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(哈爾濱工業(yè)大學航天學院,哈爾濱 150080)

基于機械抖動激光陀螺儀的動態(tài)誤差分析

鄧亞嬌,王振桓,曾慶雙

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院,哈爾濱150080)

機抖激光陀螺儀是目前應(yīng)用最為廣泛的激光陀螺,是實現(xiàn)應(yīng)用捷聯(lián)慣導系統(tǒng)進行導航的理想慣性儀表,研究激光陀螺儀的誤差因素,并通過軟件進行補償提高其精度,對提高捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的精度具有重要意義。相對于研究已經(jīng)較為成熟的靜態(tài)誤差,對動態(tài)誤差的研究仍較少。針對激光陀螺的動態(tài)誤差,通過分析在動態(tài)環(huán)境中抖動機構(gòu)的輸出對二頻機抖激光陀螺輸出的影響,建立了動態(tài)誤差模型,為激光陀螺動態(tài)誤差的研究提供了理論儲備,具有一定的工程應(yīng)用價值。

捷聯(lián)慣導系統(tǒng);機抖激光陀螺;動態(tài)誤差;建模

0 引言

慣性儀表是慣性導航系統(tǒng)的關(guān)鍵部件,在很大程度上決定了慣性導航的精度。當慣性儀表長期連續(xù)工作時,由慣性儀表輸出誤差引起的導航誤差會隨著時間進行累積,據(jù)統(tǒng)計在由各種因素引起的總的導航誤差中,有70%以上的誤差是由慣性儀表引起的[1]。故此,慣性儀表精度的提高是提高導航精度的一條重要途徑。

目前,通過對慣性儀表的誤差進行分析,建立精確的誤差模型,并標定出相應(yīng)的誤差系數(shù),由軟件對誤差進行補償來提高慣性儀表精度的方法具有極大的優(yōu)勢。其中,分析儀表誤差并建立精確的誤差模型是標定的基礎(chǔ)。慣性儀表的誤差主要包括靜態(tài)誤差、動態(tài)誤差及隨機誤差,目前國內(nèi)外對于靜態(tài)誤差的研究已經(jīng)趨于成熟,而對于動態(tài)誤差則研究較少。而對于捷聯(lián)慣導系統(tǒng),慣性儀表直接固連于載體之上,沒有機械平臺的隔離作用,載體的運動會直接作用在慣性儀表上,慣性儀表需承受很大的動態(tài)范圍。當載體處在激烈的動態(tài)環(huán)境中時,慣性儀表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)受動態(tài)力矩的干擾會使其輸出中不可避免地引入動態(tài)誤差,且不可忽略。因此,研究慣性儀表的動態(tài)誤差,并對其進行補償,對提高慣性導航精度具有重要意義。

激光陀螺是一種新型的光學角速率敏感器,是利用激光作為相干光源,采用差頻探測技術(shù),由環(huán)形激光諧振腔構(gòu)成的測量角速度或角度的裝置,發(fā)展成熟于20世紀60年代以后。相對于機械轉(zhuǎn)子陀螺,它具有線性度好、性能穩(wěn)定、可靠性高、耐振動沖擊、壽命長、動態(tài)范圍廣、啟動迅速等一系列優(yōu)勢[2-3],使其在在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,在軍事領(lǐng)域中的應(yīng)用尤為突出。目前應(yīng)用最為廣泛的激光陀螺儀為機抖激光陀螺儀,它是實現(xiàn)應(yīng)用捷聯(lián)慣導系統(tǒng)進行導航的理想慣性儀表。因此研究機抖激光陀螺儀的誤差因素,對提高捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的精度具有重要意義。然而目前大多學者都集中于研究溫度[4]和隨機噪聲對其輸出的影響,對其動態(tài)誤差的研究則相對較少。但當載體處在激烈的動態(tài)環(huán)境中時,力學環(huán)境惡劣,由于機抖機構(gòu)的存在,動態(tài)誤差的影響將變得不可忽略[5]。因此,為了研究機抖激光陀螺的動態(tài)誤差,本文通過分析在動態(tài)環(huán)境中抖動機構(gòu)的輸出對二頻機抖激光陀螺輸出的影響,建立了二頻機抖激光陀螺的動態(tài)誤差模型,為激光陀螺動態(tài)誤差的研究提供了理論儲備。

1 機抖激光陀螺的輸入輸出方程

對于機抖激光陀螺的抖動偏頻技術(shù)在很多文獻中都有闡述,因此這里不再贅述,本文中采用的機械抖動偏頻信號為正弦形式,如下所示

ωDB=ωDBMcos(2πfDBt)

(1)

二頻機抖激光陀螺的輸出為兩路正弦拍頻信號,相位差為π/2。經(jīng)過零電平電壓轉(zhuǎn)換器,將兩路正弦拍頻信號轉(zhuǎn)換為兩路相位差為π/2的方波信號[6]。當采用式(1)所示的機械抖動偏頻信號時,通過對這兩路方波信號進行鑒相計數(shù),可得到計數(shù)值N的表達式如下[7]

(2)

式中：ω為機抖角頻率;φ為機抖相位與陀螺信號中機抖相位的差值;Ω(t)為t時刻陀螺的輸入角速度;ε(t)為t時刻的隨機誤差項。

由式(2)可以看出,計數(shù)值N由激光陀螺的輸入角速度、抖動偏頻引起的正弦振動及隨機噪聲誤差項三部分組成,設(shè)定采樣時間間隔為Δt,對機抖激光陀螺的輸出信號進行采樣,可得到第i個采樣值ΔNi,具體表達式如下

Ni-Ni-1 =ΔNi

=Asin(ωti+φ)-Asin(ωti-1+φ)+

(3)

式中,根據(jù)三角函數(shù)和差化積公式,可將由抖動偏頻機構(gòu)引起的正弦振動化為如下形式

Asin(ωti+φ)-Asin(ωti-1+φ)=

當Δt足夠小時,可將上式化為如下形式

Asin(ωti+φ)-Asin(ωti-1+φ)≈

AωΔtcos(ωti+φ)

(4)

最終可得第i個采樣值ΔNi的表達式

(5)

式中，K=AωΔt。

通過鑒相計數(shù)得到陀螺的輸出信號后,為得到實際的外部輸入角速度,需要對陀螺的輸出信號進行解調(diào),即需要去除由抖動信號引起的正弦輸出量,目前常用的抖動剝除技術(shù)有整周期計數(shù)和數(shù)字濾波兩種方法[7]。采用合適的抖動剝除技術(shù)將抖動去除后,最終可得到采樣值的理想值

(6)

理論上激光陀螺由于其全固態(tài)的結(jié)構(gòu),動態(tài)誤差對其影響較小。但對于二頻機抖激光陀螺,由于機抖機構(gòu)的存在使得激光陀螺在角加速度的作用下,輸出信號中會引入低頻干擾量,這一干擾無法通過抖動剝除技術(shù)去除,會對陀螺的最終輸出產(chǎn)生影響,使得陀螺的第i個采樣值變?yōu)槿缦滦问?/p>

(7)

式中，β為陀螺工作在動態(tài)環(huán)境中由抖動機構(gòu)引入的低頻干擾量

據(jù)此,本文將通過分析陀螺工作在動態(tài)環(huán)境中時,由機抖機構(gòu)引入的干擾信號對陀螺輸出信號的影響,來建立機抖激光陀螺的動態(tài)誤差模型。

2 機抖機構(gòu)動力學簡化模型

抖動機構(gòu)是二頻機抖激光陀螺的關(guān)鍵部件,是保證其正常工作的基本組成部分。通過查閱文獻可知,眾多學者在研究抖動機構(gòu)時,通常將其看為一個整體,而不考慮各個部分的分運動。因此,可認為抖動機構(gòu)只是在圍繞其中心軸線做扭轉(zhuǎn)振動,通?？蓪⑵涞刃槿鐖D1所示的一個單自由度扭轉(zhuǎn)振動的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)來進行研究[8-9]。

圖1 等效質(zhì)量彈簧系統(tǒng)Fig.1 Equivalent mass spring system

根據(jù)圖1可以建立出系統(tǒng)的振動方程如下

(8)

式中，J為系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量；C為系統(tǒng)阻尼項；K為系統(tǒng)總剛度；θ為抖動軸轉(zhuǎn)動角度；M(t)為抖動驅(qū)動力矩。

在本文的討論中采用正弦抖動偏頻信號,故此,驅(qū)動力矩應(yīng)為正弦波,表達式如下

M(t)=M0sin(ωdt)

(9)

在式(9)給出的正弦波力矩驅(qū)動下,通過解微分方程求取抖動軸轉(zhuǎn)角表達式。首先可將式(8)改寫成如下形式

(10)

考慮系統(tǒng)零初值,對式(10)左右兩邊同時進行Laplace變換,可得θ(s)

(11)

再對式(11)進行Laplace反變換,可求得時域中抖動軸轉(zhuǎn)角的表達式如下

(12)

根據(jù)式(12)可知,抖動軸輸出的轉(zhuǎn)動角度由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)兩部分組成。在啟動機械抖動偏頻裝置時,啟動階段抖動軸的輸出存在過渡過程即體現(xiàn)為瞬態(tài)響應(yīng),在實際應(yīng)用中,這一過程很短,系統(tǒng)迅速完成啟動過程到達穩(wěn)態(tài),故可忽略暫態(tài)過程的影響,考慮系統(tǒng)的輸出只是穩(wěn)態(tài)響應(yīng),即

(13)

θ(t)=θ0(t)+e-ξωnt[C0cos(ωdt)+

(14)

根據(jù)式(14)可知,當系統(tǒng)存在初值時只對瞬態(tài)響應(yīng)部分有影響,改變了系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的時間；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分仍與系統(tǒng)具有零初值時相同。由于本文的分析中只需考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng),故可認為有無初值對系統(tǒng)的輸出無影響,在以后的分析中也不再考慮初值問題。

3 動態(tài)環(huán)境中機抖機構(gòu)輸出信號對陀螺輸出的影響

本節(jié)中將根據(jù)第2節(jié)中得到的機抖機構(gòu)的動力學簡化模型,分析機抖機構(gòu)在動態(tài)環(huán)境中的受力狀況,重新改寫振動輸出方程,求取機抖機構(gòu)的輸出轉(zhuǎn)角。根據(jù)在動態(tài)環(huán)境中得到的抖動機構(gòu)的輸出,分析其對陀螺輸出信號的影響,建立機抖激光陀螺的動態(tài)誤差模型。

3.1 抖動軸與輸入軸重合時的動態(tài)誤差模型

圖2 抖動機構(gòu)受力分析示意圖Fig.2 Dithering mechanism stress analysis diagram

式(8)需修改為如下形式

(15)

由于正弦驅(qū)動力矩產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),在第2節(jié)中已經(jīng)給出,這里只需計算由外部輸入力矩的作用使系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通過Laplace變換對式(15)進行求解,可求得機抖機構(gòu)在時域里的振動輸出為

由此可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

θ1s(t)=JA0

(16)

由式(13)和式(16)可知,抖動軸輸出的角度為

θ(t)=θ0s(t)+θ1s(t)=Acos(ωdt)+JA0

(17)

由式(17)可以看出,由于外部力矩的作用,使得抖動軸輸出角度額外疊加了一個常值信號。對激光陀螺輸出信號鑒相計數(shù),可得

(18)

在式(18)中可以看出,由外部力矩作用疊加的角度信號對陀螺的輸出不起作用,即當外部輸入角加速度為常值時,沒有在陀螺的輸出中引入額外的誤差。

通過對式(15)求解,可得抖動軸輸出響應(yīng)

θ2(t)=JA1t-2JA1ξ/ωn+(2JA1ξ/ωn)e-ξωnt·

(19)

其中,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

θ2s(t)=JA1t-2JA1ξ/ωn

(20)

由式(13)和式(20)可知,抖動軸輸出的角度為

θ(t) =θ0s(t)+θ2s(t)

=Acos(ωdt)+JA1t-2JA1ξ/ωn

(21)

由式(21)可以看出,由于外部力矩的作用,使得抖動軸輸出角度額外疊加了一個常值信號和一個斜坡信號。當對激光陀螺輸出信號進行鑒相計數(shù)時,由之前的分析可知常值信號對陀螺的輸出沒有影響,而對于斜坡信號

θ(ti)-θ(ti-1) =Ksin(ωdt)+JA1(ti-ti-1)

=Ksin(ωdti)+JA1Δt

(22)

故

Ni=θ(ti)-θ(ti-1)+

=Ksin(ωdti)+JA1Δt+

(23)

對陀螺輸出信號采用適當?shù)亩秳觿兂夹g(shù)進行處理,去除抖動機構(gòu)在陀螺輸出信號中引入的正弦輸出,可得

(24)

(25)

考慮抖動機構(gòu)的振動輸出方程,變?yōu)槿缦滦问?/p>

=M(t)+J·f(t)

=M(t)+J·[f0(t)+f1(t)+

f2(t)+…+fj(t)+…]

(26)

對函數(shù)f(t)的每一段進行分析,t∈(tj,tj+δt]時,f(t)=fj(t)=aj+bjt,此時抖動機構(gòu)振動輸出方程形式如下

(27)

對式(27)求解微分方程,可得到抖動軸輸出角度穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

(28)

對激光陀螺輸出信號鑒相計數(shù)時

θj(ti)-θj(ti-1) =Ksin(ωdti)+JbjΔt

=Ksin(ωdti)+J·fj′(t)Δt

(29)

考慮整個時域范圍時,可得到θ(ti)-θ(ti-1) =Ksin(ωdti)+J·[f0′(t)+f1′(t)+

f2′(t)+…fj′(t)+…]Δt

=Ksin(ωdti)+J·f′(t)Δt

(30)

(31)

3.2 抖動軸與輸入軸不重合時的動態(tài)誤差模型

當抖動軸與陀螺輸入軸不重合時[10],抖動軸受到的外部力矩將不只與沿陀螺輸入軸方向的角加速度有關(guān),還與沿同輸入軸方向正交的兩軸方向的角加速度有關(guān)。由此,在動態(tài)環(huán)境中抖動機構(gòu)在陀螺輸出信號中引入的動態(tài)誤差將不再只有一項。

(1)抖動軸為剛性軸

當抖動機構(gòu)坐標系與陀螺坐標系之間存在失準角時,兩坐標系的位置關(guān)系如圖3所示。

圖3 抖動機構(gòu)坐標系與陀螺坐標系位置關(guān)系Fig.3 Relation between dithering mechanism coordinate and gyro coordinate

圖3中,g坐標系為陀螺坐標系,d坐標系為抖動機構(gòu)坐標系。

沿抖動軸方向不僅有輸入軸方向的角加速度,同時在該方向也引入了另外2個正交方向的角加速度。

(32)

(33)

(34)

K1=Jcosθocosθs

K2=Jθscosθocosθs

K3=Jθocosθocosθs

最終得到機抖激光陀螺的動態(tài)輸出誤差模型如下

(35)

其中：K1=Jcosθocosθs

K2=Jθscosθocosθs

K3=Jθocosθocosθs

(2)抖動軸具有撓性

當抖動軸具有撓性時,在與輸入軸方向正交的兩軸方向施加角加速度,會使抖動軸發(fā)生彎曲。設(shè)沿輸出軸方向轉(zhuǎn)過角度θo,沿S軸方向轉(zhuǎn)過角度θs,抖動軸偏轉(zhuǎn)前的初始坐標系為o-ios,偏轉(zhuǎn)后的坐標系為o-i′o′s′,2個坐標系的位置關(guān)系如圖4所示。

圖4 抖動軸偏轉(zhuǎn)前后坐標系位置關(guān)系Fig.4 Relation between dithering axis coordinate before and after the deflection

在這里抖動軸的受力方向應(yīng)為沿與輸入軸方向正交的兩軸方向,考慮在沿O軸的力矩作用下,抖動軸偏轉(zhuǎn)了θo角度。由于θo為小量,S軸方向與S1軸方向十分接近,故近似地認為另一個力矩方向沿S1軸方向。所以可以認為,抖動軸在沿S1軸方向力矩的作用下偏轉(zhuǎn)了θs角度。最終,抖動軸與輸入軸之間的偏角為θ,且cosθ=cosθocosθs。

根據(jù)圖4所示,可求得2個坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣,從而可求得在抖動軸偏轉(zhuǎn)后得到的坐標系o-i′o′s′中沿抖動軸方向的輸入角加速度

(36)

由于在本質(zhì)上撓性支撐類似于一個彈簧系統(tǒng),這里忽略重力的影響,因此,該運動過程的運動方程可寫為如下形式:

(37)

(38)

θoj=Jocj+Jodjt-2Jodjξ1/ωn1

(39)

考慮整個時域,可得θo=Jo[(c0+d0t)+(c1+d1t)+…+(cj+djt)+…]-

2Jo(d0+d1+…+dj+…)ξ1/ωn1

=Jo[g0(t)+g1(t)+…+gj(t)+…]-

2Jo[g0′(t)+g1′(t)+…+gj′(t)+…]ξ1/ωn1

=Jog(t)-2Jog′(t)ξ1/ωn1

(40)

根據(jù)式(40)同理可得θs的表達式如下

(41)

(42)

將式(42)代入到抖動機構(gòu)的振動輸出方程中,可得

(43)

(44)

最終可以得到,當抖動軸具有撓性時的機抖激光陀螺的J態(tài)輸出誤差模型如下

(45)

其中:

K1=J，K2=J(Js-Jo)

K3=J(Js-Jo)，K4=-2J(Js-Jo)ξ1/ωn1

K5=-2JJsξ1/ωn1，K6=2JJoξ1/ωn1

4 結(jié)論

本文通過分析在動態(tài)環(huán)境中機抖機構(gòu)的輸出對激光陀螺輸出的影響,建立了二頻機抖激光陀螺的動態(tài)誤差模型,為后續(xù)研究機抖激光陀螺的動態(tài)誤差提供了理論儲備。但在模型建立時僅考慮了抖動機構(gòu)沿抖動軸方向受到的力矩對抖動機構(gòu)輸出的影響和抖動軸為撓性支撐的影響,而未考慮其他未知因素,因此該模型的建立并不完整且存在一些由近似引入的偏差,還有待進一步完善。

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DynamicErrorAnalysisBasedontheDitheredLaserGyro

DENGYa-jiao,WANGZhen-huan,ZENGQing-shuang

(SchoolofAeronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150080,China)

Mechanically dithered ring laser gyroscope, which is most widely used, is the ideal component for strapdown inertial navigation system, thus the research and compensation of laser gyroscope error factors by the software are of great significance for improving the precision of the strapdown inertial navigation system.Compared to static error, the study of dynamic error is still inadequate worldwide.For the dynamic errors of laser gyro, the influence of dithering mechanism output on the mechanically dithered ring laser gyro output in the dynamic environment is analyzed, and the dynamic error model of ring laser gyro is set up.The research finding provides a good reference for the study of the dynamic error of laser gyro and has certain engineering application value.

SINS; Mechanically dithered ring laser gyro; Dynamic error; Modeling

2017-06-01；

：2017-07-11

：國家自然科學基金(61640301)

：鄧亞嬌(1993-)，女，碩士，主要從事導航、制導與控制方面的研究。E-mail:1540107297@qq.com

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.05.013

V241.6

：A

：2095-8110(2017)05-0075-08