李豪

【摘要】本文致力于設(shè)計高效的MATLAB程序來計算具有任意多個中間變量和任意多個自變量的復(fù)合抽象函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)，其中中間變量僅限于是自變量的線性函數(shù).

【關(guān)鍵詞】復(fù)合抽象函數(shù)；任意階導(dǎo)數(shù)；MATLAB程序；中間變量；自變量

【基金項目】貴州省科學(xué)技術(shù)基金項目《板振動問題的非協(xié)調(diào)有限元自適應(yīng)算法》（項目合同編號：黔科合LH字[2014]7061號）.

一、前言

在一些理論研究、工程計算以及一些程序設(shè)計中，我們往往不可避免地要計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù).對具體的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，是現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學(xué)軟件都可以解決的問題.但是由于理論分析的需要，或者提高程序設(shè)計的效率，很多時候我們需要寫出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達式.對于具有任意多個中間變量的復(fù)合抽象函數(shù)求任意階導(dǎo)數(shù)，理論上，我們可以按照鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則寫出導(dǎo)數(shù)表達式，但是這往往是一個復(fù)雜的計算過程，尤其對于多個中間變量的高階導(dǎo)數(shù).例如，對具有4個中間變量，而每個中間變量又是3個自變量的線性函數(shù)的復(fù)合抽象函數(shù)求三階導(dǎo)數(shù)，按照鏈?zhǔn)椒▌t展開有64項；若對其求四階導(dǎo)數(shù)，展開則有256項.

本文將鏈?zhǔn)椒▌t程序化，給出了計算任意多個中間變量和任意多個自變量的復(fù)合抽象函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的MATLAB程序，其中的中間變量都是關(guān)于自變量的線性函數(shù).

二、符號說明

本文中，我們約定以下符號：

f：一個抽象復(fù)合函數(shù)；

pi：中間變量，i∈Z+；

xi：自變量，i∈Z+.

三、鏈?zhǔn)椒▌t及程序設(shè)計思想

為確定起見，我們假設(shè)y=f（p1，p2，p3），pi=（x1，x2），i=1，2，3.其中，pi是關(guān)于x1，x2的線性函數(shù)，則y=f[p1（x1，x2），p2（x1，x2），p3（x1，x2）]，求混合偏導(dǎo)數(shù)3yx1x2x1.

在混合偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下，一定要注意求導(dǎo)順序.而我們只要觀察一下右側(cè)中相應(yīng)的行即可發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)順序的規(guī)律.例如，本例左側(cè)中的第二、三、四行雖然相同，但是求導(dǎo)順序卻不一樣.觀察右側(cè)中第二、三、四行就可發(fā)現(xiàn)，左側(cè)中第二、三、四行分別表示3fp1p2p1，2fp21p2和

綜上以及連續(xù)參數(shù)鞅的定義可知{M（t）；t≥0}關(guān)于F為鞅.

證畢.

定理2建立的復(fù)合Poisson分布下m重風(fēng)險模型{U（t）=u+S（t）；t≥0}的最終破產(chǎn)概率為φ（u）=e-RuE[e-RU（T）|T<∞]，其中T=inft>0{t；U（t）<0}是破產(chǎn)時刻.

推論1最終破產(chǎn)概率φ（u）滿足Lundberg不等式φ（u）≤exp（-Ru）.

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