張 勇， 侯之超， 趙永玲

(清華大學(xué) 汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

界面自由度柔性等效與子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合方法

張 勇， 侯之超， 趙永玲

(清華大學(xué) 汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

針對頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法中由于轉(zhuǎn)角自由度頻響函數(shù)缺失造成的綜合建模誤差較大的問題，提出了界面自由度柔性等效方法。將界面分為若干子界面，假定子界面剛性，通過最小二乘坐標(biāo)變換，提取可描述子界面特征的6自由度分量，據(jù)此實(shí)現(xiàn)對子界面的剛性等效，綜合所有子界面的等效自由度即形成界面的柔性等效。利用等效后的界面柔性自由度與原界面自由度的關(guān)系，對子結(jié)構(gòu)的原始頻響函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)地變換，并將其應(yīng)用到子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合方法中。仿真結(jié)果表明，將界面自由度進(jìn)行柔性等效能明顯提高頻響函數(shù)的綜合精度。

頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合；界面自由度；柔性等效

與模態(tài)綜合方法相比，頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法直接利用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)進(jìn)行綜合建模，無需考慮主模態(tài)個(gè)數(shù)的限制和剩余模態(tài)等問題，只需獲得所感興趣的頻段內(nèi)完整的頻響數(shù)據(jù)即可，適合模態(tài)密集與阻尼較大結(jié)構(gòu)的綜合建模[1-2]。但界面自由度信息的完整性一直是頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法面臨的一個(gè)重要困難，尤其在頻響函數(shù)測試中，有關(guān)轉(zhuǎn)角自由度的頻響信息一般難以準(zhǔn)確獲得。除少數(shù)特殊連接界面外，例如球鉸，其在連接界面上無轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)角自由度響應(yīng)，無需考慮與轉(zhuǎn)角自由度有關(guān)的頻響，對其它一般結(jié)構(gòu)件來說，連接界面大都承受彎矩，在連接界面上有轉(zhuǎn)角位移響應(yīng)，這時(shí)轉(zhuǎn)角自由度的頻響信息就十分重要。

Silva等[3]指出完整的頻響函數(shù)矩陣至少包含了75%的轉(zhuǎn)角自由度的頻響信息。Liu等[4]論述了轉(zhuǎn)角自由度在頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法中的重要性，指出不考慮轉(zhuǎn)角自由度會(huì)得到錯(cuò)誤的綜合結(jié)果。有關(guān)子結(jié)構(gòu)綜合建模的商用軟件中也未見考慮與轉(zhuǎn)角自由度相關(guān)的頻響函數(shù)[5]。為了得到轉(zhuǎn)角自由度的頻響特性，眾多學(xué)者進(jìn)行了研究，其中主要集中對轉(zhuǎn)角自由度頻響的間接測量方法的探究，如通過附加“T”形塊等進(jìn)行彎矩激勵(lì)和轉(zhuǎn)角自由度響應(yīng)的間接測量。但其因測量引起的誤差仍較大。模態(tài)縮聚與擴(kuò)展技術(shù)也被用來對未測量自由度的頻響函數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償，Avitabile等[6]考慮剩余留數(shù)的影響，利用系統(tǒng)等效縮聚與擴(kuò)展(SEREP)方法直接估計(jì)未測頻響函數(shù)，擴(kuò)展頻響函數(shù)矩陣，該方法需要獲取結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息。Van Der Seijs等[7]使用標(biāo)準(zhǔn)替代部件與未知子結(jié)構(gòu)先行綜合，然后利用子結(jié)構(gòu)解耦方法得到未知子結(jié)構(gòu)的界面信息。標(biāo)準(zhǔn)替代部件的設(shè)計(jì)、制造顯然增加了綜合建模的成本與難度。De Klerk等[8]提出一種等效多點(diǎn)連接方法(EMPC)的方法，將連接界面視為剛性面，按剛體運(yùn)動(dòng)理論對界面進(jìn)行剛性等效：將界面自由度變換成關(guān)于一個(gè)虛擬點(diǎn)的6自由度，這6個(gè)自由度中包含了界面3個(gè)轉(zhuǎn)角自由度，并利用這種變換關(guān)系對原頻響函數(shù)進(jìn)行“濾波”。該方法在部分分析頻帶，能改進(jìn)頻響函數(shù)的綜合效果。

為進(jìn)一步提高在缺失轉(zhuǎn)角自由度頻響信息時(shí)的子結(jié)構(gòu)綜合精度，本文考慮將界面分塊，將分塊后的子界面依次利用EMPC方法進(jìn)行剛性等效，每個(gè)子界面自由度包含可描述其子界面剛體運(yùn)動(dòng)的6個(gè)自由度分量，綜合所有子界面剛性等效后的自由度即形成整體界面的柔性等效自由度，相應(yīng)地，利用等效后的界面柔性自由度與原始界面自由度的變換關(guān)系，對子結(jié)構(gòu)的原始頻響函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，實(shí)現(xiàn)對界面彈性特性的表征。

1 EMPC理論

1.1界面自由度等效變換

據(jù)經(jīng)典的Jetmundsen子結(jié)構(gòu)頻響綜合方法，兩子結(jié)構(gòu)a,b綜合后的頻響函數(shù)Hab可寫成[9]：

(1)

式中:H為頻響;上標(biāo)a,b,ab分別表示子結(jié)構(gòu)a,b與綜合后的結(jié)構(gòu)ab;下標(biāo)i，c分別表示子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部與界面自由度。完整的界面信息應(yīng)包含界面節(jié)點(diǎn)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的全部頻響函數(shù)，即c中應(yīng)包含轉(zhuǎn)角自由度。

子結(jié)構(gòu)a的頻率響應(yīng)方程為

(2)

uc=Rueq+μ

(3)

為方便起見，上式省略上標(biāo)a。類似模態(tài)綜合法的坐標(biāo)變換，ueq可視為界面主自由度響應(yīng)，μ為剩余自由度響應(yīng)，R則描述了該界面的主模態(tài)信息。子結(jié)構(gòu)的所有自由度響應(yīng)可寫成：

(4)

(5)

(6)

將式(2)寫成u=Hf，并左乘G可得

Gu=GHf

(7)

引入下式：

GT(GT)+=E

(8)

Gu=GHGT(GT)+f

(9)

考慮式(6)，上式最后可簡寫成：

(10)

1.2界面自由度的剛性等效

(11)

(12)

(13)

(14)

2 界面自由度的柔性等效

(15)

(16)

式中:Bi為布爾矩陣，其元素為0或1;Ri為R1的子矩陣，uci為uc的子矩陣即

Ri?R1，uci?uc

(17)

(18)

考慮子結(jié)構(gòu)內(nèi)部與界面自由度，整體變換矩陣G可寫成：

(19)

代入式(10)即可得到變換后的頻響函數(shù)。從模態(tài)理論的角度看EMPC僅考慮界面的剛體運(yùn)動(dòng)，而界面柔性等效方法由于對界面進(jìn)行了分塊等效，所以還考慮了界面的高階彈性運(yùn)動(dòng)，可視為EMPC的高階等效。

以圖1結(jié)構(gòu)為例，簡要說明界面柔性等效方法中變換矩陣與布爾矩陣的構(gòu)成。該結(jié)構(gòu)由子結(jié)構(gòu)Sub_a

圖1 兩子結(jié)構(gòu)綜合示意圖

與Sub_b組成，其連接界面為1～4與1′～4′節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的平面，兩子結(jié)構(gòu)在界面處完全固接，假定節(jié)點(diǎn)1～4與1′～4′為界面測點(diǎn)，內(nèi)部測點(diǎn)k，每個(gè)測點(diǎn)僅包含3個(gè)平動(dòng)自由度。

以子結(jié)構(gòu)Sub_a為例，將其界面分為由{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的4個(gè)子界面，以第二組{1,2,3}為例，圖1下所示，其界面自由度的變換矩陣與布爾矩陣可寫成：

(20)

其它變換矩陣與布爾矩陣可類似寫出。最后綜合界面測點(diǎn)自由度、界面整體剛性等效自由度與4組子界面的柔性自由度，代入式(19)可得到界面自由度柔性等效后的子結(jié)構(gòu)變換矩陣：

(21)

將式(21)代入式(10)可得到變換后的頻響函數(shù)。一般來說僅利用3個(gè)節(jié)點(diǎn)的平動(dòng)自由度就能描述界面的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，但有時(shí)界面自由度等效后依然不能完全描述整個(gè)界面的性質(zhì)，例如界面上的點(diǎn)全部在一條直線上，這時(shí)可增加靠近界面節(jié)點(diǎn)的自由度，聯(lián)合描述界面信息，也即界面自由度uc為可包含靠近界面節(jié)點(diǎn)自由度的一類廣義自由度。

界面自由度柔性等效方法，與有限元思想類似，界面細(xì)化程度越高，也即有限元中的單元越密集，界面描述越精確，越能反應(yīng)界面的柔性特征。但在實(shí)際應(yīng)用中，受界面大小，實(shí)驗(yàn)條件限制，不可能將子界面分割的過細(xì)。界面劃分越細(xì)意味著需要在界面布置更多測點(diǎn)，對于需要通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行頻響測試的子結(jié)構(gòu)來說，需要在實(shí)測結(jié)構(gòu)界面上(或者靠近界面連接位置)適當(dāng)增加傳感器數(shù)目。根據(jù)式(3)界面自由度等效方程知，若子界面完全剛性，根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，則剩余自由度響應(yīng)μ趨近于零(由于變換矩陣R忽略了高階小量，μ不等于零而是趨近于零)，所以可通過剩余自由度響應(yīng)μ值的大小判斷子界面大小是否合理。事實(shí)上，我們通常感興趣的是低頻帶的結(jié)果，有限個(gè)剛性子界面，就足以描述低頻帶內(nèi)的界面特性。

3 數(shù)值仿真

算例1

為驗(yàn)證本文所提出的方法，將一懸臂板結(jié)構(gòu)分割為兩子結(jié)構(gòu)，之后重新將兩子結(jié)構(gòu)在界面處進(jìn)行焊接，利用頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法進(jìn)行建模，并與分割前的整塊懸臂板結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

懸臂板結(jié)構(gòu)尺寸為80×20×2，分割后懸臂板結(jié)構(gòu)Sub_a，以及自由板結(jié)構(gòu)Sub_b，圖2，兩板結(jié)構(gòu)尺寸均為40×20×2，Sub_a的界面為節(jié)點(diǎn)1～3所在的直線，Sub_b的界面為1′～3′所在的直線。假定測點(diǎn)僅布置在1～3點(diǎn)和1′～3′點(diǎn)，參與計(jì)算的Sub_a的界面自由度包括1～3節(jié)點(diǎn)的3個(gè)方向的平動(dòng)，內(nèi)部自由度為5節(jié)點(diǎn)z向平動(dòng)；參與計(jì)算的Sub_b的界面自由度為1′～3′節(jié)點(diǎn)的3個(gè)方向的平動(dòng)，內(nèi)部自由度為5′節(jié)點(diǎn)z向平動(dòng)。

圖2 懸臂板子結(jié)構(gòu)綜合示意圖

圖3與圖4給出了方法a與b綜合后結(jié)果對比，分析發(fā)現(xiàn)，忽略界面轉(zhuǎn)角自由度信息得到的頻響與參考頻響有較大差別。方法b得到的H55第一階幅值頻率為115 Hz，而參考頻響為40 Hz，相位也有的較大差別。這是因?yàn)榻缑嫒鄙俎D(zhuǎn)角位移約束，綜合求解時(shí)，相當(dāng)于兩個(gè)子結(jié)構(gòu)在界面鉸接而非焊接。另外在728 Hz與2 412 Hz左右，兩種方法綜合得到的頻響吻合較好，這是因?yàn)樵擃l率下界面鉸接與焊接的結(jié)構(gòu)模態(tài)近似一致。

圖3 H55幅值與相位對比(方法a，b)

圖4 H5′5幅值與相位(方法a，b)

圖5、6給出了4種方法的綜合對比結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，界面自由度剛性等效方法比不考慮轉(zhuǎn)角自由度的方法有所改進(jìn)，但得到的第一與第四階的幅值頻率與參考值仍然有一定差距；而在3 000 Hz以內(nèi)，利用界面自由度柔性等效方法得到頻響、相位，與參考頻響、相位基本一致，顯示了界面自由度柔性等效方法在子結(jié)構(gòu)綜合方法中的具有較高精度。在本算例中僅在界面附近增加了一個(gè)測點(diǎn)，若還需得到3 000 Hz以后的更高頻的精確結(jié)果，則可通過增加測點(diǎn)，也即增加子界面的個(gè)數(shù)來提高綜合精度。

圖5 H55幅值與相位對比(方法a～d)

圖6 H5′5幅值與相位對比(方法a～d)

圖7 H55、H5′5頻響幅值(噪聲σ%=1%)

從圖7與圖8中可看出，加入噪聲后得到的頻響在前兩階頻率有所漂移，反共峰處幅值誤差較大?？傮w來看頻響函數(shù)在噪聲較小時(shí)誤差較小，能得到比較好的綜合結(jié)果；噪聲稍大時(shí)誤差有所增大，但總體趨勢一致。其原因在于對頻響函數(shù)求逆時(shí)，噪聲被放大。這是基于頻響函數(shù)綜合方法不可避免的問題[10]。

算例2

為分析車輪至車身的振動(dòng)傳遞特性，采用頻響函數(shù)綜合方法，對白車身與前懸進(jìn)行綜合建模，計(jì)算制動(dòng)盤中心至車身座椅安裝點(diǎn)即目標(biāo)響應(yīng)點(diǎn)的頻響。

圖8 H55、H5′5頻響幅值(噪聲σ%=5%)

建立1/2白車身模型，圖9所示，作為子結(jié)構(gòu)a；不帶輪胎與橫臂等右前懸模型，圖10，作為子結(jié)構(gòu)b。為便于計(jì)算，對兩個(gè)子結(jié)構(gòu)模型均進(jìn)行了適當(dāng)簡化。右前懸與白車身通過3組螺栓連接，連接界面為螺栓孔周，圖12，綜合后的結(jié)構(gòu)如圖11。

圖9 1/2車身模型(子結(jié)構(gòu)a)

圖10 右前懸模型(子結(jié)構(gòu)b)

圖11 綜合后的模型

圖12 懸架側(cè)界面測點(diǎn)

分別在車身與懸架側(cè)的螺栓孔周邊布置相應(yīng)測點(diǎn)，圖12所示。同算例1，采用4種方法進(jìn)行頻響函數(shù)綜合建模。計(jì)算制動(dòng)盤中心至車身座椅安裝點(diǎn)處的頻響：a：直接有限元建模計(jì)算，作為頻響計(jì)算結(jié)果的參考值；b：每個(gè)螺栓孔周選取一個(gè)測點(diǎn)，忽略界面轉(zhuǎn)角自由度，僅利用每個(gè)測點(diǎn)的平動(dòng)自由度參與計(jì)算；c：為描述界面轉(zhuǎn)角自由度，每個(gè)螺栓孔周選取4個(gè)測點(diǎn)，將兩個(gè)子結(jié)構(gòu)的界面自由度進(jìn)行剛性等效，利用等效后的頻響參與計(jì)算；d：每個(gè)螺栓孔周選取4個(gè)測點(diǎn)，將界面自由度進(jìn)行柔性等效，利用等效后的自由度進(jìn)行頻響函數(shù)綜合分析。

圖13、14給出了采用4種方法綜合計(jì)算獲得的制動(dòng)盤中心至車身座椅安裝點(diǎn)x與z向頻響。其中，不考慮界面轉(zhuǎn)角自由度計(jì)算得到的頻響函數(shù)誤差較大，尤其在頻率較高時(shí)。剛性與柔性兩種方法獲得z向頻響基本一致，這主要是因?yàn)槁菟字?，界面剛度較大，3個(gè)連接界面表現(xiàn)為剛性。但從250 Hz開始，采用剛性等效方法計(jì)算的x向頻響也出現(xiàn)了偏差，圖13。而在整個(gè)分析帶寬內(nèi)，采用界面柔性等效方法計(jì)算得到的頻響與精確解一致，進(jìn)一步顯示了界面自由度柔性等效方法能顯著提高頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合精度。

圖13 制動(dòng)盤中心至車身座椅安裝點(diǎn)x向頻響

圖14 制動(dòng)盤中心至車身座椅安裝點(diǎn)z向頻響

從上面兩個(gè)算例中可見，采用界面柔性等效的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)方法，能獲得更高的綜合精度。另外考慮界面自由度柔性等效方法在高頻依然有良好的綜合效果，可利用這一優(yōu)點(diǎn)提高涉及結(jié)構(gòu)-聲傳遞路徑的綜合建模精度。

4 結(jié) 論

考慮到頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法中，轉(zhuǎn)角自由度的頻響信息一般難以準(zhǔn)確獲得，造成了綜合建模誤差較大的問題，提出了界面自由度柔性等效方法，并將其應(yīng)用到頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法中。仿真結(jié)果表明，本文所提出的界面柔性等效方法能明顯改善子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合效果。

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Frequencyresponsefunctionbasedsub-structuringsynthesismethodwithflexibleequivalenceofinterface’sDOFs

ZHANG Yong， HOU Zhichao, ZHAO Yongling

(State Key Laboratory of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University, Beijing 100084)

Frequency response function based sub-structuring (FBS) synthesis method play a significant role in analyzing complex systems. However, it fails sometimes to produce acceptable results due to the absence of rotational DOFs’ frequency response functions (FRFs). Here, a method of flexible equivalence of interface’s DOFs was proposed. An interface was divided into several sub-interfaces. Assuming all sub-interfaces were rigid, through the least squares coordinate transformation, 6 DOFs were taken to describe all motion features of a rigid sub-interface to realize the rigid equivalence of a sub-interface. All equivalent DOFs of all sub-interfaces were synthesized to form a flexible equivalence of the original interface. The relationship between the interface’s flexible equivalent DOFs and its original DOFs was used to transform a substructure’s original FRFs, the substructure’s transformed FRFs were applied in FBS method. Simulation results showed that the flexible equivalence of interface’s DOFs can significantly improve the synthesis accuracy of FRFs.

frequency response function sub-structuring (FBS) synthesis; interface’s DOFs; flexible equivalence

科技部(2014DFG71590)

2016-03-30 修改稿收到日期：2016-06-30

張勇 男,博士生，1985年生

侯之超 男,博士,教授，1966年生

TH113.1

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.030