基于“卓越計(jì)劃”的工科院校大學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐與探索

李征宇　孫平

摘要：大學(xué)數(shù)學(xué)概念是推導(dǎo)大學(xué)數(shù)學(xué)公式、定理的出發(fā)點(diǎn)，是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是解題的重要依據(jù)。因此，鑒于大學(xué)數(shù)學(xué)概念在大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中占有舉足輕重的地位，本文從四個(gè)方面闡述對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法：認(rèn)清概念的形成過程，弄清概念的內(nèi)涵和外延，從不同方面理解和掌握概念，從練習(xí)中鞏固和運(yùn)用概念。

關(guān)鍵詞：大學(xué)數(shù)學(xué)概念 內(nèi)涵 外延

【中圖分類號(hào)】G642.4

大學(xué)數(shù)學(xué)是理、工科院校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科。它具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性特點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一，它具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性。大學(xué)數(shù)學(xué)概念是大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)和核心。由此可見，在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，概念教學(xué)是教學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，同時(shí)也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。本文從四個(gè)方面闡述大學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

一、概念的形成過程

從大學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成來看，總是先從一些具有共同性質(zhì)的實(shí)例中概括、抽象出相似之處，通過對(duì)這些有共同點(diǎn)的具體內(nèi)容或現(xiàn)實(shí)模型的觀察，從而歸納它的數(shù)學(xué)概念。例如，在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的過程時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生研究?jī)蓚€(gè)在歷史上與導(dǎo)數(shù)概念形成有密切聯(lián)系的實(shí)際問題，即變速直線運(yùn)動(dòng)中的瞬時(shí)速度問題和曲線的切線問題，通過解決這些實(shí)際問題，抽象出它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共性，從而總結(jié)歸納出導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)就是變化率，即當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，因變量相對(duì)于自變量的變化率。同時(shí)指出，給出導(dǎo)數(shù)概念的這個(gè)過程的基本思想是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉(zhuǎn)化為無限，從量變過度到質(zhì)變。采用這種教學(xué)方式，會(huì)使學(xué)生更容易掌握導(dǎo)數(shù)的概念。

二、概念的內(nèi)涵和外延

認(rèn)識(shí)概念后，要揭示事物的本質(zhì)屬性，搞清概念的內(nèi)涵和外延，對(duì)概念進(jìn)行剖析，達(dá)到弄清內(nèi)涵，學(xué)透外延的水平。把概念的本質(zhì)屬性弄清楚，把本質(zhì)屬性所反映的全體對(duì)象揭示出來，切忌不要死記硬背定義。例如，數(shù)列極限的概念是一個(gè)很抽象很難理解的概念，因此為了使學(xué)生能深入理解數(shù)列極限概念的實(shí)質(zhì)，教師要講解此概念的內(nèi)涵和外延。要求學(xué)生在理解 時(shí)，知道其具有雙重性，即任意小性和相對(duì)固定性，在理解正整數(shù) 時(shí)，知道其具有存在性和不唯一性，并且正整數(shù) 是由 的給定而選定的。

搞清概念的內(nèi)涵和外延，對(duì)概念進(jìn)行深刻的剖析，緊扣概念中的每個(gè)字、詞、句分析定義的結(jié)構(gòu)，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵的詞匯，尤其要注意括號(hào)內(nèi)的條件。數(shù)列極限的概念中，“對(duì)于給定的正數(shù) （不論它多么?。?，括號(hào)中文字的意思就是指 可以任意小，即要多小有多小。

因此，在講解大學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)概念的分析，使學(xué)生弄清概念的內(nèi)涵和外延，溝通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

三、理解和掌握概念

通過對(duì)一些問題的解答，可以加深對(duì)概念的理解，且這種理解從其深度和廣度都是從概念的正面分析所達(dá)不到的。

弄明白大學(xué)數(shù)學(xué)概念之間的區(qū)別，使原來學(xué)習(xí)中存在一些對(duì)概念模糊不清的地方可以得到較好的澄清和糾正。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)過一元函數(shù)微分學(xué)，知道微分和導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的概念，且它們之間關(guān)系密切。知可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)，且有 ，但又有區(qū)別，函數(shù) 在一點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) 是一個(gè)常數(shù)，導(dǎo)數(shù)僅與 有關(guān)，而函數(shù) 在 的微分 不僅與 有關(guān)，還與自變量的增量 有關(guān)。在進(jìn)行多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)時(shí)，要強(qiáng)調(diào)可微與可導(dǎo)這個(gè)充要條件不能推廣到多元函數(shù)。但對(duì)于多元函數(shù)有這樣的結(jié)論：可微則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，反之只有當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)才可微。

難以理解的概念要循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)。經(jīng)過一段時(shí)間后，學(xué)的概念越來越多。對(duì)于相近的概念，詞同義不同及形相似而義不同的概念易混淆，這就要從定義、性質(zhì)、有的也可以從圖形等各方面進(jìn)行分析、比較、區(qū)別。把所學(xué)概念進(jìn)行整理，使條理系統(tǒng)化。倘若僅從某一概念本身出發(fā)去理解這個(gè)概念，理解的深度和廣度都受到局限，但利用幾個(gè)相似的概念比較學(xué)習(xí)，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，這樣有利于學(xué)生更清晰明了的掌握所學(xué)概念的實(shí)質(zhì)。教師要讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，在比較中加深對(duì)概念的理解，從而從整體上把握所學(xué)到的數(shù)學(xué)概念。例如在講授定積分的概念時(shí)，從求解曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等例子入手，在求解這些例子時(shí)，強(qiáng)調(diào)遵循“大化小、常代變、近似和、取極限”這四步，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例對(duì)定積分的概念有一個(gè)清晰的直觀認(rèn)識(shí)，使學(xué)生更容易理解定積分的基本思想。學(xué)生只有將定積分的概念及其基本思想理解透徹了，才能更好地掌握和理解定積分的計(jì)算方法及其相關(guān)應(yīng)用。在后面學(xué)習(xí)的二重積分和三重積分分別是定積分在平面和空間區(qū)域上的推廣，對(duì)二重積分和三重積分的計(jì)算最終也都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的計(jì)算；而曲線積分和曲面積分也是定積分的概念分別推廣到積分范圍是一段曲線和一片曲面的情形，同理，對(duì)曲線積分和曲面積分的計(jì)算最終也將轉(zhuǎn)化為對(duì)定積分或重積分的計(jì)算。這樣通過歸納類比的方法會(huì)很容易理解和掌握這幾個(gè)相對(duì)復(fù)雜的積分概念。

四、鞏固和運(yùn)用概念

在認(rèn)識(shí)和形成概念，理解和掌握之后，鞏固概念是一個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)。鞏固的主要手段是多練習(xí)、多運(yùn)用。只有這樣才能溝通概念法則、性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系。概念的運(yùn)用，是對(duì)概念掌握程度的檢驗(yàn)。通過運(yùn)用，可以鞏固和加深對(duì)概念的理解，同時(shí)，可以對(duì)概念有新的認(rèn)識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)的興趣和自覺性。用概念推導(dǎo)公式、證明定理、解答習(xí)題具有重要的意義。

在對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用過程中，教師要啟發(fā)學(xué)生去善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)各個(gè)概念之間存在的內(nèi)在聯(lián)系。例如， 在一元函數(shù)微分學(xué)中，有極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念，同樣，在多元函數(shù)微分學(xué)中也有極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念，教師在教學(xué)中要注重分析比較這些概念之間的聯(lián)系與不同，通過強(qiáng)化這些概念之間的聯(lián)系，既促進(jìn)了學(xué)生對(duì)新概念的理解，又鞏固了已有的所學(xué)概念。

總之，在進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，教師要認(rèn)真鉆研大學(xué)數(shù)學(xué)教材，多查閱相關(guān)資料，了解所教概念的背景，清楚所教概念的內(nèi)涵和外延。教師在以學(xué)生為主體的前提下，通過采取多種不同的教學(xué)方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行概念教學(xué)，力求使學(xué)生能夠準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和深刻理解概念的具體含義。教師還要經(jīng)常培養(yǎng)學(xué)生在解題中運(yùn)用概念進(jìn)行思維的習(xí)慣，不斷地提高思維能力，不斷地提高運(yùn)用概念的能力。因此，能夠正確理解大學(xué)數(shù)學(xué)概念是掌握好大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的前提，是解題的關(guān)鍵。

“本文受沈陽(yáng)建筑大學(xué)普通高等教育本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目jwc-006資助”

參考文獻(xiàn)

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