倪 峰

(德清縣高級中學(xué) 浙江 湖州 313200)

內(nèi)壁粗糙碗中的動(dòng)力學(xué)問題深度探究(一)

倪 峰

(德清縣高級中學(xué) 浙江 湖州 313200)

筆者針對物體在粗糙碗類豎直軌道中的動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了深入探究，推導(dǎo)出物體逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度ω與轉(zhuǎn)過的角度θ關(guān)系．本探究可拓寬讀者的視野，提高優(yōu)秀學(xué)生對物理的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揚(yáng)探索精神，體會(huì)數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的美妙．

內(nèi)壁粗糙的碗 動(dòng)力學(xué) 二階常微分方程

具體模型如圖1所示，物體(可看成質(zhì)點(diǎn)的物體)在內(nèi)壁粗糙的碗中從A點(diǎn)向下逆時(shí)針下滑，碗可以看成半徑為r的半球面.物體與粗糙內(nèi)壁的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ0．從A點(diǎn)下滑到第一次速度為零位置的整個(gè)過程，物體受到3個(gè)力的作用，分別是重力mg，摩擦力Ff，支持力FN．除重力外，其他兩個(gè)力都是變力．那如何求得物體在軌道各個(gè)位置對應(yīng)的角

速度和速度呢？

圖1 物體在內(nèi)壁粗糙的碗中下滑

圖8 反導(dǎo)攔截彈的軌跡

經(jīng)多次嘗試，由Excel數(shù)據(jù)計(jì)算得，在導(dǎo)彈發(fā)射經(jīng)過t=479.7 s時(shí)，發(fā)射攔截彈，在t=926.7 s時(shí)攔截成功．此時(shí)位置坐標(biāo)(-1 090 711 m，7 219 482 m)，

這里有誤差在，只要Δt取得足夠小，誤差就會(huì)非常小，但數(shù)據(jù)量會(huì)很大．

圖9 導(dǎo)彈被攔截的坐標(biāo)及時(shí)間

這里提供的是在中學(xué)物理中借助Excel研究中段反導(dǎo)的思路，以此為引導(dǎo)開展研究性學(xué)習(xí)，拓展學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為祖國的國防做出貢獻(xiàn)．

1 卡門線.百度百科.

2 洲際彈道導(dǎo)彈.百度百科.

3 課程研發(fā)中心，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(物理2 必修).北京：人民教育出版社，2010.39～45

4 何勇，關(guān)鈞睿.利用計(jì)算機(jī)手段高效處理物理問題.物理通報(bào)，2014(9)：97～98

1 小球在粗糙內(nèi)壁逆時(shí)針下滑的角速度ω與角度θ的關(guān)系

令物體逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度ω為正方向，即逆時(shí)針ω>0．角速度

(1)

切向加速度

(2)

根據(jù)牛頓第二定律，切向方向動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

徑向方向動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

Ff=μFN

(5)

由式(1)～(5)得

化簡得物體下滑的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(6)

式(6)為關(guān)于θ的二階非線性常微分方程，比較復(fù)雜．可通過降階解法，將式(6)變?yōu)橐浑A．

令

則

由于逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)ω>0，故

則

化簡式(6)得

整理得

(7)

式(7)是關(guān)于θ的一階線性非齊次微分方程，至此完成式(6)的降階工作．

(8)

令

代入式(8)的通解，可解得式(7)得通解為

(9)

根據(jù)方程

(10)

和

(11)

3μcosθ]+Ce-2μθ

(12)

由

得

(13)

當(dāng)θ=0時(shí)

ω=0

解得

(14)

(15)

式(15)是角速度ω關(guān)于θ的解析解．可見只要知道碗軌道的半徑r和物體與碗的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，就可以根據(jù)式(15)，得到物體在粗糙碗中從A點(diǎn)下滑做逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)到第一次速度為零這個(gè)過程，軌道上各個(gè)位置所對應(yīng)的角速度．

圖2是利用Excel作出ω～θ的關(guān)系圖．

圖2 角速度ω與角度θ的關(guān)系圖

2 關(guān)于在粗糙碗中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)一類題目的商榷

在高中題目中，有一類關(guān)于物體只受重力，支持

力和摩擦力的情況下，在粗糙碗類內(nèi)壁豎直軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的題目，即ω的大小不變．從式(15)

這個(gè)方程可知，不管μ值取多少，ω的大小都不可能為一個(gè)常數(shù)．類似粗糙碗類豎直軌道的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)實(shí)中并不存在，沒有考慮到此模型的可行性，各物理量會(huì)出現(xiàn)不自洽，導(dǎo)致題目脫離了實(shí)際情況．

3 反思與展望

本文給出了ω～θ的解析解．但是解二階非線性常微分方程，僅靠筆算，計(jì)算量非常龐大，有時(shí)甚至沒有解析解．如果利用數(shù)學(xué)軟件如MATLAB或Mathematica，通過編程，解出二階非線性常微分方程的數(shù)值解，畫出圖像，往往事半功倍．當(dāng)然，數(shù)值解法比較適合在求不出解析解的情況下使用．下階段，筆者還會(huì)在本文基礎(chǔ)上，再研究此模型其他物理量之間的關(guān)系．

參 考 文 獻(xiàn)

1 程守洙，江之永．普通物理學(xué)2(第五版)．北京：高等教育出版社，2003.25～28

2 馬文蔚．物理學(xué)(第三版)．北京：高等教育出版社，1994.5～20

The In-depth Dynamic Research in Rough Bowl Wall(I)

Ni Feng

(Deqing Senior high school,Huzhou,Zhejiang 313200)

A body going around a circle in a vertical loop track which is a classical physical model in senior high school.But,due to the limitations of high school mathematics knowledge,the physical model is often designed in an ideal situation.At present,the dynamic research is very rare in a vertical loop track of rough bowl wall at non ideal circumstances[1][2].So,this paper researches the dynamics in a vertical loop track of rough bowl wall.This paper deduces the relationships between angular velocity ω and angle of turn θ.This research can broaden reader's horizon,improve the outstanding students' interest in physics learning,develop exploring spirit and realize the beauty of mathematics and physics combination.

rough bowl wall;dynamic;the second order ordinary differential equation

2016-08-29)