添項構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項

陜西 侯有岐

(作者單位：陜西省漢中市四○五中學)

添項構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項

數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法.一般情況下，給出數(shù)列的遞推公式，可以求出數(shù)列的通項公式，依據(jù)數(shù)列的通項公式可以進一步研究數(shù)列的其他性質(zhì).本文擬從下列幾個方面例析添項構(gòu)造數(shù)列求遞推數(shù)列的通項公式的有關(guān)技巧.

一、an+1=f(an)型此類問題只需給遞推式兩邊同加數(shù)λ即可

【例1】在數(shù)列{an}中，若a1=1,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*)，求該數(shù)列的通項公式an.

【評注】已知an+1=f(an)型遞推公式求數(shù)列通項問題，常常在遞推式兩邊加數(shù)λ，構(gòu)造數(shù)列{an+λ}，此時數(shù)列{an+λ}往往是以a1+λ為首項的等比數(shù)列，從而求出an.

【變式1】在數(shù)列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3，求該數(shù)列的通項公式an.

【答案】an=2n+1-3.

二、an+1=pan+qan-1型此類問題只需給遞推式兩邊同加λan即可

【例2】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2，求數(shù)列{an}的通項公式.

【解析】遞推式兩邊同時加λan+1，整理得

所以an+2-an+1=(an+1-an)+2，所以數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可得an+1-an=1+2(n-1)=2n-1，

所以a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3，

將以上各式相加得an-a1=(n-1)2.

即an=n2-2n+2,

所以{an}的通項公式為an=n2-2n+2.

【評注】已知an+1=pan+qan-1型遞推公式求數(shù)列通項問題，常常在遞推式兩邊加λan，構(gòu)造數(shù)列{an+λan-1}，此時令an+λan-1=bn，則問題轉(zhuǎn)化為類型一：bn+1=f(bn)型求解.

【變式2】在數(shù)列{an}中，若a1=1,a2=5,an+1=5an-6an-1(n≥2),求該數(shù)列的通項公式an.

三、an+1=pan+f(n)型

已知an+1=pan+f(n)型遞推公式求數(shù)列通項問題，(1)若f(n)=abn+c，則兩邊同時加上λ1bn+1+λ2(c=0取λ2=0)，構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ1bn+λ2}求解；(2)若f(n)=an2+bn+c，則兩邊同時加上λ3(n+1)2+λ4(n+1)+λ5.構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ3n2+λ4n+λ5}求解.

【例3】數(shù)列{an}滿足a1為常數(shù)，an=3n-1-2an-1，求數(shù)列{an}的通項公式.

【例4】在數(shù)列{an}中，已知a1=1,an+1=3an+2n,求該數(shù)列的通項公式an.

【解析】遞推式兩邊同時加λ1(n+1)+λ2,

四、an+1=pan+qan-1+f(n)型另外添加λan

【例5】數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1,an=-an-1+2an-2+2n-2(n≥3)，求數(shù)列{an}的通項公式.

【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·2n-1，整理得

所以可得an=-2an-1+2n-1-1(n≥2),

再給上式兩邊同時加λ2·2n+λ3，

【評注】已知an+1=pan+qan-1+f(n)型遞推公式求數(shù)列通項問題，與類型三類似，只要另外添加λan，構(gòu)造等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為類型三求解.

【變式3】在數(shù)列{an}中，已知a1=1,a2=3,an=an-1+2an-2+3n-2(n≥3),求該數(shù)列的通項公式an.

【解析】遞推式兩邊同時加λan-1+λ1·3n-1，整理得

所以數(shù)列{an+an-1-3n-1}是以λ+1=2為公比，以a2+a1-3=1為首項的等比數(shù)列，由此可得an+an-1-3n-1=2n-2,即an=-an-1+3n-1+2n-2,

再給上式兩邊同時加λ2·3n+λ3·2n-1+λ4，

整理得an+λ2·3n+λ3·2n-1+λ4=-[an-1+(-3λ2-1)·3n-1+(-2λ3-1)·2n-2-λ4]，

令λ2=-3λ2-1,λ3=-2λ3-1,λ4=-λ4,

(作者單位：陜西省漢中市四○五中學)