鐘曉靜

【摘 要】計數(shù)器是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂必備的教具學(xué)具之一，常常用于數(shù)的認識、數(shù)的運算等數(shù)概念教學(xué)，其在幫助學(xué)生建構(gòu)十進制、位值制、計算法則等核心概念的學(xué)習(xí)中有著獨特的文化含義和價值。對比教材，可以發(fā)現(xiàn)“計數(shù)器模型”在低段新人教版教材中，尤其是計算單元，有所缺失。而事實上，“計數(shù)器模型”有助于教學(xué)目標的達成，促進數(shù)概念的發(fā)展。尤其是數(shù)概念教學(xué)的幾個關(guān)鍵節(jié)點處，計數(shù)器模型不能“缺席”。

【關(guān)鍵詞】計數(shù)器 數(shù)與計算 缺失 價值

一、研究緣起：一個“偽問題”引發(fā)的連串“真思考”

（一）緣起短信：“最多9顆”還是“最多10顆”？

一年級第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)階段，筆者收到了一條家長的咨詢短信（如圖1），本想立即回復(fù)，但越思考，越發(fā)覺得這個問題不好回答?！坝嫈?shù)器上每個數(shù)位最多能撥幾顆珠子？”9顆、10顆還是……

“9顆，因為10顆的話必須滿十進一了?！边@是一位百度網(wǎng)友的回答。站在成人的角度，不難理解家長的想法，最大的一位數(shù)是9，最大的兩位數(shù)是99，每個數(shù)位上的數(shù)字最大是9，多年傳統(tǒng)小學(xué)數(shù)學(xué)灌輸式的教育已在成人思維中留下根深蒂固的印象。但“數(shù)字”和“珠子”是一回事嗎？

這不禁讓筆者聯(lián)想起課堂中的一個情景：在教學(xué)一年級下“100以內(nèi)數(shù)的認識”這一課時，為突破拐彎數(shù)這一難點，筆者讓學(xué)生撥計數(shù)器數(shù)數(shù)，“29再撥一顆是幾，怎么撥？”學(xué)生千篇一律地直接將9顆珠子退掉，再在十位上添1顆珠子（如圖2）。學(xué)生真的理解“滿十進一”嗎？“滿十進一”是指當較小的計數(shù)單位累計到10個就用一個較大的計數(shù)單位來表示，前概念是“10個一是1個十”。在小棒捆扎數(shù)數(shù)中（如圖4），學(xué)生看似明白“10個一是十”“一捆就是一個十”，但在計數(shù)器撥數(shù)過程中，學(xué)生不是依據(jù)“滿十進一”完成的，而僅僅是唱數(shù)或背數(shù)的結(jié)果，正如學(xué)生知道29后面是30，39后面是40……

這讓筆者發(fā)現(xiàn)，用小棒表征數(shù)概念有不足之處，這里的“捆”是具體的、量化的“10根”，而計數(shù)器十位上的1顆珠子，已不是10的累積，這里的“1”顆不是具體的“10”，是抽象的“10”，是位值決定的“10”。正確的撥數(shù)過程應(yīng)如圖3，中間這一過程必不可少，這也讓筆者體會到計數(shù)器在表征數(shù)概念時（如圖5）有著不可替代的作用。

（二）再次思考：9顆不對，但10顆一定對嗎？

“滿十”才能“進一”，9顆必然不對，但10顆一定對嗎？從運算的角度來說，也不正確，尤其體現(xiàn)在進位加和退位減上，“計數(shù)器”在表征進位加和退位減時（如圖6、圖7），均有“滿十”“多于10”這一過程。

以“25-8”這一退位減法為例，個位“5-8”不夠減，向十位借1作10，此時個位上的珠子已有15顆珠子（如圖7）?！坝嫈?shù)器上每個數(shù)位最多能撥幾顆珠子”其實是個偽問題，計數(shù)器在表征數(shù)概念時，應(yīng)關(guān)注的是“個位上的1顆珠子表示1個一，十位上的1顆珠子表示1個十”，位置不同，數(shù)值因此不同，糾結(jié)于“最多能撥幾顆”此類問題毫無意義。

但此“偽問題”卻進一步引發(fā)了筆者對各種數(shù)的教學(xué)模型的價值思考。小棒、計數(shù)器、立方體……常常用于數(shù)的認識、數(shù)的運算等數(shù)概念教學(xué)中，“數(shù)的教學(xué)模型”是必要的，它是由具體實物抽象出數(shù)的概念和數(shù)符號的橋梁。但它們在表征數(shù)概念時，有著各自的優(yōu)點和不足（如表1）。

數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，多樣化的直觀模型有利于幫助學(xué)生從具體實物中抽象出數(shù)的符號，發(fā)展數(shù)的概念。從上表看出，小棒雖直觀，但對數(shù)的表征始終是建立在具體“數(shù)量”的基礎(chǔ)上，而無法體現(xiàn)“位值”的價值。相較于小棒，計數(shù)器屬于半抽象模型，抽象度更高，可彌補小棒在位值表征方面的不足。

二、反觀教材：計數(shù)器在人教版低段計算單元中的缺失現(xiàn)狀

越是思考，筆者越覺得計數(shù)器在幫助學(xué)生建構(gòu)十進制、位值制、計算法則等核心概念的學(xué)習(xí)中有著獨特的文化含義及價值。而反觀教材，是否意識到計數(shù)器在數(shù)概念教學(xué)中的重要作用呢？仔細翻閱新人教版和新北師大版教材之后，筆者發(fā)現(xiàn)對選用何種直觀模型表征數(shù)與運算，兩版教材有著不同的“青睞”（具體見表2）。

從上表中我們可以明顯看出新北師大版教材在表征數(shù)與運算概念時更加豐富，以小棒、計數(shù)器為主，并輔之小方塊、數(shù)軸模型等。而在新人教版教材中，小棒頗受“青睞”，在低段數(shù)概念和運算教學(xué)中貫穿始終。反觀計數(shù)器，則似乎較受“冷落”，所有教學(xué)內(nèi)容中，僅出現(xiàn)于其中的6項，2項屬于數(shù)的認識教學(xué)內(nèi)容，即“11～20以內(nèi)數(shù)的認識”及“100以內(nèi)數(shù)的認識”。但即使是在數(shù)的認識教學(xué)單元，新人教版教材也僅僅把計數(shù)器作為讀數(shù)、寫數(shù)的工具，計數(shù)器僅僅用于計數(shù)嗎？

特別值得注意的是，在所有計算教學(xué)內(nèi)容中，凡涉及進退位的教學(xué)，計數(shù)器在新人教版教材中均未出現(xiàn)，不知是教材編排的無心之失還是刻意為之。小棒雖是學(xué)生最熟悉的直觀模型，通過把10根小棒捆成1捆，感受“以十為單位”的簡潔，滲透“滿十進1”的道理，但計數(shù)器模型能更好地體現(xiàn)“位值”，凸顯“滿十進1”“退一作10”，體會為什么要相同數(shù)位相加減，幫助學(xué)生理解算理。因此，筆者認為，人教版教材這樣的編排顯然是有缺失和不合理的。

筆者認為，計數(shù)器模型的利用有助于教學(xué)環(huán)節(jié)的開展，教學(xué)目標的達成，促進學(xué)生數(shù)概念的發(fā)展。尤其是在數(shù)概念教學(xué)的幾個關(guān)鍵節(jié)點處（如表3），計數(shù)器模型不能“缺席”。

小棒模型為橫式計算方法提供直觀的表象，計數(shù)器模型則是為豎式計算方法提供直觀的表象。計數(shù)器實際就是一個半抽象的豎式原型，因此計數(shù)器在直觀算理、算法抽象中起到了極其重要的作用。用小棒模型和計數(shù)器模型為學(xué)生探索橫式計算方法或豎式計算方法搭建堅實的階梯（見圖8）。

數(shù)是非常抽象的概念，由實物直觀到符號抽象，小棒模型有時會顯得過于具體形象，不利于概念的抽象理解，甚至限制學(xué)生數(shù)概念發(fā)展。而計數(shù)器是半抽象模型，更能凸顯數(shù)的本質(zhì)。因此，筆者認為計數(shù)器模型不可缺失！

（浙江省杭州市錢塘外語學(xué)校 310012）