林東東

【摘 要】 三角函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一。通過(guò)研討三角最值問(wèn)題的解題思路，一方面可以對(duì)與其相關(guān)的知識(shí)鏈起到復(fù)習(xí)鞏固作用，另一方面又可以在用數(shù)學(xué)思想方法解題過(guò)程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)思維能力。并且這類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，靈活性大，它往往與二次函數(shù)、三角函數(shù)圖像、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)聯(lián)系在一起，有一定的綜合性.這類問(wèn)題的解決涉及到化歸、轉(zhuǎn)換等重要的數(shù)學(xué)思想，掌握這類問(wèn)題的求解策略，不僅能加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還能提高數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)；最值

一、化為 的形式

例1.求函數(shù) 的最大值。

∴函數(shù)f（x）的最大值為 ，最小值為

反思總結(jié)：利用輔助角公式，容易求得函數(shù)的最值。

二、轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)

1.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

例2.求函數(shù) 的值域。

解：原式化為

令 ，則 ，由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)t=- 時(shí)，y = ，當(dāng)t=1時(shí)，y =5

反思總結(jié)：將函數(shù)表達(dá)式化為二次函數(shù)時(shí)一定要注意不能忽略函數(shù)的定義域的變化。

2.轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)

例3.求函數(shù)y= 在區(qū)間（0，π）上的最大值。

解

= ，令t=tan ，則y= ，x∈（0，π）， ∈（0， ），∴tan ∈（0，+∞），即t∈（0，+∞），∴ +t≥2 ，0< ≤ ∴當(dāng)t= 時(shí)，即tan = ，x= 時(shí)，函數(shù)y= 取得最大值 。

反思總結(jié)：將函數(shù)化為 （其中f（x）是三角函數(shù)），在利用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，如果等號(hào)取不到，則要化成y=t+ ，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)圖象求解。

三、利用幾何意義

例4.求函數(shù) 的最大值及最小值。

函數(shù) 的幾何意義為兩點(diǎn)p（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而 Q點(diǎn)的軌跡為單位圓，- ≤k≤ ，

故y =- ，y = ；

例5 求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值。

解

設(shè)A（1，-1），p（cosx，cos x），K =

即y為過(guò)P，A的斜率。所以要求函數(shù)y的最大值，只要求直線PA的斜率K 的最大值。因?yàn)閜（cosx，cos x）是拋物線y=x （ ≤x< ）上的動(dòng)點(diǎn)。

由圖觀察可知，當(dāng)點(diǎn)P落在坐標(biāo)（ ， ）時(shí)，斜率K = =- 為最大值，所以函數(shù)y= 的最小值大- 。

反思總結(jié)：若函數(shù)表達(dá)式可化為形如（其中為含有三角函數(shù)的式子）則可通過(guò)構(gòu)造直線的斜率，通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，利用其幾何意義來(lái)確定三角函數(shù)的最值。

四、利用整體思想求解

1.對(duì)于y= 型

應(yīng)對(duì)策略：反解出sinx，由正弦函數(shù)的有界性|sinx|≤1；或可用分析法求最值。

例6.求函數(shù)y= 求最值。

利用求反函數(shù)法解出sinx= ，由，解得-2≤y≤- ，故y =-2，y =- 。

綜上所述，三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，用三角函數(shù)的特征加上函數(shù)的思想就是求解三角函數(shù)最值的常用策略。求三角函數(shù)的最值，要仔細(xì)觀察函數(shù)的特征，聯(lián)系已有的函數(shù)知識(shí)，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。求三角函數(shù)的最值，要特別注意角的范圍，要善于總結(jié)，勤于反思。具體做到以下幾點(diǎn)：

1.合理轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)性質(zhì)，或轉(zhuǎn)化為邊緣函數(shù)。

2.對(duì)于比較復(fù)雜的復(fù)合三角函數(shù)，難以直接運(yùn)用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，抓住結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用幾何意義求解。

3.利用整體思想，運(yùn)用三角函數(shù)有界性求解。