劉召慶 趙 博 劉 博 楊遠(yuǎn)成

(西安應(yīng)用光學(xué)研究所 西安 710065)

射頻仿真 電磁兼容技術(shù)

一種介質(zhì)體寬角域散射的快速分析方法

劉召慶 趙 博 劉 博 楊遠(yuǎn)成

(西安應(yīng)用光學(xué)研究所 西安 710065)

本文結(jié)合漸近波形估計(jì)技術(shù)(AWE)和體積分方程矩量法(VIE－MoM)快速分析介質(zhì)體的寬角域散射問題。體積分方程用來對(duì)介質(zhì)目標(biāo)建模，用四面體元對(duì)目標(biāo)進(jìn)行體剖分，采用SWG基函數(shù)模擬四面體元內(nèi)的電通量密度。應(yīng)用矩量法將體積分方程離散生成矩陣方程。目標(biāo)的雷達(dá)散射截面(RCS)高度依賴入射波方向，應(yīng)用漸近波形估計(jì)技術(shù)在給定角度對(duì)電通量密度進(jìn)行泰勒展開，采用padé逼近進(jìn)一步展寬角域范圍。最后，數(shù)值算例表明漸近波形估計(jì)技術(shù)結(jié)合體積分方程矩量法在介質(zhì)寬角域散射分析方面的準(zhǔn)確性和高效性。

體積分;矩量法;漸近波形估計(jì);寬角域

0 引言

目標(biāo)的寬角域電磁散射在雷達(dá)目標(biāo)隱身和目標(biāo)識(shí)別等工程應(yīng)用方面具有重要意義。在電磁計(jì)算領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，矩量法［1－3］已經(jīng)發(fā)展成為準(zhǔn)確預(yù)估目標(biāo)雷達(dá)散射截面的重要方法之一。在對(duì)介質(zhì)目標(biāo)的建模方面，通常會(huì)用到兩種積分方程，一種是基于面等效原理的 PMCHWT方程［4］，一種是基于體等效原理的體積分方程(VIE)［5－6］。PMCHWT 方程在處理均勻介質(zhì)體時(shí)非常方便，由于對(duì)目標(biāo)進(jìn)行面剖分，產(chǎn)生的未知量相對(duì)較少，然而在處理非均勻介質(zhì)體時(shí)，需要人為的在不同介質(zhì)分界面處添加邊界條件［7］，這在處理任意非均勻介質(zhì)體時(shí)會(huì)帶來編程上的麻煩。相比而言，基于體等效原理的VIE在對(duì)目標(biāo)建模時(shí)需要進(jìn)行體剖分，同時(shí)保證剖分得到的每個(gè)體元的電參數(shù)為常數(shù)，而VIE中包含的面積分一項(xiàng)正是針對(duì)不同介質(zhì)分界面處進(jìn)行的邊界條件處理，因而VIE在分析非均勻介質(zhì)目標(biāo)時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)。

然而，雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別工程中要求獲得目標(biāo)的寬角域RCS數(shù)據(jù)，需要針對(duì)每一個(gè)入射波方向進(jìn)行一次積分方程的求解，而這將耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。從上世紀(jì)80年代末以來，發(fā)展出的最佳一致逼近［8］、漸近波形估計(jì)(AWE)［9－10］和柯西方法［11］等插值技術(shù)，使目標(biāo)的寬頻帶分析在計(jì)算時(shí)間上的效率大大提高。本文將VIE－MoM與AWE相結(jié)合用來分析介質(zhì)目標(biāo)的寬角域電磁散射，在給定角度對(duì)電通量密度進(jìn)行泰勒展開，進(jìn)一步通過padé逼近展寬角域范圍，可以得到任意角度的電通量密度，從而實(shí)現(xiàn)介質(zhì)目標(biāo)寬角域散射特性的分析。相比于傳統(tǒng)的VIE－MoM逐點(diǎn)計(jì)算方法，該方法大大提高了計(jì)算效率。

1 體積分方程－矩量法(VIE－MoM)

介質(zhì)目標(biāo)通常分為均勻介質(zhì)目標(biāo)和非均勻介質(zhì)目標(biāo)。對(duì)于均勻介質(zhì)目標(biāo)的分析可以使用面等效原理或體等效原理，將目標(biāo)的散射問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)表面的面等效電磁流或目標(biāo)體內(nèi)的體等效電磁流，從而使問題得到解決。而對(duì)于非均勻介質(zhì)目標(biāo)，電磁參數(shù)如介電常數(shù)ε(r)和磁導(dǎo)率μ(r)是位置的函數(shù)，面等效原理無法定義內(nèi)等效問題，因此對(duì)于非均勻介質(zhì)的等效一般宜采用體等效原理，這要求對(duì)目標(biāo)進(jìn)行體剖分，本文采用能夠較好擬合任意目標(biāo)物理形狀的四面體元對(duì)目標(biāo)進(jìn)行剖分，并用SWG分域基函數(shù)模擬四面體元內(nèi)的體電流。

1.1 體積分方程(VIE)

考慮自由空間中一個(gè)三維任意介質(zhì)目標(biāo)受平面波Ei照射后，其所在區(qū)域感應(yīng)出的體電流J產(chǎn)生的散射場(chǎng)為Es。目標(biāo)的體積和表面積分別用V和S來表示，介質(zhì)目標(biāo)的介電常數(shù)為ε(r)=ε0εr(r)，磁導(dǎo)率為 μ0(非磁性材料)。本文的時(shí)間因子均采用exp(－ jωt)。

根據(jù)體等效原理，將目標(biāo)的散射問題轉(zhuǎn)化為求解分布在目標(biāo)體內(nèi)的等效體電流J(r)。對(duì)于非均勻介質(zhì)目標(biāo)，不同介質(zhì)的分界面處體電流J(r)的法向分量并不連續(xù)，因此為了方便處理，采用電通量密度D(r)作為待求的未知量。關(guān)于電通量密度D(r)的體積分方程表達(dá)式如下:

其中，k0為自由空間波數(shù)，G(r，r')為三維自由空間標(biāo)量格林函數(shù)，κ(r)表示介質(zhì)材料的介電常數(shù)對(duì)比率，表達(dá)式如下所示，

公式(4)右邊的第二項(xiàng)包含對(duì)介電常數(shù)對(duì)比率求梯度的運(yùn)算，對(duì)這一項(xiàng)進(jìn)行體積分運(yùn)算，

其中κ+(r')和κ－(r')分別表示組成一個(gè)未知量的兩個(gè)四面體元的介電常數(shù)對(duì)比率。公式(5)將體積分一項(xiàng)轉(zhuǎn)化成為面積分，這正是VIE自動(dòng)處理不同介質(zhì)分界面處邊界條件的積分項(xiàng)。

1.2 矩量法求解體積分方程

應(yīng)用矩量法求解公式(1)所示的VIE，首先用SWG基函數(shù)［5］展開電通量密度D(r)如下，

SWG基函數(shù)在組成未知量的兩個(gè)四面體公共面上具有法向連續(xù)性，同時(shí)在四面體元內(nèi)其散度為常數(shù)。SWG基函數(shù)表達(dá)式為:

其中，Z和V分別表示N×N維的阻抗矩陣和N維的激勵(lì)矢量，其元素表達(dá)式為:

2 漸近波形估計(jì)(AWE)

VIE－MoM生成的矩陣方程中，阻抗矩陣是關(guān)于波數(shù)k的函數(shù)，電通量密度矢量和激勵(lì)矢量為波數(shù) k和(θ，φ) 的函數(shù)，

本文應(yīng)用AWE在球坐標(biāo)系下對(duì)空間寬角域散射問題進(jìn)行插值計(jì)算，首先考慮θ極化入射波對(duì)θ進(jìn)行掃角的情況。將電通量密度矢量D和激勵(lì)矢量V對(duì)θ進(jìn)行泰勒展開，

將公式(12)和(13)帶入(11)，并做同階多項(xiàng)式對(duì)比，得到:

其中，V(q)(θ0)為激勵(lì)矢量V在θ0處的q導(dǎo)數(shù)，其元素表達(dá)式為:

其中，Ei(r)為θ極化入射波，其表達(dá)式如下，

公式(16)中的Eθ為θ入射波的幅值為平面波入射的入射方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)系中θ方向的單位矢量，

求解得到的電通量密度矢量D往往受到其收斂半徑的限制，通過padé逼近將泰勒級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，進(jìn)一步展寬角域范圍，

最后要說明的是，φ極化入射波對(duì)θ進(jìn)行掃角的情況和上面介紹的情況基本一致，區(qū)別在于入射波的表達(dá)式，并注意到φ方向的單位矢量用直角坐標(biāo)系表示只有兩個(gè)分量。

3 數(shù)值算例

為驗(yàn)證算法的有效性，給出三個(gè)算例的數(shù)值結(jié)果。所有計(jì)算都在主頻為2.0GHz的個(gè)人電腦上完成，線性方程組的求解均采用LU分解法，數(shù)據(jù)采用雙精度類型存儲(chǔ)，AWE的泰勒展開階數(shù)為Q=4，L=M=Q/2。

3.1 均勻介質(zhì)目標(biāo)

考慮一個(gè)邊長(zhǎng)0.2m的立方體和半徑0.1m的球組成的均勻介質(zhì)目標(biāo)，相對(duì)介電常數(shù)為1.96，球的1/4嵌入在立方體中。500MHzθ極化的平面入射波沿 － z軸方向入射，φ =0°，θ∈［0°，180°］的單站RCS如圖1所示。目標(biāo)剖分為1818個(gè)四面體元，3911個(gè)未知量。圖1中給出了VIE－MoM逐點(diǎn)掃角的RCS，并給出仿真軟件FEKO的結(jié)果作為對(duì)比。VIE－ AWE1為采樣角度在θ為45°、90°和135°的三點(diǎn)AWE插值結(jié)果，圖1可見在θ在12°和180°附近的結(jié)果有一定誤差。四點(diǎn)AWE插值的VIE－AWE2與VIE－MoM吻合很好，采樣角度分別為36°、72°、108°和 144°。

3.2 非均勻介質(zhì)柱

如圖2所示，目標(biāo)為三個(gè)半徑0.2m、高0.2m的圓柱組成的三層非均勻介質(zhì)柱，沿+z軸方向的相對(duì)介電常數(shù)常數(shù)分別為 1.6、1.96和 2.25。300MHzθ極化的平面入射波沿－z軸方向入射，φ=0°，θ∈［0°，180°］的單站 RCS 如圖 2 所示。目標(biāo)剖分產(chǎn)生3009個(gè)四面體元，6344個(gè)未知量。FEKO和逐點(diǎn)VIE－MoM的計(jì)算吻合良好，證明了VIE對(duì)于非均勻介質(zhì)計(jì)算的準(zhǔn)確性。三點(diǎn)展開(45°、90°和135°)的VIE －AWE 在θ為0°和180°附近有一定誤差，四點(diǎn)展開(36°、72°、108°、144)的 VIE － AWE 于逐點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果高度吻合。

3.3 非均勻介質(zhì)立方體

最后給出一個(gè)入射波為φ極化的算例。如圖3所示，目標(biāo)為三個(gè)邊長(zhǎng)分別為0.2m、0.4 m和0.6m的立方體(相對(duì)介電常數(shù)分別為1.4、1.2和1.69)嵌套組成的非均勻介質(zhì)目標(biāo)。200MHz的平面波沿－z軸方向入射，圖3 給出了 φ =45°，θ∈［0°，180°］的單站RCS。目標(biāo)剖分產(chǎn)生1691個(gè)四面體，3625個(gè)未知量。三點(diǎn)展開(45°、90°和 135°)的 VIE －AWE1在θ為0°和180°附近不夠準(zhǔn)確，仍為三點(diǎn)展開(25°、90°和 145°)的 VIE － AWE2 具有很好的擬合精度。

表1給出了VIE－MoM逐點(diǎn)掃角和VIEAWE掃角在計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存上的對(duì)比，可以看到在保證精度的前提下，VIE－AWE需要的內(nèi)存有微小的增加，但在計(jì)算時(shí)間上具有很大的優(yōu)勢(shì)，三個(gè)算例在計(jì)算時(shí)間上分別減少了94.1%、79.1%和93.5%。

表1 VIE－MoM和VIE－AWE的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求

4 結(jié)論

將AWE技術(shù)結(jié)合VIE－MoM分析了介質(zhì)目標(biāo)的寬角域散射特性。VIE對(duì)于均勻介質(zhì)和非均勻介質(zhì)目標(biāo)，均采用四面體元進(jìn)行體剖分來獲取介質(zhì)體內(nèi)部的電磁信息，通過矩量法對(duì)VIE精確求解。對(duì)于寬角域散射特性的分析，需要在給定角度范圍內(nèi)重復(fù)求解VIE，為了提高掃角效率，本文結(jié)合AWE插值技術(shù)很大程度減少了計(jì)算所需的時(shí)間。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了VIE－AWE在求解介質(zhì)目標(biāo)寬角域散射特性的準(zhǔn)確性和高效性。

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Fast Analysis to Scattering of Dielectric Bodies in Broad Angular Domain

Liu Zhaoqing，Zhao Bo，Liu Bo，Yang Yuancheng
(Xi'an Institute of Applied Optics，Xi'an 710065)

Fast analysis to scattering of dielectric bodies in broad angular domain by combing asymptotic waveform evaluation(AWE)technique and volume integral equation-method of moments(VIE-MoM)is proposed.The VIE is used for modeling of dielectric target，tetrahedron element is used for volume meshing to the target，and SWG basis functions is used to simulate electric flux density in tetrahedron elements.The MoM is used for discretization of VIE to get matrix equation.As radar cross section(RCS)of target is highly dependent on the direction of incident wave，carry out Taylor expansion to electric flux density at the given angle by using AWE;and broaden angular domain further by using padé approximation.Finally，numerical examples demonstrate the accuracy and efficiency of the combination of AWE and VIE-MoM applied to the scattering analysis of dielectric bodies in broad angular domain.

volume integral equation(VIE);method of moments(MoM);asymptotic waveform evaluation;broad angular domain

TN98

A

1008-8652(2017)01-068-05

2016-11-03

劉召慶(1979－)，男，高級(jí)工程師。主要研究方向?yàn)楣怆娤到y(tǒng)總體設(shè)計(jì)技術(shù)、電磁兼容設(shè)計(jì)技術(shù)。