■闕圣東

一題多解案例剖析

■闕圣東

很多幾何問題，都有不同的解法，思維方式不同，得到的解法也各不相同。給學(xué)生這樣一道題目，學(xué)生思維很開闊，提供了幾種不同的解法，現(xiàn)將解法整理歸納，與同行交流。

圖1

一、原題呈現(xiàn)

如圖，在△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足為D、E，CF是AB邊上的高，求證：PD+PE=CF。

二、解法探究

解法1（作垂直，截長來轉(zhuǎn)化）：過點(diǎn)P作PG⊥CF于點(diǎn)G。易證Rt△PGC≌Rt△CEP（AAS），因此CG=PE，所以CF=GF+CG=PD+PE。

解法2（作平行，截長來轉(zhuǎn)化）：過D作DH∥BC交CF于點(diǎn)H。易證Rt△DFH≌Rt△CEP（AAS），因此HF=PE，所以CF=CH+HF=PD+PE。

解法3（作垂直，補(bǔ)短來轉(zhuǎn)化）：過點(diǎn)C作CK⊥DP，交DP的延長線于點(diǎn)K。易證Rt△CKP≌Rt△CEP（AAS），因此PK=PE，所以CF=DK=PD+ PK=PD+PE。

解法4（巧割補(bǔ)，求面積得相等）：連接AP。由S△APB+S△APC=S△ABC，得AB·PD+AC·PE=· AB·CF，又因?yàn)锳B=AC，即PD+PE=CF。

解法5（底角等，妙用三角函數(shù)）：在Rt△BDP中，PD=PB·sinB；在Rt△BFC中，CF=BC· sinB；在Rt△CEP中，PE=PC·sin∠ECP，又因?yàn)锳B=AC，因此∠B=∠ECP，所以sinB=sin∠ECP，因?yàn)锽C=PB+PC，即BC·sinB=PB·sinB+PC· sin∠ECP，所以CF=PD+PE。

解法6（得相似，用比例巧化歸）：易證△BDP∽△BFC∽△CEP，因此利用比例的性質(zhì)可得，即所以PD+PE=CF。

三、解題反思

這6種方法中的前三種解法是求證“一條線段等于另外兩條線段和”問題的通法，截取較長的線段，或者延長較短的線段。解法4由高想到面積，即利用面積割補(bǔ)是眾多解法中最特殊的解法，更是所有解法中最本質(zhì)的解法。其本質(zhì)就在于面積的轉(zhuǎn)化，將大的三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個小的三角形的面積之和，回到數(shù)學(xué)最本質(zhì)的根源。轉(zhuǎn)化、化歸都是一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，除此之外，還有數(shù)形結(jié)合、分類、方程、模型思想等，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展與應(yīng)用中，因此，我們每一位教師在平時要精心設(shè)計教學(xué)活動，在教學(xué)環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、合作交流，尋求到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。

對于本題的不同解法，問題的切入點(diǎn)不同，則解法不同，解法5三角函數(shù)法從等腰三角形的兩個底角思考，解法6比例化歸由三個三角形都是相似三角形切入，解法不同，則思維方法不同，這就要求學(xué)生不斷擴(kuò)展思維能力，及時矯正解題中暴露的問題，彌補(bǔ)不足，鞏固已有，而知識體系的構(gòu)建可以幫助學(xué)生從不同角度思考解題方法，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，使得解題方法最優(yōu)化。同時，變式練習(xí)可使學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基礎(chǔ)技能下，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力。

（作者為江蘇省泰州市姜堰區(qū)張甸初級中學(xué)教師）