復(fù)變函數(shù)方法的兩個應(yīng)用研究

張潔萍

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009)

復(fù)變函數(shù)方法的兩個應(yīng)用研究

張潔萍

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同 037009)

復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供了一種重要的解析工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。本文總結(jié)討論了復(fù)變函數(shù)方法在定積分求解和斷裂參量J積分計算中的應(yīng)用研究，體現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)知識的重要性。要求教師在講授復(fù)變函數(shù)知識的過程中，不僅要向?qū)W生講述該學(xué)科的基礎(chǔ)知識，還應(yīng)幫助學(xué)生建立起該學(xué)科與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的聯(lián)系，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

復(fù)變方法；定積分計算；J積分計算；應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)方法作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，例如：數(shù)學(xué)、力學(xué)、電子等多個領(lǐng)域的研究中，有很多復(fù)雜的計算就是以復(fù)變函數(shù)為工具來解決的[1-5]。但是不少學(xué)生在了解此方法后仍心存困惑，會產(chǎn)生諸如有什么應(yīng)用之類的問題，本文通過舉例說明了復(fù)變方法在一類特殊定積分求解和斷裂參量J積分計算中的巧妙應(yīng)用，從而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)習(xí)主動性。

1 復(fù)變方法計算f(cosθ,sinθ)dθ類型定積分

求解方法[1]是先作變量代換，再化成圍線積分進(jìn)行求解，求解過程如下：

解 令z=eiθ

通過以上例題可以看出此方法不僅可以簡化某些定積分的計算過程，甚至可以求解一類求不出原函數(shù)的定積分問題。

2 復(fù)變方法計算斷裂參量J積分

復(fù)變函數(shù)法是斷裂力學(xué)中求解一個二維彈性斷裂問題模型分析解的最有效的方法之一。這是因?yàn)橛脧?fù)變函數(shù)方法求解可以充分利用復(fù)解析函數(shù)在邊界上的已知解，再借助柯西積分公式確定出彈性區(qū)域內(nèi)部的值。J積分是斷裂力學(xué)中經(jīng)常用到的一個斷裂參量，有如下表達(dá)式：

(1)

其中b11,b12,b22,b66是彈性主方向的柔度系數(shù)，σx,σy是正應(yīng)力，τxy是剪應(yīng)力。

下面以正交異性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板I型裂紋尖端附近的J積分計算[2]為例探討復(fù)變方法在J積分計算中的應(yīng)用。

由zj平面的柯西-黎曼方程和求導(dǎo)公式可得如下公式：

(2)

其中：

zj=xj+iyj(j=1,2)

μj=αj+iβj(j=1,2)

(3)

由復(fù)變函數(shù)的定義和性質(zhì)易知下式成立：

(4)

(5)

將(2)～(5)式代入(1)式得到J積分的復(fù)形式：

最后借助柯西積分公式得到J積分的計算公式：

3 結(jié)語

復(fù)變函數(shù)中的許多理論與方法不僅給數(shù)學(xué)的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學(xué)和各種工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要總結(jié)了復(fù)變方法的兩個重要應(yīng)用，首先介紹了復(fù)變方法在求解一類定積分中的應(yīng)用，其次介紹了復(fù)變方法在求解斷裂參量中的應(yīng)用，體現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)知識的重要性，這就要求教師在講授復(fù)變函數(shù)知識的過程中，不僅要向?qū)W生講述該學(xué)科的基礎(chǔ)知識，還應(yīng)幫助學(xué)生建立起該學(xué)科與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的聯(lián)系，提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

[1] 周明儒.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 楊維陽，李俊林，張雪霞.復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[3] Li Junlin，Wang Xiaoli. Stress filed near the interface end of antiplane of orthotropic bimaterials[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2009，30(9)：1153-1159.

[4] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 高來志，張文學(xué).求解線性方程組的行列式計算消元法[J].洛陽師范學(xué)院學(xué)報，2016，35(8)：16-22.

Two applications of the complex function method

ZHANG Jie-ping

(School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Datong University, Datong 037009, China)

Many theories and methods in complex function not only provide an important analytical tool for many branches of mathematics, but also have a wide range of applications in other natural sciences and various engineering fields. In this paper, we discuss the application of complex variable function method in definite integral solution and fracture parameter J integral calculation, which reflects the importance of complex variable function knowledge. Teachers are required to teach students the basic knowledge of the discipline, but also to help students to establish the links between discipline and the major, so as to enhance the comprehensive application ability of students.

Complex function method; Calculation of definite integral; Calculation of fracture parameter J-integral; Application

O143

： A

： 1674-8646(2017)16-0038-02

2017-06-20

國家自然科學(xué)基金(11547108)；山西大同大學(xué)科學(xué)基金項(xiàng)目(2016K5)

張潔萍(1982-)，女，講師，碩士研究生。