吳迪青

(余姚市第四中學(xué) 浙江 余姚 315400)

中學(xué)物理與中段反導(dǎo)

吳迪青

(余姚市第四中學(xué) 浙江 余姚 315400)

中學(xué)物理中在講萬(wàn)有引力與圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何講“薩德”與“反導(dǎo)”成了許多教師的一個(gè)難題，有的都不敢提反導(dǎo)，因?yàn)橐惶赘呱畹膹椀览碚摮闪瞬豢捎庠降恼系K，但利用Excel的計(jì)算和描圖功能，另辟蹊徑，成功解決這個(gè)難題，通過(guò)彈道軌道和攔截軌道的計(jì)算和模擬，使得原來(lái)的不可能變?yōu)榭赡?，并且能形象展示彈道軌跡，由此展開了中學(xué)物理中用現(xiàn)有知識(shí)研究“反導(dǎo)之旅”，以此為引導(dǎo)開展研究性學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣．

反導(dǎo) 彈道導(dǎo)彈 攔截 萬(wàn)有引力 速度

各位讀者，你真的沒(méi)有看錯(cuò)，本文講述的是以中學(xué)物理的知識(shí)研究彈道導(dǎo)彈的中段反導(dǎo)，不過(guò)要借助于一個(gè)常用的工具軟件Excel.時(shí)下“薩德問(wèn)題”已對(duì)中國(guó)的國(guó)家安全造成威脅，薩德是美國(guó)國(guó)家導(dǎo)彈防御計(jì)劃中的一部分，所以反導(dǎo)成為熱點(diǎn).中國(guó)的中段反導(dǎo)已成功試驗(yàn)多次，有資料顯示中國(guó)的中段反導(dǎo)世界領(lǐng)先，甚至有學(xué)者表示現(xiàn)在外星人入侵只有中國(guó)有能力對(duì)付.每次與學(xué)生談及此事，學(xué)生的喜悅之情溢于言表，興奮不已.但是，限于中學(xué)知識(shí)的不足，無(wú)法做具體的分析和計(jì)算，甚是遺憾.今天，我們用Excel的計(jì)算和數(shù)據(jù)處理功能，來(lái)突破這一障礙，計(jì)算彈道導(dǎo)彈的軌道及反導(dǎo)系統(tǒng)的軌道計(jì)算，滿足學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的熱情．

1 中學(xué)物理中的彈道導(dǎo)彈軌道計(jì)算

1.1 彈道導(dǎo)彈軌道模型

彈道導(dǎo)彈的發(fā)射軌道模型，如圖1所示.

圖1 彈道導(dǎo)彈軌道發(fā)射模型

彈道導(dǎo)彈從地球的A地發(fā)射，命中地球上的B地，彈道導(dǎo)彈飛行的軌道為一橢圓軌道，雖然導(dǎo)彈的初段和末段不是嚴(yán)格的橢圓軌道，但我們今天分析的是中段反導(dǎo)，可以按橢圓軌道來(lái)處理，為什么呢？

如圖2所示，彈道軌道平面圖.

圖2 彈道導(dǎo)彈平面圖

軌道平面為經(jīng)過(guò)A，B兩地及地心的一個(gè)平面，虛線為大氣層，國(guó)際航空聯(lián)合會(huì)定義的大氣層和太空的界線，高度為100 km的界線為卡門線，卡門線外為太空，即大氣層厚度約100 km[1].導(dǎo)彈飛行的初段為圖中的A到C段(C點(diǎn)為出大氣層點(diǎn))，由于火箭的助推和大氣層的緣故，這段軌道不穩(wěn)定，加上發(fā)射初期雷達(dá)的探測(cè)盲區(qū)，這一段打擊難度大，第二段火箭助推結(jié)束，導(dǎo)彈飛出大氣層，進(jìn)行慣性飛行階段，由C經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)到D段即飛行中段(D點(diǎn)為再入大氣層點(diǎn))，這一段軌道比較穩(wěn)定，但飛行高度高，導(dǎo)彈速度大，也不易打擊，中國(guó)顯然已突破這一難題，我們分析這一段的攔截.因這一段大氣阻力極小，導(dǎo)彈慣性飛行，只受到地球的引力，所以這一段軌道為比較標(biāo)準(zhǔn)的橢圓軌道，以一般洲際彈道導(dǎo)彈遠(yuǎn)地點(diǎn)1 000 km為例來(lái)計(jì)算彈道導(dǎo)彈的飛行參數(shù)[2]萬(wàn)有引力常量

G=6.67×10-11N·m2/kg2

地球質(zhì)量

M=6.0×1024kg

地球半徑

R=6 400 km

設(shè)A地坐標(biāo)(3 200，5 542.56) km，B地坐標(biāo)

(-3 200，5 542.56) km，當(dāng)導(dǎo)彈飛行到坐標(biāo)(x，y)位置時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力和牛頓第二定律有[3]

得到

其中

1.2 用Excel建立數(shù)據(jù)模型[4]

取時(shí)間間隔Δt，足夠小，那么在Δt時(shí)間內(nèi)的導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)看成是勻變速運(yùn)動(dòng)，得到

1.3 建立公式形成數(shù)據(jù)

單元格A1～H1，依次命名如圖3所示.

圖3 單元格A1～H1依次命名

單元格A2～H2,初始化

在單元格A3～H3依次輸入公式如下：

單元格A：“=A2+F2*H2+0.5*D2*H2^2”即

單元格B：“=B2+G2*H2+0.5*E2*H2^2”即

單元格C：“=(A2^2+B2^2)^0.5”即

單元格D：“=-400 200 000 000 000*A3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

單元格E：“=-400 200 000 000 000*B3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

單元格F：“=F2+D2*H2”即

單元格G：“=G2+E2*H2”即

單元格H：“=H2”即保持Δt

選擇單元格A～H，拖動(dòng)右下十字光標(biāo)，智能復(fù)制公式，形成數(shù)據(jù)列，根據(jù)需要決定數(shù)據(jù)的多少，選中A和B列，插入圖表即得彈道軌道圖(圖4)，圖中正圓為地球.

可以看到導(dǎo)彈軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道，軌道沒(méi)有閉合可以多拉幾個(gè)數(shù)據(jù)讓其閉合，借助計(jì)算機(jī)利用Excel建立的數(shù)據(jù)模型來(lái)畫出導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌道[4]．

圖4 得到的彈道軌圖

按理論分析，如果遠(yuǎn)地點(diǎn)確定，遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度確定，那么橢圓軌道是確定的，所以取遠(yuǎn)地點(diǎn)7 400 km，打到B(-3 200，5 542.56) km,經(jīng)多次嘗試在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度vx=-4.996 km/s．導(dǎo)彈即能打到B點(diǎn)時(shí)，由Excel計(jì)算數(shù)據(jù)得到到B點(diǎn)時(shí)速度參數(shù)為vBx=-3 546.75 m/s，vBy=-5 412 m/s,如圖5所示，根據(jù)對(duì)稱性可知，此導(dǎo)彈在A位置的發(fā)射參數(shù)vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s.

圖5 由Excel計(jì)算數(shù)據(jù)

現(xiàn)在把初始狀態(tài)設(shè)成為xA=3 200 km，yA=

5 542.56 Km,vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s,得到有A地發(fā)射的導(dǎo)彈軌道，如圖6所示(圓形為地球)，能精確命中B地xB=-3 200 km，yB=5 542.56 km

圖6 由A點(diǎn)發(fā)射的導(dǎo)彈軌道

Excel的優(yōu)勢(shì)是既有數(shù)據(jù)運(yùn)算，又可以描繪軌跡，而且不需要高深的彈道理論和編程知識(shí)，中學(xué)知識(shí)完全能應(yīng)用自如．

2 反導(dǎo)攔截彈的軌道計(jì)算

反導(dǎo)系統(tǒng)有雷達(dá)采集到彈道導(dǎo)彈的有效彈道參數(shù)，找準(zhǔn)時(shí)機(jī)發(fā)射攔截彈，把導(dǎo)彈攔截于再入大氣層之前，最好的攔截點(diǎn)為即將入大氣層的附近段，設(shè)攔截彈由于火箭動(dòng)力，保持6 km/s速度不變，有衛(wèi)星制導(dǎo)始終正對(duì)目標(biāo)導(dǎo)彈方向，如圖2建立坐標(biāo)；

由題意可知，攔截彈起始坐標(biāo)在B(-3 200,

5 542.56) km.

在t時(shí)刻攔截彈坐標(biāo)(x1，y1)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)(x2，y2)，則

攔截彈的方向角

經(jīng)過(guò)很小的時(shí)間間隔Δt，攔截彈的坐標(biāo)變?yōu)?x1+v1Δtcosθ，y1+v1Δtsinθ)

導(dǎo)彈坐標(biāo)變?yōu)?x2(n+1)，y2(n+1))，見(jiàn)彈道導(dǎo)彈數(shù)據(jù).

打開原Excel數(shù)據(jù)，留一空行(一定要留出，否則與導(dǎo)彈數(shù)據(jù)發(fā)生關(guān)聯(lián))

A列輸入：“x1+v1Δtcosθ”；

B列輸入：“y1+v1Δtsinθ”；

C列輸入：

D列輸入：

Δt取0.3，接近時(shí)可以取得更小點(diǎn)，以便更精確．選A和B列數(shù)據(jù)插入圖表得到攔截彈軌跡如圖8所示(Δt取得越小軌道越精確).

2016-10-12)