董天龍
摘要:高中課堂教學(xué)中,如何將學(xué)生從苦苦掙扎的“題?!啊敝薪饷摮鰜?,克服就提論題、模仿復(fù)制的傳統(tǒng)解題模式,以適應(yīng)培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的供給側(cè)需求,是擺在每一位數(shù)學(xué)教師面前的嚴(yán)峻課題。文章認(rèn)為教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次地思考問題,充分發(fā)揮學(xué)生的優(yōu)勢(shì)智能,優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì),讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)充滿生命氣息,讓教學(xué)過程成為師生的一段生命歷程,此為數(shù)學(xué)在人生意義上的價(jià)值,也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的最高境界。
關(guān)鍵詞:一題多變;學(xué)生個(gè)性;思維碰撞《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào):高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。從高考改革的趨勢(shì)來看,將來的高考試題會(huì)給思維能力強(qiáng)的考生留下充分施展才能的空間。這種思維能力主要體現(xiàn)在解題能力上,而解題能力的提高在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,主要通過讓學(xué)生在一題多解、一題多變、一題多用的思維訓(xùn)練中來完成,進(jìn)而使其化歸類型、探求規(guī)律、縱向挖掘、橫向聯(lián)系,真正成為復(fù)習(xí)課的主體,這才是符合新課改理念的課程觀。
一、一石激起千層浪,學(xué)生思維相碰撞
如在高三復(fù)習(xí)《不等式證明》時(shí),課堂上出示了一道題目:
模型1:已知a,b∈R+,且a+b=1,求證:a2+b2≥12.
師:同學(xué)們可敞開思維,廣開思路,用不同的方法去證明,你能有多少種證法?
真是一石激起千層浪!同學(xué)們躍躍欲試,爭(zhēng)先恐后。
生:(交流展示自己的“作品”)
法1(消元法),法2(作差法),法3(綜合法),法4(分析法),法5(反證法),法6(判別式法),(此時(shí),嘖嘖聲不絕于耳)法7(均值換元法),法8(三角換元法),(教室里頓時(shí)一片歡呼)法9(解析法),法10(幾何構(gòu)造法)(掌聲一個(gè)接著一個(gè))法11(向量法)(真是青山遮不住,畢竟東流去?。?/p>
這里,智慧相互碰撞著,聰明相互傳染著,這就是學(xué)生的潛能。打開這道閘門吧,學(xué)生的潛能將如花綻放,學(xué)生的個(gè)性將充分張揚(yáng),學(xué)生的智慧洪流將洶涌澎湃。
師:同學(xué)們,剛才問題的條件不變,你還能變換出什么結(jié)論?
生:不等式左邊的形式有:整式型、分式型、根式型、和式型、乘積型……
師:同學(xué)們,再變換剛才題目的條件,由二元變?yōu)槿?、四元…n元,結(jié)論又有何變化?
生:……(略)
師:解答就留給同學(xué)們?nèi)ヌ剿靼桑⊥瑢W(xué)們,剛才變角度,變出了絢麗多姿的解法;變結(jié)構(gòu),變出了一系列重要猜想;變條件,引申推廣了若干有趣的重要結(jié)論。變,小到題目條件可變、結(jié)論可變,大到學(xué)習(xí)方法可變、學(xué)習(xí)興趣可變,甚至人生可變!事實(shí)上,世界萬物都在變,我們也需要改變。變,意味著創(chuàng)造;變,意味著進(jìn)步;變,意味著創(chuàng)新。世界會(huì)因變而美麗,你我會(huì)因變而精彩?。ㄍ瑢W(xué)們又一次情緒激昂地鼓起了不息的掌聲)
試問,這樣讓學(xué)生的思維動(dòng)起來,讓學(xué)生的內(nèi)心世界動(dòng)起來,讓學(xué)生的情感動(dòng)起來的課堂,不正是喚起學(xué)生的生命主體意識(shí)的課堂嗎?不正是我們廣大教師的終生價(jià)值追求嗎?
二、一花引來百花開,學(xué)生個(gè)性實(shí)難猜
模型2:在ΔABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=3,b+c=3,求當(dāng)cosA+2cosB+C2取得最大值時(shí)的邊b和c的長(zhǎng).
分析:這是根據(jù)高考題編制而成的,主要考查解三角形問題,涉及求三角函數(shù)的最值問題,實(shí)際上還是對(duì)公式的熟練應(yīng)用;此題的關(guān)鍵在于用好條件“當(dāng)cosA+2cosB+C2取得最大值”即它可以得到什么結(jié)論,屬于探索性的問題.
師:如何改變條件,使所求結(jié)論保持不變?
真是一花引來百花開,同學(xué)們個(gè)個(gè)摩拳擦掌,爭(zhēng)先恐后,學(xué)生的思維個(gè)性充分張揚(yáng),實(shí)在令人難以想象!
生1:在ΔABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=3,b+c=3,B+C=2A,求邊b和c的長(zhǎng).
生2:在ΔABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=3,b+c=3,asinA+bsinC=bsinB+csinC,求邊b和c的長(zhǎng).
生3:在ΔABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=3,b+c=3,cosCcosA=2b-ca,求邊b和c的長(zhǎng).
生4:在ΔABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a=3,b+c=3, cosAcosC=a2b+c,求邊b和c的長(zhǎng).
生:……(略)
師:以上這幾位學(xué)生的變式與模型的最終結(jié)果是相同的,即對(duì)同一個(gè)問題采取了不同的設(shè)計(jì)方式,考查的角度變了,考查的效果卻有著很大的差異性啊!
師:采用對(duì)比方法簡(jiǎn)單分析如下:
生1把條件“B+C=2A”看成是等差數(shù)列問題與三角形內(nèi)角和定理相結(jié)合;生2的條件“asinA+bsinC=bsinB+csinC”要運(yùn)用到正弦定理,而且還要進(jìn)行是“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇問題;生3比生2的情景設(shè)置顯得更豐滿些,也是對(duì)條件“cosCcosA=2b-ca”的轉(zhuǎn)化問題,但要比生2的思維含量高,因?yàn)榧纫汛藯l件進(jìn)行“邊化角”還是“角化邊”的正確選擇,還要進(jìn)行是用“正弦定理”還是用“余弦定理”的正確判斷;生4與生3基本相同;生5在條件“4cosA·sin2(π4+A2)=1+sin2A”的轉(zhuǎn)化過程中雖然沒有用到正余弦定理,但比生2在三角變換方面的要求更高,涉及到的三角公式比較多,對(duì)公式的靈活運(yùn)用要求更高.從以上分析來看,通過模型及其變式對(duì)有關(guān)三角形問題的設(shè)置與解決方法進(jìn)行了比較全面的分析,可以使學(xué)生對(duì)解決這類問題形成整體的印象,深刻的理解和掌握了這類問題的方法.
三、心有靈犀一點(diǎn)通,學(xué)生智慧真無窮
教學(xué)例題大多有其廣泛的應(yīng)用。一題多解,實(shí)現(xiàn)由“點(diǎn)到線”的變化;一題多變,又由“線擴(kuò)大到面”的變化;而“借題發(fā)揮”,則進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)由“面到體”的變化。這樣,例題教學(xué)便可多層次、廣視角、全方位地進(jìn)行研究與拓展,充分發(fā)揮其潛能。
模型3:已知:00,求證:a+mb+m>ab,我借題發(fā)揮,探索一題多用的復(fù)習(xí)價(jià)值
師:利用這個(gè)分式型“糖水不等式”能解決哪些問題呢?
真是心有靈犀一點(diǎn)通,打開這道閘門,學(xué)生的潛能如花綻放,學(xué)生的智慧洪流洶涌澎湃,真是勢(shì)不可擋,無窮無盡!
生1:能解決分式型與真假分?jǐn)?shù)有關(guān)不等式問題。
生2:可寫出12與1之間的所有分母不大于10的分?jǐn)?shù)。
12<59<47<35<58<23<710<57<34<79<45<56<67<78<89<910<1
生3:求證:123456……99100<110
生4:(1989年廣東高考題)若0
A.cosb+ma+m
C. cosb-ma-m
生5:(1998年全國(guó)高考題)求證:
(1+13)(1+15)…(1+12n-1)>2n+12(n∈N,n≥2)
生6:(2001年全國(guó)高考題)
已知i,m,n∈N,且1
師:在今后的解題中還會(huì)找到更多的應(yīng)用,這正好印證了華羅庚先生的名言:“善于退,足夠地退,退到最原始而不失重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅” 。
綜上所述:教師在問題設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注重借題發(fā)揮,一題多變、一題多解、多題一解,多題歸一,以小見大,長(zhǎng)此以往,可以完善學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò),提升學(xué)生思維能力,此為數(shù)學(xué)的思維價(jià)值。同時(shí),課堂上演繹的生命精彩,可讓教學(xué)過程成為學(xué)生的一段生命歷程,生命體驗(yàn),此為數(shù)學(xué)的生命價(jià)值,這也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然選擇! (作者單位:山東省青島市第二中學(xué)266061)