自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)在軌跡跟蹤上的應(yīng)用

王子瑜，李 君，王海濤，宋敬群

自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)在軌跡跟蹤上的應(yīng)用

王子瑜，李 君，王海濤，宋敬群

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

針對高超聲速飛行器（hypersonic reentry vehicle, HRV）軌跡跟蹤問題，提出一種自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)軌跡跟蹤方法。首先，基于最優(yōu)化理論設(shè)計(jì)全程滑模面，使系統(tǒng)的軌線一開始便落在切換面上；其次，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制與自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法，根據(jù)辨識結(jié)果自動(dòng)調(diào)整控制律，在保證穩(wěn)定性的同時(shí)削弱抖振；最后，采用Lyapunov定理證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在一定的干擾作用下，將所設(shè)計(jì)的跟蹤算法進(jìn)行數(shù)值仿真，通過與二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator，LQR）跟蹤算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了控制器的有效性。

高超聲速飛行器；全程滑模變結(jié)構(gòu)控制；自適應(yīng)控制；最優(yōu)化理論

0 引 言

臨近空間飛行器具有飛行速度快、飛行空域廣、響應(yīng)時(shí)間快的特點(diǎn)，不但突防能力強(qiáng)，而且能夠?qū)崿F(xiàn)快速機(jī)動(dòng)部署，易于適應(yīng)戰(zhàn)場形勢變化需要，近年來備受各國關(guān)注[1]，但是飛行器的氣動(dòng)特性和大氣環(huán)境隨著飛行狀態(tài)的變化將發(fā)生較大的變化[2]，成為跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)面臨的重要問題。再入制導(dǎo)分為兩個(gè)部分：縱向標(biāo)準(zhǔn)軌跡的設(shè)計(jì)和軌跡跟蹤。Harpold在阻力加速度-速度平面設(shè)計(jì)了一個(gè)用于航天飛機(jī)的跟蹤制導(dǎo)律，通過僅調(diào)整傾側(cè)角完成了對標(biāo)準(zhǔn)軌跡的跟蹤[3]，成為再入制導(dǎo)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。

為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的自主、自適應(yīng)以及魯棒性，很多學(xué)者在軌跡跟蹤方面做了大量的研究。Dukeman利用線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator， LQR）設(shè)計(jì)了一個(gè)時(shí)變的反饋跟蹤控制器，通過同時(shí)調(diào)整攻角與傾側(cè)角在不同的初始條件下完成了對高度、速度和彈道傾角的同時(shí)跟蹤[4]。但是這種方法一方面對精確數(shù)學(xué)模型依賴性大，另一方面當(dāng)氣動(dòng)參數(shù)等發(fā)生較大變化時(shí)，魯棒性較差。

滑模變結(jié)構(gòu)控制（Sliding Mode Control，SMC）由于具有動(dòng)態(tài)品質(zhì)好、控制精度高、魯棒性強(qiáng)、干擾抑制能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，成為一種控制不確定系統(tǒng)的有效方法[5]。從20世紀(jì)50年代蘇聯(lián)學(xué)者Emelyanov提出變結(jié)構(gòu)控制方案起[6]，滑模變結(jié)構(gòu)以其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、工業(yè)控制、航空航天等控制領(lǐng)域[7,8]。但是，控制系統(tǒng)對不確定性的魯棒性僅體現(xiàn)在滑動(dòng)模態(tài)階段，而系統(tǒng)在處于趨近模態(tài)階段時(shí)，對系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾較為靈敏，同時(shí)變結(jié)構(gòu)帶來的抖振現(xiàn)象成為滑模變結(jié)構(gòu)控制理論研究的重要內(nèi)容。

因此，為了更好地提高系統(tǒng)魯棒性，本文采用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法進(jìn)行跟蹤制導(dǎo)，在變結(jié)構(gòu)控制律中引入時(shí)變因子項(xiàng)，優(yōu)化了滑模面的設(shè)計(jì)，消除了趨近階段，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)到平衡點(diǎn)具有全過程魯棒性。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合自適應(yīng)方法對系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計(jì)，大大減小了變結(jié)構(gòu)的抖振現(xiàn)象。

1 滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

考慮地球?yàn)椴恍D(zhuǎn)圓球時(shí)，高超聲速飛行器在航跡坐標(biāo)系中相關(guān)無動(dòng)力滑翔的無量綱質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為[9]

式中 r為地心距，無量綱化因子為地球半徑R0=6 378 km；V為地球相對速度，無量綱化因子為側(cè)角；L，D分別為升力加速度和阻力加速度，L=ρ(VcV)2SrefCL/(2mg0)，D=ρ(VcV)2SrefCD/(2mg0)，均為控制變量攻角α的函數(shù)，其中，ρ為大氣密度，Sref為高超聲速飛行器參考面積，m為高超聲速飛行器的質(zhì)量，CL，CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)。

整個(gè)滑翔階段的標(biāo)準(zhǔn)軌跡用r*，V*和γ*表示，名義控制量攻角、傾側(cè)角用α*和σ*表示，本文的目的就是設(shè)計(jì)一個(gè)具有魯棒性的軌跡跟蹤控制器，通過同時(shí)調(diào)整攻角與傾側(cè)角，在氣動(dòng)參數(shù)發(fā)生大范圍攝動(dòng)的情況下完成對標(biāo)準(zhǔn)軌跡的跟蹤。

定義x=[r Vγ]T?[r*V*γ*]T∈R3為狀態(tài)偏差，（1）進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，有：

式中

為升、阻力加速度對r，V，α的偏導(dǎo)數(shù)。最終縱向軌跡跟蹤控制變量為

式（3）中的σ符號由類似航天飛機(jī)的橫向制導(dǎo)方法決定，即設(shè)置隨速度變化的航向角誤差走廊，當(dāng)航向角誤差達(dá)到走廊邊界時(shí)進(jìn)行傾側(cè)角符號的反向，使航向角誤差有所減小。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)描述

考慮下列非線性不確定被控系統(tǒng)：

式中 x(t)∈R3為狀態(tài)變量；u(t)∈R2為控制變量，ΔA∈R3×3，ΔB∈R3×2為參數(shù)攝動(dòng)矩陣；f為外界干擾及模型誤差。

對于此系統(tǒng)作如下假設(shè)：

假設(shè)1：ΔA( x,t)，ΔB( x,t)均為Lebesgue可測，對任意時(shí)間連續(xù)有界，ΔA˙( x,t)，ΔB˙( x,t)一致有界。

假設(shè)2：存在矩陣A′，B′，f′使得ΔA=BA′，ΔB=BB′，Δf=Bf′。

假設(shè)3：存在正常數(shù)?a，?b，?f，使得ΔA≤?a，

考慮到A和B形式，式（2）可寫成：

2.2 全程滑模面的設(shè)計(jì)

為了使系統(tǒng)軌跡一開始就落在滑模面上，因此引入一個(gè)隨時(shí)間變化的全程滑模因子()tW，設(shè)計(jì)滑模切換函數(shù)為

式中 C1，C2為滑模設(shè)計(jì)參數(shù)，保證滑模面上系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定，C1＞0，C2＞0。不失一般性，選擇C2=I2。Re(βi)＞0(i =1,2,3)是全程滑動(dòng)因子，使得系統(tǒng)狀態(tài)開始就能處于滑模面上。

2.2.1 滑模參數(shù)矩陣C的設(shè)計(jì)

在滑模面上，將S=0代入式（7）得：則，系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)方程為

式（9）描述的系統(tǒng)標(biāo)稱方程為

為了優(yōu)化滑模面上狀態(tài)的動(dòng)態(tài)特性，設(shè)計(jì)性能指標(biāo)為

式中 Q為狀態(tài)加權(quán)矩陣。

由于在滑動(dòng)模態(tài)優(yōu)化問題中，滑動(dòng)模的運(yùn)動(dòng)與控制量無關(guān)，因此取=R0，則式（11）可寫成：

為了將最優(yōu)滑動(dòng)模設(shè)計(jì)問題寫成二次性能指標(biāo)下的一般形式，引入新的變量：

則，性能指標(biāo)改寫為

相應(yīng)的標(biāo)稱滑動(dòng)模方程為

由最優(yōu)控制理論，在滑動(dòng)模方程式（13）中，作為控制作用的向量υ其最優(yōu)選擇為

式中 P為下列Riccati方程的唯一解：

則有：

2.2.2 滑模移動(dòng)參數(shù)iβ的設(shè)計(jì)

在全程滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，1x的運(yùn)動(dòng)特性由滑模參數(shù)矩陣C的設(shè)計(jì)來保證，而2x的期望運(yùn)動(dòng)特性由滑模移動(dòng)參數(shù)iβ來確定。

由式（7）以及=S0，有：

由式（10）可知系統(tǒng)期望的滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)為

式中 λ1為矩陣(A11?A12C1)的特征值。

結(jié)合式（15）、式（16），故而設(shè)計(jì)：

可以通過選擇合適的2β和3β，使2x按照所期望的運(yùn)動(dòng)特性運(yùn)動(dòng)。

2.3 全程滑模態(tài)結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計(jì)

第2.2節(jié)中，滑模面的設(shè)計(jì)保證了系統(tǒng)在滑模面時(shí)具有魯棒性。此節(jié)中將設(shè)計(jì)一個(gè)控制律在系統(tǒng)受到外界干擾及由于參數(shù)攝動(dòng)而偏離滑模面時(shí)，能夠在有限的時(shí)間內(nèi)重新回到并且可靠地保持在滑模面上。

將假設(shè)2代入式（4），有：

式中 E為系統(tǒng)不確定性總和，E=A′ x+B′ u+f′。

設(shè)計(jì)自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制律為

式中 H=diag [?β1?β2?β3]；ε為一個(gè)很小的正常數(shù)；K為常數(shù)對角陣；E?為對不確定性總和E的估計(jì)，自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)為

式中 η=diag[η1η2η3],ηi＞0(i=1,2,3)

定理：對于不確定系統(tǒng)式（4）與切換函數(shù)式（7），如果滿足假設(shè)1至假設(shè)3，在控制律式（19）的作用下漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：選擇Lyapunov函數(shù)，有：

式中 E~=E??E。

由式（7）、式（18）至式（20）得：

所以，有V˙＜0（?S≠0）

由式（22）可見E?能夠收斂到E，S能夠收斂到0。

從S的定義式（7）可以看出，在有限時(shí)間內(nèi)不確定系統(tǒng)的跟蹤誤差x能夠漸近收斂至0。

因此，系統(tǒng)在Lyapunov意義下漸近穩(wěn)定。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證上述控制方法的有效性，分別利用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)與LQR方法進(jìn)行仿真，滑翔段射程為5 000 km。

初始以及終端條件為

氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)為

圖1至圖3為在氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)時(shí)采用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的參考軌跡與實(shí)際軌跡的對比。從圖中可以看出即使氣動(dòng)參數(shù)存在大范圍的不確定性，實(shí)際軌跡仍能較好跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡。

圖1 高度跟蹤曲線

圖2 速度跟蹤曲線

圖3 彈道傾角跟蹤曲線

表1給出了分別采用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法與LQR控制方法的終端誤差對比。從表中數(shù)據(jù)可以看出自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法具有更好的跟蹤效果，尤其是在速度狀態(tài)的跟蹤方面具有更強(qiáng)的適應(yīng)能力與魯棒性。

圖4、圖5給出了采用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的控制變量曲線，從圖中可以看出采用上述的控制策略使得由變結(jié)構(gòu)帶來的抖振現(xiàn)象大大減小。

表1 仿真數(shù)值結(jié)果

圖4 攻角曲線

圖5 傾側(cè)角曲線

4 結(jié) 論

針對滑翔段軌跡跟蹤問題本文提出了一種新型的自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，采用自適應(yīng)控制器在線辨識系統(tǒng)的不確定性誤差，有效地減小了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了在存在參數(shù)攝動(dòng)以及模型不確定性的情況下系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并通過數(shù)值仿真，得到以下結(jié)論：a）在存在氣動(dòng)參數(shù)大范圍攝動(dòng)的情況下，采用自適應(yīng)全程滑模變結(jié)構(gòu)跟蹤控制方法能較好的跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡，與LQR方法相比，跟蹤誤差大大減小，魯棒性大大增強(qiáng)。

b）采用自適應(yīng)控制理論，系統(tǒng)抖振得到有效減弱，使跟蹤控制器更易于實(shí)現(xiàn)。

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Application of Adaptive Global Sliding Mode Control Method in Trajectory Tracking

Wang Zi-yu, Li Jun, Wang Hai-tao, Song Jing-qun
(Beijing Ιnstitute of Astronautical System Engineering, Beijing, 100076）

A trajectory tracking guidance control law is proposed based on the theory of adaptive global sliding mode control, which can help solve the problem of trajectory tracking for HRV. Firstly, a global sliding mode surface is designed based on optimization theory, which guarantees the sliding mode motion of the system lie on the sliding surface at the beginning. Secondly, an adaptive reaching law is incorporated to estimate the system uncertainties, so that the chattering phenomenon is effectively relaxed. Finally, the robustness of the system is proofed by Lyapunov theory. Numerical simulations demonstrated the capability and effectiveness of the proposed method under the condition of aerodynamic data perturbations.

Hypersonic vehicle; Global sliding mode control; Adaptive control; Optimization theory

V448.235

A

1004-7182(2017)04-0059-05

DOΙ：10.7654/j.issn.1004-7182.20170414

2016-09-06；

2016-09-28

王子瑜（1985-），男，工程師，主要研究方向?yàn)殡姎庀到y(tǒng)總體設(shè)計(jì)