陳盈盈,蔣輝

(南京航空航天大學數(shù)學系,江蘇南京210016)

帶復合泊松跳擴散模型的點波動率門限估計量的漸近性質(zhì)

陳盈盈,蔣輝

(南京航空航天大學數(shù)學系,江蘇南京210016)

本文研究了帶復合泊松跳擴散模型的點波動率門限估計量的漸近性質(zhì).利用門限方法和核函數(shù)技術(shù),構(gòu)造并證明了此模型點波動率估計量的漸近正態(tài)性.同時,應用G¨artner-Ellis定理及大偏差中的Delta方法,得到了估計量的中偏差原理.

復合泊松過程;點波動率;漸近正態(tài)性;門限方法;中偏差原理

1 引言

波動率是度量金融市場風險的常用指標,對波動率的估計和預測是近幾十年來金融研究領域的重要課題之一.一個時刻點處的波動率常被稱為點波動率(spot volatility),其是套頭交易,期權(quán)定價,風險分析和資產(chǎn)組合管理等金融活動中需要考慮的重要因素.隨著電子化交易的普及和信息存儲技術(shù)的發(fā)展,以高精度時間“分”,“秒”為刻度來存儲信息的高頻環(huán)境逐步建立.高頻數(shù)據(jù)可以迅速有效地捕捉市場信息,比低頻數(shù)據(jù)更能反映金融市場的真實狀況,為準確估計點波動率提供了途徑.

關(guān)于點波動率的研究,Foster和Nelson[8]首次證明了卷樣點波動率估計量的漸近正態(tài)性.但文中出現(xiàn)的條件和結(jié)果都十分抽象,故Andreou和Ghysels[1]對文中出現(xiàn)的估計量進行了進一步研究.之后,Fan和Wang[7]在資產(chǎn)過程軌道連續(xù)情況下,構(gòu)建了點波動率的核密度估計量并得到了其漸近正態(tài)性.關(guān)于點波動率估計量的研究,亦可參見Zu和Boswijk[12].

近年來,大量金融理論和實證表明,資產(chǎn)價格中常包含跳,且跳的存在和類型對波動率估計量具有顯著影響(夏登峰等[14]).在資產(chǎn)價格過程有復合泊松跳的情形下,利用Mancini[10]中門限方法,我們將Fan和Wang[7]提出的估計量進行推廣和改進,即剔除帶跳部分對估計量的影響.同時證明了所構(gòu)造估計量的漸近正態(tài)性與中偏差原理,并給出了速率函數(shù)的精確表達式.此外,關(guān)于積分波動率估計量的大偏差與中偏差原理,可以參見Djellout等[5,6], Hui[9]及Mancini[11].

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第二章中,對模型進行介紹,構(gòu)造了點波動率的門限估計量并闡述了本文的主要結(jié)論.第三章給出了主要結(jié)論的證明.

2 點波動率門限估計量及主要結(jié)論

給定概率空間(Ω,F,(F)t,P),令資產(chǎn)價格過程X服從跳擴散過程(見文獻[3])

通過在時間點{ti=i/n,i=1,2,···,n}處對X進行的等距觀測,Fan和Wang[7]構(gòu)造了Γt的核密度估計量

其中I(t,bn)={i：ti∈[t-bn,t+bn]},K(x)是支集為[-1,1]的核函數(shù),bn是帶寬.若L 6=0,可以得到過程X的二次變差為

其中ΔXs=Xs-Xs-為過程X在s點的振幅.為了估計Γt,需要獲得過程X的連續(xù)部分Xc：

故而最主要的問題是如何將過程X的跳與連續(xù)部分區(qū)分開來.利用Mancini[10]及Fan和Wang[7]中的思想,定義如下核估計量

定理1令過程X滿足(2.1)式,且條件(A1)-(A4)成立.則對于任意的t∈[0,1],有

推論1在定理1的條件下,可以推出

假定{λn,n≥0}為一列正實數(shù)且滿足

下面給出門限估計量?Γt的中偏差原理.

定理2令過程X滿足(2.1)式,σt非隨機且μt≡μ∈R.若

3 主要定理的證明

在這一節(jié)中,將給出本文主要結(jié)論的證明.

定理1的證明對任意右連左極過程Z,令ΔiZ=Zti-Zti-1.由Mancini[10]的定理3.1,當n充分大時,對每一個i=1,2,···,n,有從而可以得到

首先,由L′evy連續(xù)模定理知sup{|Wti-Wti-1|,i=1,···,n}=Op(n-1/2log1/2n),根據(jù)條件(A1)及(A2)即得

由Fan和Wang[7]中定理1,本文中定理1得證.

3.2 ?Γt的中偏差原理

首先,來計算?Γt的對數(shù)矩生成函數(shù),即對任意的θ∈R,令

Z

根據(jù)上述的分析,若要證明(3.5)式,只需證

因此結(jié)合(3.16)式即得H2=θ2λ(K)σ4t.由此引理1得證.

定理2的證明根據(jù)G¨artner-Ellis定理,定理2可以由引理1直接得到.

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ASYMPTOTIC PROPERTIES FOR SPOT VOLATILITY ESTIMATION OF DIFFUSIONS WITH COMPOUND POISSON JUMPS

CHEN Ying-ying,JIANG Hui
(Department of Mathematics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)

In this paper,we study the asymptotic behaviors for the threshold spot volatility estimator of the dif f usion process with compound Poisson jumps.By the method of threshold criterion,we construct a kernel estimator for the volatility and study its asymptotic normality. Applying G¨artner-Ellis theorem,we obtain the moderate deviations.

compound Poisson process;spot volatility;asymptotic normality;threshold criterion;moderate deviations

O211.4

A

0255-7797(2017)05-1029-11

2015-12-22接收日期：2016-02-25

國家自然科學基金資助(11101210);中央高?；究蒲袠I(yè)務費(NS2015074).

陳盈盈(1992-),女,浙江溫州,碩士,主要研究方向：隨機過程統(tǒng)計.

2010 MR Subject Classif i cation：60F10;60H07;62F12