王昫

【摘要】分析了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式中隱含的變量標(biāo)志，給出了快速準(zhǔn)確計(jì)算復(fù)合函數(shù)的公式，通過實(shí)例展示了給出的公式在復(fù)雜復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算中的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】隱含符號(hào)；中間變量；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

一、引言

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算是微積分學(xué)的重要的內(nèi)容.因構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的形式多樣，且鏈?zhǔn)角髮?dǎo)公式中隱含了對(duì)中間變量的標(biāo)志，看似簡單的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即使是在滿足理論要求的條件下，對(duì)公式中隱藏的中間變量理解有偏差也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.常見的文獻(xiàn)過多地集中在討論復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式數(shù)學(xué)理論本質(zhì)[1]、常犯的錯(cuò)誤歸類和容易混淆的求導(dǎo)記號(hào)等[2].本文給出了標(biāo)記隱含變量、快速求取復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式，并通過實(shí)例展示了該公式的應(yīng)用效果.

二、標(biāo)定隱含變量的求導(dǎo)公式

定理1[3]如果函數(shù)u=g（x）在x點(diǎn)可導(dǎo)，y=f（u）在點(diǎn)u=g（x）可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

y′=f′（u）g′（x），（1）

或者dydx=dydududx.（2）

上述鏈?zhǔn)椒▌t公式（1）的記號(hào)在求導(dǎo)運(yùn)算中比較常用，但是隨著復(fù)合函數(shù)的形式多樣變化，公式（1）省略了對(duì)求導(dǎo)中自變量和中間變量下標(biāo)標(biāo)示，容易導(dǎo)致誤解.實(shí)際上，兩個(gè)公式左側(cè)永遠(yuǎn)表示函數(shù)對(duì)自變量（x）的導(dǎo)數(shù).公式（2）表示的代數(shù)含義更明確，即函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)乘中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).是兩個(gè)函數(shù)對(duì)兩種不同變量的求導(dǎo)乘積，如果加以標(biāo)示將有助于計(jì)算.

定理2如果函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u可導(dǎo)，那么，不管u是中間變量或者自變量，總有y對(duì)變量u的導(dǎo)數(shù)等于f（u）對(duì)u的導(dǎo)數(shù)，即

y′=f′（u），且始終可以記作y′u=f′u（u）.（3）

公式（3）中，無論變量u的形式多么復(fù)雜，下標(biāo)字母在求導(dǎo)中始終可以被視作自變量.比如，y′u表示函數(shù)始終把整體u視作自變量求導(dǎo).我們把公式（3）叫復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)形式不變性.

證明如果u是自變量，令u=x代入公式（1），由定理顯然得到公式（2）.

如果u是中間變量，因?yàn)閥=f（u）在點(diǎn)u可導(dǎo)，在等式兩邊對(duì)u求導(dǎo)，當(dāng)然有y′u=f′u（u）成立.但是此結(jié)果不是最終要求的求導(dǎo)結(jié)果（公式（1）的左側(cè)，即函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)），而是公式（1）中右側(cè)部分中的第一項(xiàng)因子，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t（1）需進(jìn)一步求得最終結(jié)果.

從計(jì)算公式（7）和（8）可以看出，計(jì)算（9）到（10）時(shí)，忽略了求導(dǎo)運(yùn)算中的中間變量（求導(dǎo)中的相對(duì)變量）和自變量的區(qū)別，把中間變量當(dāng)作自變量，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.應(yīng)用帶變量下標(biāo)的公式后，快速寫出結(jié)果，最后寫為常用格式，得到正確答案.

四、結(jié)論

以極限為基礎(chǔ)的導(dǎo)數(shù)（或微分）運(yùn)算和積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)重要的組成部分.撇開導(dǎo)函數(shù)中理論分析，快速準(zhǔn)確地求取滿足理論要求的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)是非常重要的.文中給出了一種標(biāo)記變量符號(hào)的求導(dǎo)方法，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)有一定的參考意義.并通過實(shí)例展示了方法的有效性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙瑛.淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則[J].電大理工，2008（4）：73-74.

[2]張菊.淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算[J]求知導(dǎo)刊，2016（10）：112.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.