鞏子坤　丁杭纓

一、從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

鞏子坤（以下簡稱“鞏”）：丁老師，你好。我最近看了你的一篇文章，其中提到了一個很好的觀點(diǎn)，即小學(xué)數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向每一個人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變”。請你解釋一下這句話的含義，你是基于何種背景提出這個觀點(diǎn)的？

丁杭纓（以下簡稱“丁”）：我們習(xí)慣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教學(xué)）常常以班級為單位，安排了標(biāo)準(zhǔn)課時，設(shè)定了標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容，制定了標(biāo)準(zhǔn)評價，總之，是在用一種相同的方式面對千差萬別、性格迥異的孩子。其實(shí)一個班中每個孩子都是個性化的，每個孩子在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)都是有差異的，比如他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的風(fēng)格、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式等。所以我們需要轉(zhuǎn)變一種觀念，即“把一個班當(dāng)作一個孩子來教”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍岩粋€孩子當(dāng)作一個班來教”。

鞏：我們常說，教育要尊重孩子、愛護(hù)孩子，提倡尊重的教育、愛的教育。但是，要實(shí)現(xiàn)這樣的教育理念，說說容易，做做難，還需要下很大的工夫。

?。菏沁@樣。要實(shí)現(xiàn)尊重的教育，我們就要蹲下身來，放平目光，用每一個孩子的視角去看待、研究孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、方式、場地等，同時全方位了解孩子們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的個體差異，讓教與學(xué)有的放矢。正是基于這樣的考慮，提出了數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)變。

鞏：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也提到，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！蔽蚁胍彩沁@個意思，問題是有了好的想法、好的理念后，還需要有好的路線圖、好的操作方式?？煞窠榻B一下在實(shí)際運(yùn)作層面，怎樣實(shí)現(xiàn)“從一群人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，邁向每一個人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)變呢？

?。何覀兙o緊抓住數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場地三個重要元素。從兒童的視角出發(fā)，梳理適切的內(nèi)容，拓寬教學(xué)廣度，擴(kuò)大教學(xué)空間，豐富教學(xué)形式，構(gòu)建適合兒童的數(shù)學(xué)課程體系；從π空間站出發(fā)，讓兒童走近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)品質(zhì)，鍛煉數(shù)學(xué)意志，培養(yǎng)數(shù)學(xué)氣質(zhì)，讓數(shù)學(xué)融入生活。

二、把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容看成是關(guān)系、意義和過程的復(fù)雜統(tǒng)一體

鞏：我們就來具體聊聊這些轉(zhuǎn)變。

丁：數(shù)學(xué)課程給人的印象往往是事先設(shè)定、均碼標(biāo)準(zhǔn)化的，從書本到書本，從習(xí)題到習(xí)題，因此它的話語視線會比較單一。我們希望把數(shù)學(xué)知識看作是關(guān)系、意義或過程的復(fù)雜統(tǒng)一體，更重視數(shù)學(xué)知識和學(xué)生相聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)知識成為學(xué)生生命中不可或缺的組成部分。

舉一個例子：四下三角形單元的一般課時安排是“三角形的認(rèn)識（特性）—三角形邊的關(guān)系—三角形的分類（按邊分、按角分）—三角形內(nèi)角和—四邊形內(nèi)角和”，這些內(nèi)容按照知識點(diǎn)來切割沒有什么問題，但是學(xué)生學(xué)習(xí)時更需要知識的關(guān)聯(lián)性、整體性。大部分教師認(rèn)為，只要把單個的知識教給學(xué)生，學(xué)生會很自然在頭腦里把這些知識點(diǎn)連在一起。基礎(chǔ)好的孩子也許能夠做到，但大部分學(xué)生是做不到的，把有結(jié)構(gòu)的知識教給孩子，孩子才能夠更好地建立起知識間的聯(lián)系，這個關(guān)聯(lián)是多維度的，除了知識點(diǎn)上的關(guān)聯(lián)，還有知識鏈和知識網(wǎng)上的關(guān)聯(lián)。如果數(shù)學(xué)知識能再與學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生共鳴，它就會有過程與意義了。

鞏：我們就以三角形為例，來具體說明怎樣將這些內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來。

?。何疑线^“三角形認(rèn)識（特性）”的公開課，雖然學(xué)生學(xué)得不錯，但我還是感覺他們在認(rèn)識三角形的高時有點(diǎn)“飄”，對各類三角形高的空間觀念的建立相對孤立，用數(shù)學(xué)語言描述即比較抽象。我在找原因也在找策略，如果能調(diào)整一下內(nèi)容，在三角形分類的大背景下，先認(rèn)識直角、鈍角、銳角三角形或等邊、等腰、任意三角形，再認(rèn)識高，會讓高不再表現(xiàn)為“點(diǎn)狀”的抽象，而是“網(wǎng)狀”的具象，建立起來的空間觀念會實(shí)實(shí)在在一些。

鞏：這種現(xiàn)狀你稱之為被打斷的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

丁：是的。被打斷的學(xué)習(xí)最主要表現(xiàn)是學(xué)習(xí)內(nèi)容因為課時等原因被隔離，甚至阻斷。我們做了小嘗試，重新架構(gòu)三角形單元的內(nèi)容，讓學(xué)習(xí)不再被打斷。在描述了三角形的定義后，用一個大課時（約1小時）研究邊、角的關(guān)系，包括三邊關(guān)系，長邊對大角，三角形按邊、角分類等，再來研究三角形的高與特性。其目的是通過認(rèn)識不同類型的三角形，再深入理解和掌握三角形的高，三角形的認(rèn)識和高的學(xué)習(xí)呈螺旋上升狀態(tài)，它們之間建立的關(guān)系對孩子來說有效、有意義，更有價值。

鞏：我想你說的關(guān)聯(lián)就是“高和不同類型的三角形之間的關(guān)系”。

也就是說，在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，教師將思路理清，又不受課時、課堂的限制，呈現(xiàn)給學(xué)生有聯(lián)系的內(nèi)容、有結(jié)構(gòu)的體系，更利于學(xué)生構(gòu)建知識。如果讓學(xué)生來構(gòu)建知識的結(jié)構(gòu)或網(wǎng)絡(luò)，會耗費(fèi)很大的精力。你的設(shè)想很膽大，但是有一點(diǎn)問題，如果有的課要連續(xù)上兩節(jié)課，有沒有困難，會不會對教學(xué)產(chǎn)生什么沖擊？

?。浩鋵?shí)大課時（1小時）不是一種常態(tài)，我們長江的數(shù)學(xué)課堂非“均碼”的，不同課時（還有標(biāo)準(zhǔn)課35分鐘、微課20分鐘）的組合是根據(jù)單元內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計的，需要提前規(guī)劃、安排。

在三年級“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識”中我們也做過嘗試：“幾分之一、分?jǐn)?shù)單位、幾分之幾、簡單分?jǐn)?shù)比較、簡單分?jǐn)?shù)加減”是一個整體，一節(jié)課中只認(rèn)識幾分之一或幾分之幾都覺得是一種缺憾，因為這幾個知識點(diǎn)是彼此纏繞互相補(bǔ)充而存在的，所以它需要有一個網(wǎng)狀架構(gòu)，及這個架構(gòu)在孩子頭腦中的整體呈現(xiàn)。我們打破“幾分之一—幾分之一的分?jǐn)?shù)大小比較—幾分之幾—幾分之幾的分?jǐn)?shù)大小比較—簡單分?jǐn)?shù)相加減”的6課時規(guī)定安排，采用了2個大課（分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識+分?jǐn)?shù)的鞏固與運(yùn)用）的形式，學(xué)生通過繪本故事串起6個知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維在這幾個內(nèi)容之間自由穿梭，彼此補(bǔ)充，更重要的是讓分?jǐn)?shù)與學(xué)生的生活發(fā)生關(guān)聯(lián)，這樣他們認(rèn)識的分?jǐn)?shù)概念才會豐滿、有生命力。

鞏：這讓我想起了胚胎學(xué)說：胚胎的生長不是某一個器官單獨(dú)發(fā)育的，一定是各個器官同時發(fā)育。學(xué)習(xí)的發(fā)展類似于胚胎的發(fā)育，一定是整體發(fā)展的。正因為如此，布魯納特別強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的重要性，這和你剛才的說法有很大的相似性。你剛才的例子很好，比如分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)：單位分?jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)，大小比較等，這些內(nèi)容本質(zhì)上是一起往前發(fā)展的，不可能把它們割裂開。既然是整體發(fā)展的，當(dāng)然要放在整體結(jié)構(gòu)里去學(xué)習(xí)。

三、構(gòu)建適合兒童的數(shù)學(xué)課程體系，豐富學(xué)習(xí)形式

鞏：你還提出了被異化的學(xué)習(xí)，什么是被異化的學(xué)習(xí)？

丁：當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以考試作為目標(biāo)，以題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練為法寶，以獲得知識的結(jié)果為追求，當(dāng)學(xué)習(xí)被簡化成了分?jǐn)?shù)時，這就是異化的學(xué)習(xí)。其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本該是學(xué)生自主生長、積極探索知識、自主建構(gòu)知識的過程。孩子們需要關(guān)注和經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，需要熟悉和掌握學(xué)習(xí)的方法，更需要體驗探索的滋味及失敗后成功的樂趣。

鞏：是呀。即便是課程改革不斷推進(jìn)的今天，實(shí)事求是地說仍然有異化這種現(xiàn)象存在。理解一些新的理念是一回事，而具體實(shí)施是另一回事了。

?。寒惢袃蓚€突出的表現(xiàn)：第一是依靠外界，也就是學(xué)生的學(xué)習(xí)依賴?yán)蠋熀徒炭茣?；第二是不會學(xué)習(xí)，很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的直覺與想象、猜測與反思、觀察與實(shí)踐、反省與推理等過程被異化、淡化、簡化，學(xué)生直接用解題、刷題的方式來學(xué)習(xí)。

鞏：針對你剛才說的兩點(diǎn)，即離開了老師、教材，學(xué)生就不會學(xué)了，省略了學(xué)習(xí)的過程，怎樣從異化走向正常化呢？

丁：從異化走向正?；紫刃枰獜耐鈬黄?，比如學(xué)習(xí)的內(nèi)容、學(xué)習(xí)的形式、學(xué)習(xí)的時空等。剛才提到的大課，因為時間充足，開展合作性學(xué)習(xí)、探索性學(xué)習(xí)就有了保障。我們還有數(shù)學(xué)微課，以數(shù)學(xué)游戲為主要內(nèi)容，在激活數(shù)學(xué)知識解開游戲奧秘的同時，發(fā)揮主動性和積極性。還有虛擬課堂，人機(jī)互動、自主菜單式的學(xué)習(xí)，學(xué)生自己選擇內(nèi)容及表現(xiàn)形式，進(jìn)行更深入的個性化學(xué)習(xí)。

鞏：就是通過不同課堂組織方式真正轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，來解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的異化現(xiàn)象?？煞衽e例來說明呢？

?。哼@幾年我們在開發(fā)數(shù)學(xué)游戲，數(shù)學(xué)游戲不僅能激活并還原數(shù)學(xué)知識，還能讓孩子從嶄新視角領(lǐng)悟?qū)W習(xí)的艱辛與快樂，培養(yǎng)學(xué)習(xí)毅力與學(xué)習(xí)品質(zhì)。以“微課+數(shù)學(xué)游戲”為主要方式，創(chuàng)新了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和媒介。

還是以三角形單元為例，一般學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系的方法是讓孩子用小棒圍三角形，看看是否能圍成，來探究三角形三邊關(guān)系?，F(xiàn)在我們通過“惱人的鉛筆游戲”這個數(shù)學(xué)游戲激發(fā)孩子們的探索欲望，在“嘗試—失敗—反思—再嘗試”中主動學(xué)習(xí)。做游戲的過程，是知識的探索過程，也是知識的鞏固過程，更是知識被激活顯現(xiàn)價值的過程。

四、從π空間站出發(fā)，讓兒童走進(jìn)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)融入生活

鞏：關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場地，你是怎么理解的？

丁：通常教室是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要場地，但是只有教室是不夠的，學(xué)習(xí)環(huán)境與空間不能滿足不同教學(xué)內(nèi)容選擇不同的課堂，不同的課堂采用不同的學(xué)習(xí)方式的物質(zhì)需求。因而，我們提出要拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場地。我認(rèn)為數(shù)學(xué)也需要有實(shí)驗室，數(shù)學(xué)也需要實(shí)踐，所以在“長江”有一個純粹的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)場所——π空間站，預(yù)示著孩子們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)像π一樣有無限的可能。

鞏：是呀。室外是一片廣闊的天地，數(shù)學(xué)是大有作為的。能夠具體談?wù)勀銈兊淖龇▎幔?/p>

?。何覀儼褌鹘y(tǒng)意義的課堂，拓展到π空間站，再擴(kuò)大到整個校園里。在校園里我們設(shè)計了數(shù)學(xué)步道，讓孩子用數(shù)學(xué)的眼光觀察校園的布置。校園的角落會有一些二維碼，掃一掃會有與當(dāng)下環(huán)境密切相關(guān)的數(shù)學(xué)題目跳出，比如窨井蓋的直徑與面積，大屏幕的面積與價格，門廳里斜坡的角度怎樣測量，整個學(xué)校的空間都可以成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的場所，更重要的是養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光和思維來看待事物。

鞏：長江實(shí)驗小學(xué)到處彌漫著數(shù)學(xué)的味道，到處充盈著數(shù)學(xué)的魅力。我想知道，π空間站是如何發(fā)揮作用的？π空間站像數(shù)學(xué)實(shí)驗室、數(shù)學(xué)閱覽室、數(shù)學(xué)個性化學(xué)習(xí)的場所，是拓展性課程實(shí)施的場所，對嗎？

?。菏堑摹＆锌臻g站目前有關(guān)數(shù)學(xué)的書籍共有3032冊（數(shù)學(xué)繪本938冊，數(shù)學(xué)研究636冊，理論專著495冊，國外教材155冊，國內(nèi)教材808冊）；數(shù)學(xué)益智玩具140多種，學(xué)生上課使用50多種；還有與課本配套的1～12冊微課500余節(jié)；5臺觸摸式電腦、一臺投影儀、40臺ipad和蘋果全景課堂技術(shù)軟件等。數(shù)學(xué)課、數(shù)學(xué)拓展類課甚至是閱讀課都可以搬到π空間站，是學(xué)生非常向往并且喜歡的一個學(xué)習(xí)場所?！伴L江”還是教育部教育裝備研究與發(fā)展中心主辦的“中小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗室建設(shè)的研究”課題研究的主要成員單位。

五、從關(guān)注教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)楦雨P(guān)注學(xué)習(xí)

鞏：在我看來，我們所談到的上述轉(zhuǎn)變，更多的是從教學(xué)的角度來考量的：如何整合內(nèi)容，如何轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)，如何拓展場地。

據(jù)我所知，你的名師智慧空間站已經(jīng)開展了3年“小學(xué)數(shù)學(xué)相異概念”的研究，也就是要看一看，孩子在學(xué)習(xí)新的知識之前，頭腦中已經(jīng)具備了哪些經(jīng)驗與知識。當(dāng)然，這些經(jīng)驗與知識，可能是正確的，也可能是錯誤的，更有可能是正確與錯誤混雜的。

這是否表明，你已經(jīng)將更多的精力投入到對學(xué)生、學(xué)習(xí)的研究了？

?。菏茄?。近三年我和我的團(tuán)隊研究了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中相異概念以及轉(zhuǎn)變，接下來在此基礎(chǔ)上，我們還將進(jìn)一步研究學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格。每個孩子都是一個與眾不同的獨(dú)立個體，每個人的學(xué)習(xí)風(fēng)格也是獨(dú)特的。比如，在表征某些概念的時候，有的學(xué)生長于圖像表征，有的喜歡語言表征。相異概念和學(xué)習(xí)風(fēng)格的研究讓我們更能站在兒童的立場展開教學(xué)。

鞏：這個研究方向很有價值！也許低年級的學(xué)生還談不上學(xué)習(xí)風(fēng)格，學(xué)習(xí)風(fēng)格是高年級學(xué)生才逐漸形成的，所以我覺得這個研究在某種意義上是指向更高段的學(xué)生。

深入開展數(shù)學(xué)教學(xué)改革，關(guān)鍵是要從學(xué)生入手，設(shè)身處地從學(xué)生的視角來考慮問題：學(xué)生在接觸新知識前，頭腦中有哪些前概念（相異概念），會按照怎樣的學(xué)習(xí)路徑來探索這些知識，有哪些學(xué)習(xí)習(xí)慣，有怎樣的學(xué)習(xí)風(fēng)格，等等。這些都是值得我們深入思考、認(rèn)真探索與解決的問題。期待通過研究，數(shù)學(xué)教育工作者能夠提出更好的解決問題的方案。

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院 310036

杭州長江實(shí)驗小學(xué) 310006）