用于通信信號(hào)抗多徑效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)通信領(lǐng)域當(dāng)中采用傳統(tǒng)頻域處理不能很好完成的任務(wù)。

3 結(jié)束語

作為Fourier變換和分?jǐn)?shù)階Fourier變換的進(jìn)一步推廣形式，LCT具有3個(gè)自由參數(shù)、靈活性更強(qiáng)，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析上具有獨(dú)特的優(yōu)勢，引起了國內(nèi)外眾多專家學(xué)者的關(guān)注。本文主要介紹線性正則變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用，然而由于線性正則變換的研究起步較晚，線性正則變換在信號(hào)分析中的應(yīng)用還有待進(jìn)一步研究。例如可以利用線性正則變換與時(shí)頻分析工具相結(jié)合來更加精細(xì)刻畫故障信號(hào)，從而對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行特征提取，為故障診斷提供新的思路。

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(責(zé)任編輯：呂海亮)

Application of Linear Canonical Transform in Signal Processing

XU Shuiqing, CHAI Yi, FENG Li

(College of Automation, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

As a generalization of the Fourier transform and the fraction Fourier transform, the linear canonical transform (LCT) is more flexible and has unique advantages in non-stationary signal processing. It also has

much attention in the field of signal processing. In this paper, the definition and basic properties of LCT were first expounded. Then the applications of LCT in signal processing were focused on. Finally, the application of LCT in fault diagnosis was discussed.

linear canonical transform (LCT); signal processing; fault diagnosis

2017-03-31

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61633005);國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61673076,61374135);重慶市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(cstc2015jcyjA0480,cstc2016jcyjA1255)

許水清(1991—)，男，安徽太和人，博士研究生，主要從事信號(hào)處理、故障診斷研究 柴 毅(1962—)，男，安徽蕪湖人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事信息融合、故障診斷研究，本文通信作者. E-mail:chaiyi@cqu.edu.cn

TN929.5

A

1672-3767(2017)05-0043-09

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.05.007