徐小榮

【摘要】數(shù)學(xué)解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有很重要的地位，發(fā)揮著無可替代的教學(xué)功能，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，總是會(huì)出現(xiàn)學(xué)生的解題錯(cuò)誤。如何才能減少或避免學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的解題錯(cuò)誤呢？這是一個(gè)令廣大一線教師和學(xué)者所關(guān)注的問題。因此，研究高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的解題錯(cuò)誤極具現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)際意義。本文就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題錯(cuò)誤的成因進(jìn)行了理性的分析和歸納，并結(jié)合實(shí)際提出了糾正高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解題錯(cuò)誤教學(xué)對(duì)策，注意強(qiáng)調(diào)解題后反思，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 錯(cuò)誤 成因分析 對(duì)策 反思

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）32-0128-02

1.高中數(shù)學(xué)常見解題錯(cuò)誤類型

學(xué)習(xí)過程是最新學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用、形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是對(duì)新知識(shí)同化和順應(yīng)的過程所以在數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中，各階段、各層次都有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生。由于產(chǎn)生錯(cuò)誤的環(huán)節(jié)、背景不同，因而錯(cuò)誤的形式、呈現(xiàn)方式也有所區(qū)別，結(jié)合我個(gè)人的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見解題錯(cuò)誤有以下幾種類型：

1.1.基礎(chǔ)不扎實(shí)

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中，常常出現(xiàn)一些“似非之錯(cuò)”，如概念不清、性質(zhì)不明、定理不熟、胡亂套用公式、法則用得不準(zhǔn)確、計(jì)算不準(zhǔn)確等導(dǎo)致的解題錯(cuò)誤，其實(shí)這些都是學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)的具體表現(xiàn)。中學(xué)數(shù)學(xué)中有不少基本的概念，重要的性質(zhì)、定理、公式、法則等，這些都是學(xué)生賴以進(jìn)一步習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)和解數(shù)學(xué)題的基礎(chǔ)，如果對(duì)它們掌握得不夠扎實(shí)，則很容易在解題中出現(xiàn)紕漏。比如說法則的運(yùn)用，有些是有一定范圍的，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)，例如a∈R時(shí)，a=a.但z∈C時(shí)，z≠z，而是z=z·z；a∈R時(shí)，a≥0，但z∈C時(shí)，z≥0就不成了，當(dāng)m，n為整數(shù)指數(shù)時(shí)對(duì)復(fù)數(shù)也成立，但當(dāng)m，n為分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，這些法則運(yùn)用到虛數(shù)上就會(huì)出錯(cuò)。如：i37=（i4）=（I）=1就大錯(cuò)特錯(cuò)，事實(shí)上，i37=i4×9+1=i，故i37不能（i4），寫成（i4）本身就是錯(cuò)誤，再利用法則（am）n=am-n更是錯(cuò)上加錯(cuò)。

1.2思維不嚴(yán)密

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，但是這項(xiàng)體操若沒做好，則容易在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中犯一些思維不嚴(yán)密而導(dǎo)致的解題錯(cuò)誤。我們發(fā)現(xiàn)，高中生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果思維不嚴(yán)密，則容易出現(xiàn)審題欠仔細(xì)，理解欠準(zhǔn)確，考慮欠周到，討論欠全面，分類欠嚴(yán)密，以偏概全，忽視題中的隱含條件，忽視對(duì)字母的討論，忽視定義域和值域的變化，忽視特例的補(bǔ)證工作等而導(dǎo)致的“遺憾之錯(cuò)”。

例1：P點(diǎn)與兩定點(diǎn)例點(diǎn)與兩定點(diǎn)F1（-a，0），F(xiàn)2（a，0）（a>0）的連線的斜率的乘積是常數(shù)m，求點(diǎn)P的軌跡方程。討論當(dāng)m的值變化時(shí)，軌跡是什么曲線？

誤解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則kPF=，kPF=……（1）

依題意，得·=m即mx2-y2=ma2……（2）

所以所求的曲線方程為：-=1……（3）

當(dāng)m>0時(shí)，軌跡是實(shí)軸在x軸上，實(shí)半軸長為a，虛半軸長為的雙曲線；當(dāng)時(shí)m<0，軌跡是一個(gè)橢圓。

剖析：此解法錯(cuò)誤較多，錯(cuò)誤之一：由（1）式知x≠±a，當(dāng)x≠±a時(shí)的點(diǎn)是否在軌跡上，應(yīng)予以明確；錯(cuò)誤之二：由（2）式變形到（3）式，默認(rèn)m≠0，這是不行的，對(duì)m≠0和m=0要分別討論。錯(cuò)誤之三：討論欠全面。

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），當(dāng)x≠±a時(shí)，則kPF=，kPF=，依題意，得·=m，即mx2-y2=ma2，如果m=0，得y=0，軌跡是x軸（不含（a，0）、（-a，0）兩點(diǎn)），如果m≠0，方程mx2-y2=ma2可化為mx2-y2=ma2

（1）當(dāng)m>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上、實(shí)半軸為a、虛半軸為a的雙曲線（不含（a，0）、（-a，0）兩點(diǎn)）

（2）當(dāng)-1

（3）當(dāng)m=-1時(shí)，方程化為x2+y2=a2，是一個(gè)圓。（不含（a，0）、（-a，0）兩點(diǎn)）

（4）當(dāng)m<-1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上、長半軸為a短半軸為a的橢圓。（不含（a，0）、（-a，0）兩點(diǎn)）

1.3解題不規(guī)范

眾所周知，數(shù)學(xué)的解題要求可用八個(gè)字來概括，那就是正確、嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)捷、優(yōu)美，也就是說，正確規(guī)范的解題過程會(huì)給人以數(shù)學(xué)美的感受。但是，如果解題過程不規(guī)范，則不僅不會(huì)給人以美的感受，還會(huì)影響解題的正確性，學(xué)生在這方面稍不注意，也非常容易導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題不規(guī)范，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)表達(dá)能力差、畫圖不準(zhǔn)確、解題格式不明確等。

以上幾種常見高中生解題錯(cuò)誤類型，僅限于筆者個(gè)人的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和積累所歸納得到的，如果從不同的角度與高度來研究，則還可以得到其它不同解題錯(cuò)誤類型，本文限于篇幅和筆者的研究水平，也就不能一一詳盡。

2.糾正解題錯(cuò)誤的教學(xué)對(duì)策

2.1樹立正確的“錯(cuò)誤觀”

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論，忽視揭示知識(shí)形成的過程，害怕因啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，長此以往學(xué)生雖片面接受了正確的知識(shí)，但對(duì)錯(cuò)誤的出現(xiàn)卻表現(xiàn)出看不出錯(cuò)誤或看出錯(cuò)誤但改不對(duì)，甚而弄不清錯(cuò)誤的現(xiàn)象。因此，教師一定要樹立起正確的“錯(cuò)誤觀”，錯(cuò)誤不過是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所做的某種嘗試，它只能反映學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某個(gè)階段的水平，而不能代表其最終的實(shí)際水平，在不斷的提出與修正錯(cuò)誤中，對(duì)學(xué)生知識(shí)的完善和能力的提高會(huì)產(chǎn)生有益的影響，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析，自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤、才不會(huì)害怕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的解題錯(cuò)誤，才能在思想上建立改錯(cuò)的信心，在行動(dòng)上做出改錯(cuò)的努力。

2.2糾錯(cuò)時(shí)要進(jìn)行錯(cuò)誤分析

學(xué)生的作業(yè)、考試中常常會(huì)出現(xiàn)一些具有代表性的典型錯(cuò)誤這些錯(cuò)誤的出現(xiàn)反映出了學(xué)生學(xué)習(xí)中的薄弱環(huán)節(jié)，一般來說，也都是教材中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵之處，或者是教學(xué)中出現(xiàn)漏洞的地方。只有對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行更加深入的分析，才可能將錯(cuò)誤的深層原因揭示出來，才能讓學(xué)生心悅誠服。在教學(xué)中，教師有必要結(jié)合學(xué)生的錯(cuò)誤，編選一些類似的題目，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤加以糾正，補(bǔ)漏補(bǔ)缺讓學(xué)生在正、反兩方面比較，深刻理解，不再出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，達(dá)到充實(shí)提高的目的。

2.3豐富課堂的組織形式、多方改錯(cuò)

為了減少錯(cuò)誤的發(fā)生，教學(xué)宜在易錯(cuò)且不重視的地方著力，通?？刹扇∫韵路绞礁腻e(cuò)：（1）以學(xué)生活動(dòng)為主，個(gè)人改錯(cuò)與集體改錯(cuò)相結(jié)合對(duì)所犯錯(cuò)誤，自找錯(cuò)因，尋求正確答案。進(jìn)行個(gè)人自查這有利于加深認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生自我檢查、自我評(píng)價(jià)與自主學(xué)習(xí)的能力。集體改錯(cuò)主要是以自學(xué)小組為單位，以集體的智慧和力量共同鞏固知識(shí)，矯正錯(cuò)誤有利于發(fā)揚(yáng)學(xué)生的合作精神，充分發(fā)揮學(xué)生的潛力；（2）以教師組織為主，學(xué)生參與，多途徑改錯(cuò)。針對(duì)犯錯(cuò)誤人數(shù)的多少，有時(shí)宜個(gè)別輔導(dǎo)，分散改錯(cuò)，有時(shí)則需集體改錯(cuò)等，總之，通過多形式、多途徑的改錯(cuò)，使學(xué)生從錯(cuò)誤中清醒，澄清了是非，彌補(bǔ)了知識(shí)的缺漏，幫助學(xué)生從錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，引導(dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)，從而深刻理解并牢固掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有力地提高了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性和批判性。

2.4注意強(qiáng)調(diào)解題后反思

許多學(xué)生做了大量的數(shù)學(xué)題，成績(jī)卻不見提高，嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生為了提高數(shù)學(xué)成績(jī)，一味地追求做題的數(shù)量而不講究做題的質(zhì)量，有的題型大量操練，而隱含的錯(cuò)誤也重復(fù)的犯，有的錯(cuò)誤甚至得到了鞏固，形成了習(xí)慣性的錯(cuò)誤，克服起來更加困難。解題后反思是優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，它不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，克服錯(cuò)誤，還能優(yōu)化思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效果。因此，我們應(yīng)該注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)解題后的反思，更重要的是引導(dǎo)他們?nèi)绾稳シ此肌?/p>

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