含微裂紋懸臂梁摩擦阻尼分析研究

莫佳亮

【摘 要】本文的研究對(duì)象是含微裂紋均質(zhì)懸臂梁結(jié)構(gòu)摩擦阻尼，本文通過(guò)理論和仿真分析兩方面，先后建立一種含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型和含有規(guī)則裂紋的懸臂梁模型，得到的結(jié)果對(duì)于研究含微裂紋的低粘性材料結(jié)構(gòu)具有一定的參考依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】阻尼；摩擦耗能；細(xì)觀力學(xué)；微裂紋

結(jié)構(gòu)的噪聲、振動(dòng)等動(dòng)態(tài)響應(yīng)會(huì)直接受阻尼等動(dòng)態(tài)特性的影響，因此在結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析中應(yīng)充分考慮其特性。結(jié)構(gòu)中的阻尼既可來(lái)源于外部的阻力，也可來(lái)源于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散。根據(jù)結(jié)構(gòu)的材料特性及工作環(huán)境，阻尼機(jī)理一般可以分為以下幾種：（1）材料自身的粘彈特性；（2）界面相的阻尼（主要針對(duì)復(fù)合材料）；（3）損傷引起的阻尼；（4）粘塑性阻尼；（5）熱彈性阻尼。在上述幾種阻尼機(jī)理中，絕大多數(shù)的阻尼研究都集中于第一種。

損傷對(duì)阻尼的影響，主要可以分為兩部分，第一部分為裂紋面上的動(dòng)摩擦作用而引起的能量損耗，第二部分為裂紋開(kāi)裂和擴(kuò)展時(shí)，形成新裂紋面所吸收的能量。此外，當(dāng)損傷大量存在且損傷尺寸較大時(shí)，結(jié)構(gòu)的整體受力也會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的阻尼特性。以往的阻尼研究中，雖然會(huì)涉及到損傷對(duì)于阻尼的影響，但很少會(huì)直接給出損傷與阻尼的量化關(guān)系。

1 理論模型

在阻尼特性研究中，阻尼多用比阻尼容量ψ來(lái)表征，其表達(dá)式如下

當(dāng)外載荷為循環(huán)交變載荷時(shí)，微裂紋就會(huì)處于周期性的張開(kāi)閉合交替狀態(tài)。當(dāng)裂紋閉合時(shí)，根據(jù)II型裂紋的裂尖位移場(chǎng)，可得到裂紋兩個(gè)面的相對(duì)位移，表達(dá)式如下

式中，G為材料剪切模量。κ=（3-v）/（1+v），v為材料泊松比。βa為裂尖奇異性主導(dǎo)區(qū)域半徑，0<β<1，本文β取0.5。r為裂紋面上任一點(diǎn)至較近一端裂尖的距離，a為裂紋半長(zhǎng)。KⅡ'為裂紋面上摩擦力和單胞邊界載荷共同作用時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，其表達(dá)式如下

式中，σN是接觸壓力峰值?！?〉為單邊符號(hào)，當(dāng)符號(hào)內(nèi)表達(dá)式值為負(fù)時(shí)，結(jié)果為零，此時(shí)裂紋處于靜摩擦狀態(tài)；而當(dāng)該符號(hào)內(nèi)表達(dá)式值為正時(shí)，結(jié)果取原值，此時(shí)裂紋處于動(dòng)摩擦狀態(tài)。

當(dāng)裂紋面閉合時(shí)，裂紋面上的接觸壓力可視為在裂紋面上均為分布，并等于方向的單胞邊界載荷。而當(dāng)裂紋張開(kāi)時(shí)，此時(shí)裂紋面上無(wú)接觸壓力。當(dāng)在單胞邊界上施加周期性對(duì)稱正弦載荷時(shí)，微裂紋面上的接觸壓力可表達(dá)為

因單胞內(nèi)部存在裂紋，當(dāng)單胞的剪切和拉伸變形同時(shí)達(dá)到最大時(shí)，單胞的應(yīng)變能達(dá)到最大。但在本文中，由于裂紋的尺寸較小，不討論裂紋對(duì)于應(yīng)變能的影響。

因忽略微裂紋對(duì)應(yīng)力分布的影響，懸臂梁的宏觀應(yīng)力分量可直接由彈性力學(xué)得到

式中，q為施加在懸臂梁上表面的周期性對(duì)稱正弦均布載荷，L和h分別為懸臂梁的長(zhǎng)和高，如圖1。通過(guò)轉(zhuǎn)換公式將應(yīng)力分量從整體坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換至局部坐標(biāo)系下，作為單胞模型的邊界載荷，就能得到單條裂紋在一個(gè)載荷周期內(nèi)的摩擦耗能。將所有裂紋的摩擦耗能疊加，就能得到一個(gè)載荷周期內(nèi)整個(gè)懸臂梁的摩擦耗能Efr，其表達(dá)式為

其中，下標(biāo)“j”表示第j條裂紋，Nc為懸臂梁中微裂紋總數(shù)量。F為應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)，為修正相鄰裂紋之間的相互影響，其數(shù)值可在應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)上查到。

懸臂梁的應(yīng)變能可通過(guò)將應(yīng)變能密度積分得到，最后得到整個(gè)懸臂梁的摩擦阻尼。

2 仿真分析

建立如圖2的有限元單胞模型，為驗(yàn)證單胞模型的準(zhǔn)確性，有限元模型計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)的理論模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，材料參數(shù)和摩擦系數(shù)見(jiàn)表1。

從表2中可以看到，理論模型的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果有著較好的一致性。同時(shí)，摩擦耗能隨著裂紋長(zhǎng)度的增大而增大，并接近成二次關(guān)系。

為驗(yàn)證懸臂梁模型的準(zhǔn)確性，建立有限元模型與相應(yīng)的理論模型進(jìn)行對(duì)比。懸臂梁的長(zhǎng)度為1000mm，高度為200mm。兩排的長(zhǎng)度、角度、間距均相同的微裂紋對(duì)稱地預(yù)設(shè)在懸臂梁中面的兩側(cè)，每排共有8條微裂紋，分別假設(shè)了三種微裂紋的長(zhǎng)度（a=3mm，5mm，10mm），裂紋角度均取θ=π/4，應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)F均取1.01。均布載荷的峰值由0.05MPa遞增至0.5MPa。懸臂梁的材料參數(shù)和動(dòng)摩擦系數(shù)與單胞算例相同。圖3為分別由理論模型和有限元模型計(jì)算得到摩擦耗能Efr與均布載荷q的變化關(guān)系圖。

結(jié)果顯示，理論模型和仿真分析的計(jì)算結(jié)果有著很好的一致性，理論模型計(jì)算結(jié)果略低于仿真分析結(jié)果。此外圖3結(jié)果顯示，摩擦耗能Efr與均布外載荷q成二次關(guān)系。

懸臂梁摩擦阻尼ψfr的計(jì)算對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。

從表2中可以看到，理論模型計(jì)算得到的結(jié)果與仿真分析結(jié)果相對(duì)接近。同時(shí)，摩擦阻尼與裂紋半長(zhǎng)a成二次關(guān)系。對(duì)比球墨鑄鐵，Mg-Zn-Y-Zr合金的阻尼8.4E-3和1.3E-2，當(dāng)這些材料內(nèi)部存在微裂紋時(shí)，其阻尼會(huì)因摩擦作用而會(huì)顯著上升。

3 總結(jié)

常用的工程材料中都普遍存在著微裂紋。本章針對(duì)均質(zhì)材料，建立了一種可預(yù)測(cè)由微裂紋引起的摩擦阻尼模型，通過(guò)建立含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型，分析了裂紋長(zhǎng)度對(duì)于單胞摩擦耗能的影響?；诖藛伟Ｐ?，建立了含有規(guī)則裂紋的懸臂梁模型，研究了裂紋長(zhǎng)度和外載荷對(duì)于摩擦耗能和摩擦阻尼的影響。對(duì)比了常用工程材料的阻尼值，證明了對(duì)于低粘性的材料，例如鑄鐵等，由微裂紋引起的摩擦阻尼是不可忽略的。

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