，，，

(1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，武漢 430000；2.海軍902廠，上海 200083)

基于變分貝葉斯的自適應(yīng)魯棒濾波算法

左云龍1，尹偉偉2，高敬東1，李開(kāi)龍1

(1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，武漢430000；2.海軍902廠，上海200083)

針對(duì)組合導(dǎo)航姿態(tài)估計(jì)中，觀測(cè)同時(shí)受到野值與時(shí)變觀測(cè)噪聲影響的問(wèn)題，構(gòu)造一種基于變分貝葉斯的自適應(yīng)魯棒濾波算法。該算法可以有效地解決自適應(yīng)與魯棒濾波策略的矛盾，利用變分貝葉斯近似估計(jì)變換的觀測(cè)噪聲，在變分貝葉斯的濾波框架內(nèi)，利用Huber濾波魯棒化方法處理連續(xù)野值。在組合導(dǎo)航姿態(tài)估計(jì)試驗(yàn)中，驗(yàn)證了該算法具有良好的自適應(yīng)與魯棒性，并能夠保持較高的估計(jì)精度。

卡爾曼濾波；變分貝葉斯；魯棒；自適應(yīng)

0 引言

在卡爾曼濾波(Kalman Filtering,KF)的眾多性能指標(biāo)中，除了在通常情況下所關(guān)心的估計(jì)結(jié)果是否準(zhǔn)確和可靠穩(wěn)定外，在面對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，人們更關(guān)心在干擾的情況下，濾波算法是否仍能夠提供可靠而精準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果，即濾波的抗干擾能力。濾波抗干擾能力總結(jié)起來(lái)有兩種重要策略，即魯棒和自適應(yīng)。

從魯棒和自適應(yīng)的定義上來(lái)看，魯棒和自適應(yīng)策略在濾波中的體現(xiàn)主要集中于三個(gè)方面的觀點(diǎn)：其一，從濾波模型的觀點(diǎn)來(lái)看，自適應(yīng)更多地體現(xiàn)為處理系統(tǒng)狀態(tài)方程的干擾問(wèn)題，諸如模型假設(shè)偏差，模型參數(shù)干擾等問(wèn)題，而魯棒則更多體現(xiàn)為處理觀測(cè)方程的干擾問(wèn)題，諸如觀測(cè)噪聲污染等問(wèn)題；其二，從觀測(cè)量的觀點(diǎn)來(lái)看，Kalman濾波的系統(tǒng)狀態(tài)方程本質(zhì)也是一種觀測(cè)方程，只不過(guò)觀測(cè)量不是外界輔助信息，而是狀態(tài)量本身，依據(jù)這種觀點(diǎn)，自適應(yīng)處理的是狀態(tài)量中的干擾問(wèn)題，而魯棒處理的是觀測(cè)量中的干擾問(wèn)題；其三，從噪聲處理方式來(lái)看，自適應(yīng)多采用針對(duì)系統(tǒng)噪聲或進(jìn)一步預(yù)測(cè)的濾波方差加權(quán)或估計(jì)等處理方式來(lái)體現(xiàn)濾波抗干擾能力，而魯棒多采用針對(duì)觀測(cè)噪聲加權(quán)等處理方式來(lái)體現(xiàn)濾波抗干擾能力。因此，可以說(shuō)魯棒和自適應(yīng)策略是一對(duì)此消彼長(zhǎng)的矛盾策略，比較直觀的例子是，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾時(shí)，自適應(yīng)會(huì)通過(guò)加權(quán)增大系統(tǒng)噪聲方差的方式，將更多的外部信息引入到系統(tǒng)中來(lái)，用大量新信息來(lái)稀釋干擾信息實(shí)現(xiàn)濾波抗干擾，在Kalman濾波算法中具體體現(xiàn)為增大增益K；而魯棒則是通過(guò)加權(quán)減小觀測(cè)噪聲方差的方式，一旦敏感到系統(tǒng)受到干擾，將不再信任外部信息，用盡可能少的外部信息來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波抗干擾，在濾波算法中具體體現(xiàn)為減小增益K。顯然，自適應(yīng)和魯棒對(duì)于外部信息的認(rèn)識(shí)造成了實(shí)現(xiàn)魯棒自適應(yīng)濾波算法構(gòu)造的困難。而目前的主要魯棒濾波方法[1-6]和自適應(yīng)濾波方法[7-10]均沒(méi)有很好地兼容兩者之間的矛盾。

因此，為了解決魯棒與自適應(yīng)在同一種濾波算法中的矛盾性，本文提出了一種基于變分貝葉斯的自適應(yīng)魯棒濾波算法，利用變分貝葉斯(Variational Bayesian，VB)估計(jì)和高斯迭代濾波框架，提出一種兼顧魯棒與自適應(yīng)的Kalman濾波算法，該算法能夠較好地實(shí)現(xiàn)魯棒與自適應(yīng)在同一濾波算法框架內(nèi)的使用，在不同干擾類型和強(qiáng)度下，均取得了較好的估計(jì)效果。

1 變分貝葉斯自適應(yīng)魯棒濾波算法

考慮一個(gè)高斯線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型為

(1)

式(1)表示從k-1到k時(shí)刻，xk是n維狀態(tài)量，yk是m維觀測(cè)量，F(xiàn)k-1是系統(tǒng)矩陣，Hk是觀測(cè)矩陣，wk-1～(0,Qk-1)，vk～(0,Rk)，Qk-1是系統(tǒng)噪聲方差，Rk是觀測(cè)噪聲方差。

對(duì)于一般情況來(lái)說(shuō)，可視yk不受外界干擾，并且vk完全服從零均值的高斯白噪聲影響。但是，在組合導(dǎo)航、信號(hào)處理等實(shí)際問(wèn)題中，這種理想情況并不存在，一種較為普遍的情況是觀測(cè)量yk中含有野值，并且vk的先驗(yàn)知識(shí)并不已知或時(shí)變。對(duì)于單獨(dú)處理以上某一種問(wèn)題，相關(guān)的研究是比較充分的，但是，如何將兩者同時(shí)考慮的研究相對(duì)較少。因此，本文針對(duì)這種情況，將VB估計(jì)和M估計(jì)方法結(jié)合起來(lái)，構(gòu)造一種可以同時(shí)處理觀測(cè)方程中兩種干擾的魯棒濾波方法。

1.1 變分貝葉斯估計(jì)

VB估計(jì)的核心思想在于將難以求解的貝葉斯估計(jì)的概率密度分解為易于求解的多個(gè)概率密度，即求解基于y1:k的條件概率密度p(xk,Rk|y1:k)，如果Rk是已知的，那么KF可以解決;而如果Rk是未知或者時(shí)變的，就很難給出解析解。VB估計(jì)方法將這種復(fù)雜的聯(lián)合條件概率密度分解為2個(gè)可以求解的獨(dú)立參數(shù)的概率密度乘積的形式，如

p(xk,Rk|y1:k)≈?x(xk)?R(Rk)

(2)

(4)

VB估計(jì)通過(guò)近似概率密度和p(xk,Rk|y1:k)的Kullback-Leibler(KL)散度距離最小的，將狀態(tài)量xk和未知量Rk分離為2個(gè)近似概率密度分布乘積形式，這2個(gè)近似概率密度分布表示為高斯概率密度分布和Inverse-Gamma(IG)概率密度分布的近似乘積如

p(xk,Rk|y1:k)≈

(5)

(6)

1.2 M估計(jì)

M估計(jì)是一種由Huber提出的魯棒估計(jì)方法，具有良好的濾波魯棒性。M估計(jì)的本質(zhì)在于求解得該代價(jià)函數(shù)最小值時(shí)的濾波估計(jì)值，如

(7)

式中，ρ·為引入的魯棒代價(jià)函數(shù)，ei是殘差。因此，可見(jiàn)構(gòu)造具有良好魯棒性的代價(jià)函數(shù)是M估計(jì)的核心。Huber提出了一種代價(jià)函數(shù)，如

(8)

式中，γ為調(diào)節(jié)因子，是代價(jià)函數(shù)的門限，體現(xiàn)了對(duì)外部干擾情況的處理程度，γ一般取1.345。對(duì)于Huber的濾波魯棒化框架，通常有兩種解釋：其一是重加權(quán)平均；其二是構(gòu)造偽觀測(cè)量。重加權(quán)平均是觀測(cè)噪聲方差的魯棒化過(guò)程，而構(gòu)造偽觀測(cè)量是觀測(cè)量的魯棒化過(guò)程，本文主要采用重加權(quán)平均的形式，即

構(gòu)造形如下式的權(quán)重函數(shù)

Ψk=diagφek,j/ek,j

(9)

式中，ek,j表示第j維的歸一化殘差。Ψy,k為權(quán)重函數(shù)，φ=ρ′為影響函數(shù)，重加權(quán)平均就是對(duì)觀測(cè)噪聲方差的魯棒化改造過(guò)程，即

(10)

1.3 變分貝葉斯魯棒濾波算法

基于以上濾波方法，構(gòu)造變分貝葉斯魯棒濾波算法，即通常VB來(lái)說(shuō)跟蹤估計(jì)時(shí)變的觀測(cè)噪聲方差，再將估計(jì)的觀測(cè)噪聲方差帶入Huber魯棒濾波框架中，處理觀測(cè)量干擾問(wèn)題。具體算法如下所示。

(1)時(shí)間更新：

(11)

(12)

αk|k-1,i=ρiαk-1|k-1,i

(13)

βk|k-1,i=ρiβk-1|k-1,i

(14)

其中，ρ為變分衰減參數(shù)，一般在(0,1]內(nèi)取回。

(2)觀測(cè)更新

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2 仿真驗(yàn)證

2.1 SINS/GPS組合濾波模型

本文采用SINS/GPS組合濾波模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)，其中，間接式的狀態(tài)方程是以捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差方程為基礎(chǔ)的，其狀態(tài)量為姿態(tài)、速度和位置的誤差量等，其中姿態(tài)誤差量一般采用歐拉角(θ,γ,ψ)表示(其中，θ為俯仰角，γ為橫滾角，ψ為航向角)?？紤]間接式的捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)、速度與位置更新的連續(xù)時(shí)間微分誤差方程[11]

(22)

(23)

(24)

其中

M1=Rp

(25)

(26)

其中，εb為陀螺的常值漂移，ηgv和ηgu分別表示不同方差的零均值高斯白噪聲。加速度計(jì)誤差方程為

(27)

間接式的觀測(cè)方程如下

(28)

2.2 對(duì)比試驗(yàn)

仿真比較傳統(tǒng)KF、基于Huber魯棒濾波(簡(jiǎn)稱HKF)、自適應(yīng)濾波(簡(jiǎn)稱AKF)、基于變分貝葉斯的自適應(yīng)魯棒濾波(簡(jiǎn)稱HAKF)四種濾波算法的濾波效果。首先，對(duì)以下四種仿真情況加以說(shuō)明：

情況1：高斯假設(shè)分布情況；

情況2：在時(shí)變觀測(cè)噪聲方差情況；

情況3：在含有野值情況；

情況4：在時(shí)變觀測(cè)噪聲方差和含有野值同時(shí)存在的情況。

其中，情況1是理想狀態(tài)，rk=[10/glv.Re10/glv.Re10]且Rk=diag(rk)2，其中g(shù)lv.Re=6378137，地球半徑(GPS-84)；

對(duì)于情況2，假設(shè)時(shí)變觀測(cè)噪聲如下所示

其中

(1+tanh(0.01×(k-len/4)))

(29)

(30)

(31)

式中，k是時(shí)刻，len是總時(shí)長(zhǎng)。

對(duì)于情況3，采用混合高斯分布來(lái)定義，如

(32)

式中，α為干擾因子，表示觀測(cè)量受污染程度；σ1和σ2分別表示獨(dú)立的高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)方差。仿真時(shí)長(zhǎng)len=850。

情況4是情況2和情況3的結(jié)合。

以下分兩種情況分析四種濾波算法的濾波效果。

(1)對(duì)比KF在四種情況下的濾波效果

對(duì)比在四種情況下，KF算法的姿態(tài)估計(jì)濾波效果，如圖1～圖3所示。由圖1～圖3可見(jiàn)，KF在情況1條件下的濾波效果最好，要優(yōu)于在情況2、3、4條件下的濾波效果，在濾波穩(wěn)定性和濾波精度方面都有明顯表現(xiàn)。同時(shí)，KF在情況3條件下的濾波效果與在情況1條件下的濾波效果比較接近，要優(yōu)于情況2條件下的濾波效果，情況2條件下的濾波效果要優(yōu)于情況4條件下的濾波效果。

圖2 在高斯情況下和觀測(cè)噪聲變化情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.2 Comparison of attitude estimation errors between Gauss and observation

圖3 在高斯情況下和含野值以及觀測(cè)噪聲變化情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.3 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

(2)對(duì)比KF、HKF、AKF和HAKF在情況1和情況4條件下的濾波效果

圖4 在高斯情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.4 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

對(duì)比在情況1和情況4條件下，四種濾波算法的姿態(tài)估計(jì)濾波效果。為了進(jìn)一步觀察濾波效果，另外進(jìn)行了50次蒙特卡羅仿真，如圖4～圖7所示。由圖4可見(jiàn)，在情況1條件下，四種濾波算法濾波效果較為接近，相差不大；但從圖5可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)50次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，長(zhǎng)時(shí)間仿真實(shí)驗(yàn)的情況下，在四種濾波算法中，HAKF的濾波穩(wěn)定性是最好的，而且濾波精度與KF基本相當(dāng)；由圖6可見(jiàn)，在情況4條件下，四種濾波算法的濾波效果中，HAKF濾波效果最好，濾波穩(wěn)定性和精度都是最佳的，AKF濾波效果與HAKF濾波效果較為接近，要明顯優(yōu)于KF和HKF，KF的濾波效果與其他三種濾波算法的濾波效果相差較大；由圖7可見(jiàn)，在情況4條件下，經(jīng)過(guò)50次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，在長(zhǎng)時(shí)間存在外在干擾的情況下，四種濾波算法的濾波效果中，HAKF濾波效果最好，濾波穩(wěn)定性和精度都是最佳的，AKF濾波效果與HAKF濾波效果較為接近，要明顯優(yōu)于KF和HKF，KF的濾波效果與其他三種濾波算法的濾波效果相差較大。

圖5 在高斯情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.5 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

圖6 在高斯情況下與含野值和觀測(cè)噪聲變化情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.6 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

圖7 在高斯情況下與含野值和觀測(cè)噪聲變化情況下姿態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.7 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

3 結(jié)論

本文針對(duì)組合導(dǎo)航姿態(tài)估計(jì)中觀測(cè)同時(shí)受到連續(xù)野值與變化的觀測(cè)噪聲影響等問(wèn)題，利用高斯牛頓迭代方法，通過(guò)VB估計(jì)和Huber M估計(jì)提出了一種基于變分貝葉斯的自適應(yīng)魯棒濾波算法。自適應(yīng)和魯棒性兩種濾波策略在HAKF中結(jié)合到了一起?；谧赃m應(yīng)策略的VB方法具有對(duì)時(shí)變?cè)肼晠f(xié)方差的強(qiáng)跟蹤能力；基于魯棒策略的Huber M估計(jì)方法通過(guò)改進(jìn)濾波更新的方式具有解決污染分布或者異常值的能力。使用高斯牛頓迭代方法不僅能將M估計(jì)方法自然地融合到HAKF中而且還能提高濾波精度。通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)證明了HAKF的效能，驗(yàn)證了該算法具有良好的自適應(yīng)與魯棒特點(diǎn)，并能夠保持較高的估計(jì)精度。

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AdaptiveRobustFilteringAlgorithmBasedonVariationalBayesian

ZUOYun-long1,YINWei-wei2,GAOJing-dong1,LIKai-long1

(1.NavigationEngineeringDepartment,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430000，China；2.Navy902Factory,Shanghai200083，China)

In this paper, an adaptive robust filtering algorithm based on variational Bayesian method is proposed to solve the problem of the simultaneous observation of outliers and time-varying noises in the attitude estimation of integrated navigation.The algorithm can effectively solve the contradiction between the adaptive and robust filtering strategy, using variational Bayesian approximation to estimate the observation noise transformation, and deal with continuous outliers by using Huber filter robust method in the variational Bayesian filtering framework.In the integrated navigation attitude estimation experiment, it is proved that the algorithm has good adaptability and robustness, and maintains high estimation accuracy.

Kalman filter；Variational Bayes；Robust；Adaptive

2017-03-30；

：2017-06-09

：國(guó)家自然科學(xué)基金(61374206)；國(guó)家自然科學(xué)基金(61304241)；國(guó)家自然科學(xué)基金(61703419)；海軍工程大學(xué)自主立項(xiàng)項(xiàng)目(20161576)

：左云龍(1988-)，男，碩士研究生，主要從事慣性技術(shù)及應(yīng)用方面的研究。E-mail：327731817@qq.com

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.05.008

U666.12

：A

：2095-8110(2017)05-0048-06