樊 守 芳

(綏化學(xué)院信息工程學(xué)院， 黑龍江 綏化 152061)

變指數(shù)非線性遞歸數(shù)列的極限問題

樊 守 芳

(綏化學(xué)院信息工程學(xué)院， 黑龍江 綏化 152061)

遞歸數(shù)列; 非線性; 斂散性; 初始值

證明

令

則M≥1,0≤b<1,M-1≤FN+i≤M,i=0,1,2,…,p-1。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)自然數(shù)m，有M-bm≤Fmp+i≤Mbm，1≤i≤p。

(Ⅰ) 當(dāng)m=0時(shí)，結(jié)論顯然成立。

(Ⅱ) 假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，有M-bk≤Fkp+i≤Mbk，1≤i≤p成立。

又知

所以

M-bk+1≤F(k+1)p+1≤Mbk+1

成立。

② 當(dāng)i=2時(shí)，由歸納假設(shè)及上述結(jié)論知

所以

M-bk+1≤F(k+1)p+2

≤Mbk+1

同理, 當(dāng)i=3,4,…,p時(shí)，也有

M-bk+1≤F(k+1)p+i≤Mbk+1

成立。

綜上討論可知, 對(duì)于m∈N，有

M-bm≤Fmp+i≤Mbm，1≤i≤p

成立。

又0

所以

得

所以

且

得

推論2 設(shè)

得

在此需說明的是，若將結(jié)果中的bi(n)換為常數(shù)bi,i=1,2,…,p,便可得到文獻(xiàn)[1]、 [2]中的所有結(jié)論。

[1] 樊守芳.一類非線性遞歸序列的極限[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(2):146-148.

[2] 樊守芳.非線性遞歸數(shù)列的極限[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,28(1):182-185.

[3] 樊守芳.變系數(shù)非線性遞歸序列的極限[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2012,42(20):239-244.

[4] 樊守芳.一類變系數(shù)非線性遞歸序列的極限[J].河南科學(xué),2013,31(11):1482-1485.

[5] 王繼成,樊守芳，管紹賢，等.一類遞推數(shù)列斂散性數(shù)學(xué)軟件的實(shí)現(xiàn)[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,18(1):118-120.

On the Limit of Nonlinear Recurrent Sequences With Exponential Change

FANShoufang

(School of Information Engineering, Suihua University, Suihua Heilongjiang 152061, China)

2017-05-23

2013年黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目“變系數(shù)非線性遞歸序列性質(zhì)的研究”(12531841)

樊守芳(1965 — )，男，黑龍江肇東市人，碩士，副教授，研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué)與函數(shù)論。

O

A

1673-1980(2017)04-0122-03