奚文龍，唐文秀，許李尚，劉方悅

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150040)

基于一階低通濾波器滑模反步法的直流電機(jī)位置控制

奚文龍，唐文秀，許李尚，劉方悅

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150040)

針對直流電機(jī)位置控制系統(tǒng)在負(fù)載擾動情況下存在控制精度低、響應(yīng)速度慢和魯棒性差的問題，提出了基于一階低通濾波器滑模反步法的直流電機(jī)位置跟蹤控制算法。通過滑模反步法進(jìn)行虛擬控制實(shí)現(xiàn)直流電機(jī)實(shí)際位置控制。利用一階低通濾波器計(jì)算虛擬控制項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，消除微分膨脹，使控制器設(shè)計(jì)簡單，但同時(shí)造成了相位滯后。通過前饋環(huán)節(jié)對一階低通濾波器造成的相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償?？紤]位置跟蹤、虛擬控制和濾波誤差設(shè)計(jì)線性動態(tài)滑模面，改進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)控制律的切換控制項(xiàng)，提高滑模趨近速度，同時(shí)降低系統(tǒng)輸出抖振。定義了Lyapunov函數(shù)，證明系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真實(shí)驗(yàn)對比了比例積分微分(proportion integration differentid,PID)控制和傳統(tǒng)滑模控制算法，結(jié)果表明，該方法能夠快速、準(zhǔn)確地跟蹤給定位置信號，同時(shí)具有較好的魯棒性。

一階低通濾波器；滑模變結(jié)構(gòu)；反步法；直流電機(jī)；位置控制

0 引 言

直流電機(jī)具有力矩系數(shù)大、過載能力強(qiáng)、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)[1]，良好的機(jī)械性能和調(diào)速性能使其廣泛應(yīng)用于工業(yè)和制造業(yè)領(lǐng)域[2]，但內(nèi)部參數(shù)時(shí)變、非線性使得進(jìn)行位置伺服控制設(shè)計(jì)較為復(fù)雜[3]。

滑模變結(jié)構(gòu)算法進(jìn)行位置控制具有較強(qiáng)的魯棒性，但存在控制精度不夠高、輸出抖振等問題[4]。為滿足位置控制精度和魯棒性的要求，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行大量研究。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了基于非奇異終端滑模的負(fù)載觀測器，并將觀測值動態(tài)補(bǔ)償?shù)诫姍C(jī)控制中；文獻(xiàn)[6]提出自適應(yīng)增益調(diào)度算法，在增益調(diào)度中采用誤差主導(dǎo)增益變化率，確保增益的實(shí)時(shí)性，進(jìn)行位置伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[7]提出基于超螺旋滑模輪廓控制與二次型最優(yōu)化位置控制結(jié)合的控制策略，用于直流電機(jī)高精度位置控制；文獻(xiàn)[8]針對電機(jī)參數(shù)時(shí)變，設(shè)計(jì)自適應(yīng)律對匹配不確定性進(jìn)行在線估計(jì)，進(jìn)而設(shè)計(jì)電流控制器；文獻(xiàn)[9]將模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)智能算法用于整定滑?？刂破鲄?shù)，逼近直流電機(jī)未建模部分。但目前仍存在控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，系統(tǒng)實(shí)時(shí)性較差和控制精度與系統(tǒng)魯棒性不可兼得等缺點(diǎn)。

本文提出的基于一階低通濾波器滑模反步法的位置跟蹤控制算法，在系統(tǒng)擾動未知情況下，通過一階低通濾波器計(jì)算虛擬控制項(xiàng)導(dǎo)數(shù)，并對此造成的相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償；通過滑模反步法設(shè)計(jì)控制器，定義線性動態(tài)滑模面和對控制切換項(xiàng)的改進(jìn)能夠很大程度減小系統(tǒng)輸出抖振，加快系統(tǒng)響應(yīng)速度，提高控制精度。

1 直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型

直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型可以用電機(jī)的電樞電壓平衡方程(不考慮電樞電流發(fā)生變化時(shí)電樞回路產(chǎn)生電抗壓降)、輸出轉(zhuǎn)矩平衡方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程來描述[10]

u=Ri+ue=Ri+ceφn=Ri+keω

(1)

(1)式中：u為電樞兩端電壓；R為電樞回路總電阻；i為電樞回路電流；ue為感應(yīng)電動勢；φ為磁通；ce,ke為反電動勢系數(shù)；n為轉(zhuǎn)子速度；ω為轉(zhuǎn)子角速度。

(2)

(2)式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Tr為各種干擾轉(zhuǎn)矩總和；B為阻尼系數(shù)；J為電機(jī)輸出軸的轉(zhuǎn)動慣量。

Te=kTi

(3)

(3)式中，kT為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

(4)

令x1表示電機(jī)轉(zhuǎn)子角位移；x2表示電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度，則電機(jī)運(yùn)行的狀態(tài)方程為

(5)

2 一階低通濾波器滑模反步法

2.1 一階低通濾波器

當(dāng)τ很小時(shí)，可以將e-τs進(jìn)行一階泰勒級數(shù)展開，略去高次項(xiàng)得

(6)

由(6)式可知，一階低通濾波器存在相位滯后，需要進(jìn)行相位補(bǔ)償，補(bǔ)償后的濾波器動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 補(bǔ)償后的一階低通濾波器Fig.1 Compensated one-order low pass filter

由圖1和(6)式可得補(bǔ)償后的低通濾波器傳遞函數(shù)為

(7)

2.2 控制律設(shè)計(jì)

直流電機(jī)位置跟蹤伺服系統(tǒng)擾動主要為負(fù)載受到未知干擾轉(zhuǎn)矩影響。

假設(shè)位置跟蹤指令為xd。

Step 1 定義位置跟蹤誤差為

(8)

Step 2 定義

(9)

定義Lyapunov函數(shù)

(10)

則

(11)

(12)

滿足

(13)

Step 4 設(shè)計(jì)線性動態(tài)滑模面s=e2。

Step 5 考慮位置跟蹤、虛擬控制和濾波誤差，定義Lyapunov函數(shù)

(14)

則

(15)

Step 6 設(shè)計(jì)滑?？刂坡捎傻刃Э刂祈?xiàng)和切換控制項(xiàng)組成[11]，即

(16)

(17)

(18)

(17)～(18)式中：sgn()為符號函數(shù)；c2為大于0的常數(shù)；η為大于|R(x,t)|的常數(shù)。

(19)

用改進(jìn)的飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s)，δ為邊界層厚度[12]。采用sat(s)代替sgn(s)，優(yōu)勢在于在邊界層外進(jìn)行切換控制，通過指數(shù)計(jì)算使系統(tǒng)快速趨近于滑模面，在邊界層內(nèi)進(jìn)行反饋控制，降低滑動模態(tài)切換時(shí)產(chǎn)生的抖振[13]。

2.3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(20)

則此時(shí)K有界，記為N即N≥|K|。

設(shè)L=e2(-ηsgn(e2)+R(x,t))，當(dāng)e2≥0時(shí)，L=-ηe2+R(x,t)e2；當(dāng)e2<0時(shí)，L=ηe2+R(x,t)e2，由于η≥|R(x,t)|，則一直滿足L≤0。

將(16)式代入(15)式得

(21)

則

(22)

(23)

(23)式中，α為任意常數(shù)。

(24)

則

(25)

(25)式中，V(t)漸進(jìn)收斂，即位置跟蹤伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂，收斂精度取決于r。

通過合理選擇c1，c2，τ，η，r參數(shù)能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。

3 位置控制系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)控制器的性能，用simulink進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真實(shí)驗(yàn)的電機(jī)參數(shù)如表1所示，滑模變結(jié)構(gòu)控制器參數(shù)如表2所示，仿真模型如圖2所示，對比組采用傳統(tǒng)滑?？刂坪捅壤e分微分(proportion integration differential，PID)控制，控制器參數(shù)為P=13,I=30,D=6。

表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Motor parameters

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Controller parameters

圖2 Simulink仿真模型Fig.2 Simulation model

對正弦信號進(jìn)行位置跟蹤，取位置給定信號xd=50 sint，電機(jī)負(fù)載加入隨機(jī)擾動，隨機(jī)擾動值[-20,20]，仿真結(jié)果如圖3所示。本文算法在給定位置信號到達(dá)峰值時(shí)，跟蹤超調(diào)0.6%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，位置跟蹤相對誤差0.4%，位置跟蹤存在0.01 s相位滯后，在0.2 s內(nèi)完全跟蹤給定速度信號，系統(tǒng)穩(wěn)定后，速度跟蹤相對誤差0.3%。PID算法在給定位置信號到達(dá)峰值時(shí)，跟蹤超調(diào)1.9%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，位置跟蹤相對誤差1.2%，位置跟蹤存在0.01 s相位滯后，在1.6 s內(nèi)完全跟蹤給定速度信號，系統(tǒng)穩(wěn)定后，速度跟蹤相對誤差1%。傳統(tǒng)滑模算法在給定位置信號到達(dá)峰值時(shí)，跟蹤超調(diào)0.8%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，存在較大抖動，位置跟蹤相對誤差2.3%，位置跟蹤存在0.01 s相位滯后，在0.5 s內(nèi)完全跟蹤給定速度信號，系統(tǒng)存在抖振。

圖3 正弦信號跟蹤仿真Fig.3 Sine signal tracking simulation

對固定位置信號進(jìn)行跟蹤，取位置信號為固定值xd=50，電機(jī)負(fù)載加入隨機(jī)擾動，隨機(jī)擾動值[-20,20]，仿真結(jié)果如圖4所示。本文算法在2 s內(nèi)完全跟蹤給定信號，系統(tǒng)輸出無超調(diào)量，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差0.002 5rad。PID算法在2 s內(nèi)完全跟蹤給定信號，系統(tǒng)輸出存在較大超調(diào)量，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差0.005 rad。傳統(tǒng)滑模算法在2.5 s內(nèi)完全跟蹤給定信號，系統(tǒng)存在抖振。

對三角波信號進(jìn)行位置跟蹤，電機(jī)負(fù)載加入隨機(jī)擾動，隨機(jī)擾動值[-20,20]，仿真結(jié)果如圖5所示。本文算法位置跟蹤存在0.005 s相位滯后，給定位置信號斜率突變時(shí)超調(diào)0.4%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差0.9%。PID算法位置跟蹤存在0.013 s相位滯后，給定位置信號斜率突變時(shí)超調(diào)2%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差2.6%。傳統(tǒng)滑模算法位置跟蹤存在0.009 s相位滯后，給定位置信號突變時(shí)超調(diào)1%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差1.5%。本文算法速度跟蹤，在速度信號突變時(shí)超調(diào)2%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差0.7%。PID算法速度跟蹤，在速度信號突變時(shí)超調(diào)19%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差4%。傳統(tǒng)滑模算法速度跟蹤，在速度信號突變時(shí)超調(diào)8%，系統(tǒng)穩(wěn)定后，穩(wěn)態(tài)誤差1.2%。

圖4 固定位置信號跟蹤仿真Fig.4 Fixed position signal tracking simulation

圖5 三角波信號跟蹤仿真Fig.5 Triangular wave signal tracking simulation

進(jìn)行直流電機(jī)位置控制，與PID算法和傳統(tǒng)滑模相比，本文算法在位置信號突變時(shí)具有較小的超調(diào)量，系統(tǒng)穩(wěn)定后跟蹤誤差較小，控制精度較高，在持續(xù)加入變化擾動時(shí)，仍具有較好跟蹤性能，具有較好的魯棒性。

4 結(jié) 論

針對直流電機(jī)位置控制系統(tǒng)存在負(fù)載擾動問題，提出了一種一階低通濾波器滑模反步控制算法。通過一階低通濾波器計(jì)算虛擬控制項(xiàng)導(dǎo)數(shù)，并對由此造成的相位滯后進(jìn)行補(bǔ)償。通過滑模反步法進(jìn)行虛擬控制實(shí)現(xiàn)實(shí)際位置控制，結(jié)合線性動態(tài)滑模面和改進(jìn)控制切換項(xiàng)的方法降低系統(tǒng)的抖振，減小穩(wěn)態(tài)誤差。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠有效跟蹤各類給定位置信號，響應(yīng)速度較快，跟蹤精度較高，同時(shí)對外加不確定的負(fù)載擾動和系統(tǒng)參數(shù)變化不敏感，具有較強(qiáng)的魯棒性。

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(編輯：劉 勇)

s：The Natural Science Foundation of China(51575097)；The Heilongjiang Natural Science Foundation(E201403)

The position control system of DC-motor has low control precision，low respond speed and poor robustness when the load disturbance occurs. In order to solve the problems, a position control method based on one-order low pass filter backstepping sliding mode is proposed. Real position control is realized by virtual control in the sliding mode backstepping method. The derivative of virtual control item is calculated by one-order low pass filter which removes differential expansion and makes it simple to design the controller. The phase lag caused by one-order low pass filter is compensated by feedforward. According to position trailing, virtual control and filtering error, linear dynamic surface is designed and the switching control item is improved to quicken the approach velocity and reduce chattering. The stability of the system is demonstrated by Lyapunov stability theory. Compared to PID control and traditional sliding mode control, the simulation result shows that the method has good robustness and can track the position signal quickly and accurately.

DC-motor; one-order low pass filter; backstepping; sliding mode variable structure; position control

2017-01-18

2017-05-27 通訊作者：奚文龍 xiwenlongyouxiang@163.com

國家自然科學(xué)基金(51575097)；黑龍江省自然科學(xué)基金(E201403)

10.3979/j.issn.1673-825X.2017.04.019

TP273

A

1673-825X(2017)04-0550-07

Position control of DC-motor based on one-order lowpass filter backstepping sliding mode method

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, P.R. China)

奚文龍(1992-)，男，遼寧沈陽人，碩士生，主要研究方向?yàn)橹悄芸刂?。E-mail:xiwenlongyouxiang@163.com。

唐文秀(1964-)，女，黑龍江哈爾濱人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄芸刂?。E-mail:751664822@qq.com。

許李尚(1993-)，男，河南鄭州人，碩士生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)電一體化。

劉方悅(1990-)，男，黑龍江哈爾濱人，碩士生，主要研究方向?yàn)橹悄軅鞲衅鳌?/p>

XI Wenlong, TANG Wenxiu, XV Lishang, LIU Fangyue